📐

Γωνίες

Είδη γωνιών, παραπληρωματικές, κατακορυφήν

Γιατί με νοιάζει;

Στο σκέιτ και στο σνόουμπορντ ακούς για «ένα $180$ » ή «ένα $360$ ». Αυτά τα νούμερα είναι μοίρες: $180°$ είναι μισή στροφή και $360°$ ολόκληρη.

Γωνίες υπάρχουν παντού: στους δείκτες του ρολογιού, στα ψαλίδια, στις γωνίες του δωματίου. Εδώ θα μάθεις να τις ονομάζεις, να τις μετράς και να βρίσκεις άγνωστες γωνίες με λίγη λογική.

Τι είναι η γωνία

Γωνία σχηματίζουν δύο ημιευθείες με κοινή αρχή — την κορυφή της γωνίας. Οι ημιευθείες λέγονται πλευρές. Τη μετράμε σε μοίρες ( $°$ ) με το μοιρογνωμόνιο.

Η διχοτόμος είναι η ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή και χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

Είδη γωνιών

Ανάλογα με το «άνοιγμά» τους οι γωνίες χωρίζονται σε:

Οξεία: μικρότερη από $90°$
Ορθή: ακριβώς $90°$
Αμβλεία: μεταξύ $90°$ και $180°$
Ευθεία: ακριβώς $180°$
Πλήρης: ακριβώς $360°$

Σύρε και δες πώς αλλάζει το είδος της γωνίας.

Ήξερες ότι;

Ο αριθμός $360$ έχει $24$ διαιρέτες: διαιρείται με $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, \dots$ . Γι' αυτό ο κύκλος μοιράζεται εύκολα σε πολλά ίσα κομμάτια χωρίς κλάσματα μοιρών. Η συνήθεια των $360°$ μάς έρχεται από τους αρχαίους αστρονόμους της Βαβυλώνας, που μετρούσαν με βάση το $60$ .

Παράδειγμα με ρολόι: Ο ωροδείκτης κάνει έναν πλήρη γύρο ( $360°$ ) σε $12$ ώρες, άρα από κάθε αριθμό στον επόμενο «ανοίγει» $360° : 12 = 30°$ . Τι γωνία σχηματίζουν οι δείκτες του ρολογιού στις ακριβείς ώρες;

$1{:}00$ : $1 \cdot 30° = 30°$ → οξεία
$3{:}00$ : $3 \cdot 30° = 90°$ → ορθή
$4{:}00$ : $4 \cdot 30° = 120°$ → αμβλεία
$6{:}00$ : $6 \cdot 30° = 180°$ → ευθεία

Γρήγορος έλεγχος

Η διχοτόμος μιας γωνίας $130°$ τη χωρίζει σε δύο γωνίες των:

Σχέσεις γωνιών

Συμπληρωματικές: έχουν άθροισμα $90°$
Παραπληρωματικές: έχουν άθροισμα $180°$
Κατακορυφήν: οι απέναντι γωνίες δύο τεμνόμενων ευθειών — είναι πάντα ίσες

Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, οι «εντός εναλλάξ» γωνίες είναι ίσες.

Κόλπο μνήμης

Συμπληρωματικές → $90°$ , παραπληρωματικές → $180°$ . Η παραπληρωματική είναι η μεγαλύτερη λέξη, άρα έχει και το μεγαλύτερο άθροισμα.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο ευθείες τέμνονται και μία από τις γωνίες που σχηματίζουν είναι $70°$ . Πόση είναι η κατακορυφήν της;

Παράδειγμα: Αν μια γωνία είναι $35°$ , η συμπληρωματική της είναι $90° - 35° = 55°$ και η παραπληρωματική της $180° - 35° = 145°$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η συμπληρωματική μιας γωνίας $25°$ ;

Μέθοδος: εύρεση γωνιών με εξίσωση

Ονόμασε $\omega$ την άγνωστη γωνία και γράψε τις άλλες με τη βοήθειά της («τριπλάσια» → $3\omega$ , «κατά $20°$ μεγαλύτερη» → $\omega + 20°$ ).
Διάλεξε τη σωστή σχέση: συμπληρωματικές → άθροισμα $90°$ , παραπληρωματικές → άθροισμα $180°$ , κατακορυφήν → ίσες.
Γράψε την εξίσωση και λύσε την.
Υπολόγισε όλες τις ζητούμενες γωνίες και κάνε επαλήθευση.

Άσκηση: Δύο παραπληρωματικές γωνίες είναι τέτοιες ώστε η μία να είναι τριπλάσια της άλλης. Βρες τις γωνίες.

Λύση: Αν $\omega$ η μικρότερη, η άλλη είναι $3\omega$ . Παραπληρωματικές σημαίνει $\omega + 3\omega = 180°$ , άρα $4\omega = 180°$ και $\omega = 45°$ . Οι γωνίες είναι $45°$ και $135°$ . Επαλήθευση: $45° + 135° = 180°$ .

Άσκηση: Δύο συμπληρωματικές γωνίες διαφέρουν κατά $20°$ . Βρες τες.

Λύση: Αν $\omega$ η μικρότερη, η μεγαλύτερη είναι $\omega + 20°$ . Αφού είναι συμπληρωματικές: $\omega + \omega + 20° = 90°$ , δηλαδή $2\omega = 70°$ και $\omega = 35°$ . Οι γωνίες είναι $35°$ και $55°$ .

Επαλήθευση: $35° + 55° = 90°$ και $55° - 35° = 20°$ ✓

Άσκηση: Δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο $O$ και σχηματίζουν τέσσερις γωνίες. Η μία είναι $58°$ . Βρες τις άλλες τρεις.

Λύση: Η κατακορυφήν της είναι ίση: $58°$ . Οι δύο διπλανές της είναι παραπληρωματικές με αυτήν: $180° - 58° = 122°$ η καθεμιά (και είναι κατακορυφήν μεταξύ τους).

Έλεγχος: $58° + 122° + 58° + 122° = 360°$ ✓ — οι τέσσερις γωνίες γύρω από το $O$ κάνουν πλήρη γωνία.

Γρήγορος έλεγχος

Μια γωνία είναι ίση με την παραπληρωματική της. Πόσες μοίρες είναι;

Σε κάθε σχήμα με τεμνόμενες ή παράλληλες ευθείες, κυνήγησε πρώτα κατακορυφήν (ίσες) και παραπληρωματικές (άθροισμα $180°$ ) — σχεδόν όλες οι ασκήσεις εύρεσης γωνιών λύνονται αλυσιδωτά με αυτές τις δύο σχέσεις.

Πρόκληση

Πόση γωνία σχηματίζουν οι δείκτες ενός ρολογιού στις $3{:}30$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ο λεπτοδείκτης δείχνει το $6$ , δηλαδή βρίσκεται $6 \cdot 30° = 180°$ από το $12$ .

Ο ωροδείκτης δεν δείχνει ακριβώς το $3$ : σε μισή ώρα έχει προχωρήσει τα μισά από τις $30°$ που χωρίζουν το $3$ από το $4$ . Βρίσκεται λοιπόν $3 \cdot 30° + 15° = 105°$ από το $12$ .

Η γωνία των δεικτών είναι $180° - 105° = 75°$ , μια οξεία γωνία, και όχι $90°$ όπως απαντούν πολλοί.

Συνηθισμένα λάθη

Συμπληρωματικές ή παραπληρωματικές; Συμπληρωματικές: άθροισμα $90°$ . Παραπληρωματικές: άθροισμα $180°$ . Γράψε το άθροισμα δίπλα στο σχήμα πριν ξεκινήσεις.
Κατακορυφήν ή διπλανές; Οι κατακορυφήν είναι απέναντι και ίσες· οι διπλανές (εφεξής) γωνίες δύο τεμνόμενων ευθειών είναι παραπληρωματικές.
Λάθος κλίμακα στο μοιρογνωμόνιο. Έλεγξε με το μάτι: μια «κλειστή» γωνία πρέπει να βγαίνει κάτω από $90°$ . Αν διάβασες $140°$ , διάβασες την άλλη κλίμακα.
Αμβλεία ή ευθεία; Αμβλεία είναι ανάμεσα σε $90°$ και $180°$ · τα ακριβώς $180°$ είναι ευθεία γωνία.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Οξεία $< 90°$ , ορθή $= 90°$ , αμβλεία ανάμεσα σε $90°$ και $180°$ , ευθεία $= 180°$ , πλήρης $= 360°$ .
Συμπληρωματικές: άθροισμα $90°$ · παραπληρωματικές: άθροισμα $180°$ .
Κατακορυφήν γωνίες: πάντα ίσες.
Διχοτόμος: χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες.
Άγνωστη γωνία → εξίσωση από τη σωστή σχέση και επαλήθευση.

Τι είναι η γωνία

Γωνία σχηματίζουν δύο ημιευθείες με κοινή αρχή — την κορυφή της γωνίας. Οι ημιευθείες λέγονται πλευρές. Τη μετράμε σε μοίρες (

°

) με το μοιρογνωμόνιο.

Η διχοτόμος είναι η ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή και χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες.