📐

Γωνίες με Πλευρές Παράλληλες

Ίδιο είδος → ίσες, διαφορετικό είδος → παραπληρωματικές

Γιατί ο γνώμονας «κουβαλάει» τη γωνία του;

Σύρε έναν γνώμονα κατά μήκος ενός χάρακα: η γωνία του μετακινείται, αλλά οι πλευρές της μένουν παράλληλες με τις αρχικές — και το άνοιγμα δεν αλλάζει. Αν όμως κοιτάξεις τη γωνία που σχηματίζει η μία πλευρά με την προέκταση της άλλης, βλέπεις το παραπλήρωμα της αρχικής. Αυτό ακριβώς λέει το θεώρημα του κεφαλαίου — και είναι το εργαλείο που θα σου δώσει αμέσως τις γωνίες των παραλληλογράμμων.

Γωνίες με πλευρές παράλληλες (§4.4)

Τι γίνεται όταν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία; Με διαδοχική εφαρμογή των «εντός εναλλάξ» και «εντός εκτός επί τα αυτά» αποδεικνύεται:

Δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες είναι ίσες, αν είναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες — και παραπληρωματικές, αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

Η ιδέα της απόδειξης: προεκτείνουμε μία πλευρά της μιας γωνίας ώστε να τμήσει πλευρά της άλλης — κάθε «πέρασμα» τέμνουσας από ζεύγος παραλλήλων μεταφέρει τη γωνία ίση ή την «αναποδογυρίζει» σε παραπληρωματική.

Ισοδύναμη διατύπωση με τις φορές των πλευρών: οι γωνίες είναι ίσες όταν οι πλευρές τους είναι ανά δύο ομόρροπες ή ανά δύο αντίρροπες, και παραπληρωματικές όταν το ένα ζεύγος είναι ομόρροπο και το άλλο αντίρροπο.

Πρακτικός κανόνας για ασκήσεις: ίδιο είδος → ίσες, διαφορετικό είδος → άθροισμα $180^\circ$ . Αν οι γωνίες είναι ορθές, ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα — $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ και $90^\circ = 90^\circ$ .

Σύρε την πλευρά της γωνίας και φαντάσου ένα δεύτερο, μετατοπισμένο αντίγραφό της με παράλληλες πλευρές — θα δεις ότι όσο οι πλευρές μένουν παράλληλες, η γωνία είτε αντιγράφεται αυτούσια (ίδιο άνοιγμα) είτε γίνεται το παραπλήρωμά της, ποτέ κάτι ενδιάμεσο.

Απόδειξη θεωρίας (γωνίες με ομόρροπες πλευρές): Οι γωνίες $\hat{xOy}$ και $\hat{x'O'y'}$ έχουν $Ox \parallel O'x'$ και $Oy \parallel O'y'$ , με τις πλευρές ανά δύο ομόρροπες. Να αποδείξετε ότι $\hat{xOy} = \hat{x'O'y'}$ .

Σχήμα: Δύο «αντίγραφα» της ίδιας γωνίας, το ένα μετατοπισμένο. Προεκτείνουμε την πλευρά $O'x'$ προς τα πίσω, ώστε να τμήσει την ευθεία της $Oy$ σε σημείο $K$ · στο $K$ σχηματίζεται μια «ενδιάμεση» γωνία $\hat{\kappa}$ , ανάμεσα στην ημιευθεία $Kx'$ και στην ημιευθεία της ευθείας $Oy$ που είναι ομόρροπη με τις $Oy, O'y'$ .

Δεδομένα: $Ox \parallel O'x'$ , $Oy \parallel O'y'$ , ομόρροπες.

Ζητούμενο: $\hat{xOy} = \hat{x'O'y'}$ .

Απόδειξη:

Οι παράλληλες $Ox$ και $Kx'$ τέμνονται από την ευθεία $Oy$ : οι γωνίες $\hat{xOy}$ και $\hat{\kappa}$ είναι εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη, άρα ίσες.
Οι παράλληλες ευθείες $Oy$ και $O'y'$ τέμνονται από την ευθεία $x'K$ : οι γωνίες $\hat{\kappa}$ και $\hat{x'O'y'}$ είναι επίσης εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη, άρα ίσες.
Επομένως $\hat{xOy} = \hat{\kappa} = \hat{x'O'y'}$ . ✔

Αν μία από τις πλευρές αντιστραφεί (γίνει αντίρροπη), η γωνία αντικαθίσταται από την εφεξής παραπληρωματική της — γι' αυτό τότε οι γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν αντιστραφούν και οι δύο, παίρνουμε την κατακορυφήν, που είναι πάλι ίση.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία. Η πρώτη είναι $70^\circ$ και η δεύτερη είναι αμβλεία. Πόση είναι η δεύτερη;

Κόλπο μνήμης

Σκέψου τις φορές σαν πρόσημα: ομόρροπες $= +$ , αντίρροπες $= -$ . «Συν επί συν» και «πλην επί πλην» δίνουν $+$ → ίσες· «συν επί πλην» δίνει $-$ → παραπληρωματικές. Με τη γλώσσα του βιβλίου: ίδιο είδος (οξεία–οξεία ή αμβλεία–αμβλεία) → ίσες, διαφορετικό → άθροισμα $180^\circ$ .

Παράδειγμα: Δύο γωνίες $\hat{\omega}$ και $\hat{\varphi}$ έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία. Η $\hat{\omega}$ είναι οξεία, η $\hat{\varphi}$ αμβλεία και $\hat{\varphi} = 2\hat{\omega} + 30^\circ$ . Να βρεθούν οι δύο γωνίες.

Λύση: Οι γωνίες είναι διαφορετικού είδους, άρα παραπληρωματικές:

$\hat{\omega} + 2\hat{\omega} + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow 3\hat{\omega} = 150^\circ \Rightarrow \hat{\omega} = 50^\circ, \quad \hat{\varphi} = 130^\circ$

Έλεγχος είδους: $50^\circ$ οξεία, $130^\circ$ αμβλεία ✔. Αν είχες γράψει λανθασμένα $\hat{\omega} = \hat{\varphi}$ , θα έβρισκες $\hat{\omega} = -30^\circ$ — ένα αρνητικό αποτέλεσμα είναι πάντα καμπανάκι ότι διάλεξες λάθος σχέση.

Ήξερες ότι;

Ο παντογράφος, το όργανο που αντιγράφει ένα σχέδιο σε μεγέθυνση ή σμίκρυνση, περιγράφηκε από τον Γερμανό ιησουίτη αστρονόμο Christoph Scheiner στις αρχές του 17ου αιώνα. Η καρδιά του είναι ένα αρθρωτό παραλληλόγραμμο: όσο κινείται, οι γωνίες του αλλάζουν, αλλά οι απέναντι ράβδοι μένουν παράλληλες — και οι γωνίες με παράλληλες πλευρές μένουν ίσες ή παραπληρωματικές σε κάθε θέση.

Μέθοδος: γωνίες με πλευρές παράλληλες

Βεβαιώσου ότι και τα δύο ζεύγη πλευρών είναι παράλληλα (από την υπόθεση ή με κριτήριο παραλληλίας).
Χαρακτήρισε τις γωνίες: οξείες ή αμβλείες — ή κοίτα τις φορές των πλευρών (ομόρροπες/αντίρροπες).
Ίδιο είδος → γράψε $\hat{\omega} = \hat{\varphi}$ · διαφορετικό → $\hat{\omega} + \hat{\varphi} = 180^\circ$ .
Αν το είδος δεν είναι γνωστό, εξέτασε και τις δύο περιπτώσεις και απόρριψε όποια δίνει αντίφαση (αρνητική γωνία ή λάθος είδος).

Παράδειγμα (δύο περιπτώσεις): Δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες είναι $\hat{\omega} = 3x + 10^\circ$ και $\hat{\varphi} = 5x - 30^\circ$ . Να βρεθεί το $x$ όταν α) είναι και οι δύο οξείες, β) η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

Λύση: α) Ίδιο είδος, άρα ίσες: $3x + 10 = 5x - 30 \Rightarrow 2x = 40 \Rightarrow x = 20^\circ$ . Τότε $\hat{\omega} = \hat{\varphi} = 70^\circ$ — και οι δύο οξείες ✔.

β) Διαφορετικό είδος, άρα παραπληρωματικές: $3x + 10 + 5x - 30 = 180 \Rightarrow 8x = 200 \Rightarrow x = 25^\circ$ . Τότε $\hat{\omega} = 85^\circ$ (οξεία) και $\hat{\varphi} = 95^\circ$ (αμβλεία) ✔.

Και οι δύο περιπτώσεις είναι δεκτές, γιατί σε καθεμία το είδος των γωνιών που βρήκαμε συμφωνεί με την υπόθεση. Αν κάπου έβγαινε π.χ. «οξεία» γωνία $100^\circ$ , θα την απορρίπταμε.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες ικανοποιούν $\hat{\omega} = 2\hat{\varphi}$ . Πόση είναι η $\hat{\varphi}$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ . Από την κορυφή $A$ φέρνουμε ευθεία $\varepsilon \parallel B\Gamma$ και από την κορυφή $B$ ευθεία $\zeta \parallel A\Gamma$ , που τέμνει την $\varepsilon$ στο $\Delta$ (τα $\Delta$ και $\Gamma$ βρίσκονται εκατέρωθεν της $AB$ ).

α) Να αποδείξετε ότι $\hat{A\Delta B} = \hat{A\Gamma B}$ .

β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $BA\Delta$ είναι ίσα.

γ) Αν $\hat{A} = 70^\circ$ , $\hat{B} = 45^\circ$ και $\hat{\Gamma} = 65^\circ$ , να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $AB\Delta$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια κάτω, με το $B$ αριστερά· η κορυφή $A$ πάνω. Η $\varepsilon$ περνά οριζόντια από το $A$ . Η $\zeta$ ξεκινά από το $B$ παράλληλα προς την $A\Gamma$ , ανεβαίνει προς τα αριστερά και συναντά την $\varepsilon$ στο $\Delta$ , αριστερά του $A$ .

Δεδομένα: $A\Delta \parallel B\Gamma$ , $B\Delta \parallel A\Gamma$ .

Ζητούμενο: α) $\hat{A\Delta B} = \hat{A\Gamma B}$ , β) $AB\Gamma = BA\Delta$ , γ) οι γωνίες του $AB\Delta$ .

Απόδειξη: α) Οι γωνίες $\hat{A\Delta B}$ και $\hat{A\Gamma B}$ έχουν πλευρές ανά δύο παράλληλες: $\Delta A \parallel \Gamma B$ και $\Delta B \parallel \Gamma A$ . Η ημιευθεία $\Delta A$ δείχνει προς τα δεξιά ενώ η $\Gamma B$ προς τα αριστερά, και η $\Delta B$ προς τα κάτω-δεξιά ενώ η $\Gamma A$ προς τα πάνω-αριστερά: και τα δύο ζεύγη είναι αντίρροπα, άρα οι γωνίες είναι ίσες. ✔

β) Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $BA\Delta$ έχουν:

$AB$ κοινή
$\hat{\Delta AB} = \hat{AB\Gamma}$ (εντός εναλλάξ, $\varepsilon \parallel B\Gamma$ με τέμνουσα $AB$ )
$\hat{AB\Delta} = \hat{BA\Gamma}$ (εντός εναλλάξ, $\zeta \parallel A\Gamma$ με τέμνουσα $AB$ )

Από το Γ-Π-Γ είναι ίσα, οπότε $A\Delta = B\Gamma$ και $B\Delta = A\Gamma$ . ✔

γ) Από τα (α) και (β): $\hat{\Delta} = \hat{\Gamma} = 65^\circ$ , $\hat{\Delta AB} = \hat{B} = 45^\circ$ , $\hat{AB\Delta} = \hat{A} = 70^\circ$ . Έλεγχος: $65^\circ + 45^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ ✔.

Γρήγορος έλεγχος

Οι γωνίες $\hat{xOy}$ και $\hat{x'O'y'}$ έχουν $Ox \parallel O'x'$ ομόρροπες και $Oy \parallel O'y'$ αντίρροπες. Αν $\hat{xOy} = 40^\circ$ , πόση είναι η $\hat{x'O'y'}$ ;

Πρόκληση

Το εξάγωνο με τις παράλληλες πλευρές. Σε κυρτό εξάγωνο $AB\Gamma\Delta EZ$ οι απέναντι πλευρές είναι ανά δύο παράλληλες: $AB \parallel \Delta E$ , $B\Gamma \parallel EZ$ , $\Gamma\Delta \parallel ZA$ . Να αποδείξετε ότι οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες: $\hat{A} = \hat{\Delta}$ , $\hat{B} = \hat{E}$ , $\hat{\Gamma} = \hat{Z}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η γωνία $\hat{A}$ έχει πλευρές τις ημιευθείες $AB$ και $AZ$ , και η $\hat{\Delta}$ τις $\Delta E$ και $\Delta\Gamma$ .

$AB \parallel \Delta E$ . Διατρέχοντας το κυρτό εξάγωνο με τη σειρά των κορυφών, η πλευρά $AB$ διαγράφεται προς μία κατεύθυνση και η απέναντί της $\Delta E$ προς την αντίθετη — άρα οι ημιευθείες $AB$ και $\Delta E$ είναι αντίρροπες.
Ομοίως οι πλευρές $ZA$ και $\Gamma\Delta$ διαγράφονται με αντίθετες φορές. Οι ημιευθείες $AZ$ και $\Delta\Gamma$ έχουν φορές αντίθετες από τις $ZA$ και $\Gamma\Delta$ αντίστοιχα, άρα είναι κι αυτές αντίρροπες.
Και τα δύο ζεύγη πλευρών είναι αντίρροπα, οπότε οι γωνίες είναι ίσες: $\hat{A} = \hat{\Delta}$ . ✔ Με τον ίδιο τρόπο $\hat{B} = \hat{E}$ και $\hat{\Gamma} = \hat{Z}$ .

Μπόνους: αφού το άθροισμα των γωνιών κυρτού εξαγώνου είναι $720^\circ$ (θα το δεις στην §4.8), προκύπτει $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 360^\circ$ .

Συνηθισμένα λάθη

Παράλληλες πλευρές χωρίς έλεγχο είδους. Διόρθωση: πρώτα χαρακτήρισε τις γωνίες (οξεία/αμβλεία) ή τις φορές τους και μετά γράψε «ίσες» ή «παραπληρωματικές».
Ένα μόνο ζεύγος παράλληλο. Το θεώρημα θέλει και τα δύο ζεύγη πλευρών παράλληλα· με ένα μόνο ζεύγος δεν συμπεραίνεις τίποτα.
Αγνόηση της δεύτερης περίπτωσης. Όταν το είδος δεν δίνεται, εξέτασε και ισότητα και παραπλήρωση.
Ορθές γωνίες. Αν η μία γωνία είναι ορθή, είναι ορθή και η άλλη — εδώ «ίσες» και «παραπληρωματικές» ισχύουν ταυτόχρονα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γωνίες με πλευρές ανά δύο παράλληλες είναι ίσες ή παραπληρωματικές.
Ίσες: και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες (πλευρές ανά δύο ομόρροπες ή ανά δύο αντίρροπες).
Παραπληρωματικές: η μία οξεία και η άλλη αμβλεία (ένα ζεύγος ομόρροπο, ένα αντίρροπο).
Απόδειξη: διαδοχική χρήση των γωνιών παραλλήλων μέσω μιας ενδιάμεσης γωνίας.
Άγνωστο είδος: εξέτασε και τις δύο περιπτώσεις.

Γωνίες με πλευρές παράλληλες (§4.4)

Δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες είναι ίσες, αν είναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες — και παραπληρωματικές, αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

Πρακτικός κανόνας για ασκήσεις: ίδιο είδος → ίσες, διαφορετικό είδος → άθροισμα $180^\circ$ . Αν οι γωνίες είναι ορθές, ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα —

90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

και

90^\circ = 90^\circ