🔺

Τρίγωνα

Είδη τριγώνων, άθροισμα γωνιών, ύψη-διάμεσοι-διχοτόμοι

Γιατί με νοιάζει;

Κοίτα έναν γερανό, μια σιδερένια γέφυρα ή τον Πύργο του Άιφελ: είναι γεμάτοι τρίγωνα. Γιατί; Γιατί το τρίγωνο είναι άκαμπτο. Αν οι τρεις πλευρές του είναι σταθερές, το σχήμα του δεν αλλάζει, ενώ ένα τετράπλευρο από τέσσερα καλαμάκια «στραβώνει» με το παραμικρό σπρώξιμο.

Σε αυτό το κεφάλαιο γνωρίζεις τα είδη των τριγώνων και έναν από τους σημαντικότερους κανόνες της Γεωμετρίας: τι άθροισμα έχουν οι γωνίες τους.

Το τρίγωνο και τα είδη του

Το τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει τρεις κορυφές, τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Ταξινομείται με δύο τρόπους:

Ως προς τις πλευρές

Σκαληνό: όλες οι πλευρές άνισες
Ισοσκελές: δύο πλευρές ίσες (η τρίτη λέγεται βάση)
Ισόπλευρο: όλες οι πλευρές ίσες

Ως προς τις γωνίες

Οξυγώνιο: όλες οι γωνίες οξείες (μικρότερες των $90^\circ$ )
Ορθογώνιο: μία γωνία ορθή ( $90^\circ$ )
Αμβλυγώνιο: μία γωνία αμβλεία (μεγαλύτερη των $90^\circ$ )

Σύρε και δες πώς αλλάζει το είδος της γωνίας: οξεία, ορθή, αμβλεία.

Κόλπο μνήμης

Για το είδος ενός τριγώνου ως προς τις γωνίες, κοίτα μόνο τη μεγαλύτερη γωνία: μικρότερη από $90^\circ$ → οξυγώνιο, ίση με $90^\circ$ → ορθογώνιο, μεγαλύτερη από $90^\circ$ → αμβλυγώνιο. Οι άλλες δύο γωνίες είναι πάντα οξείες.

Άθροισμα γωνιών τριγώνου

Σε κάθε τρίγωνο, οποιουδήποτε είδους, το άθροισμα των τριών γωνιών του είναι $180^\circ$ . Αν γνωρίζουμε τις δύο γωνίες, βρίσκουμε πάντα την τρίτη με αφαίρεση.

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$

Σύρε την κορυφή — οι γωνίες αλλάζουν αλλά το άθροισμά τους μένει πάντα 180°!

Ήξερες ότι;

Το άθροισμα $180°$ ισχύει για τρίγωνα σχεδιασμένα σε επίπεδο. Σε μια σφαίρα, όπως η Γη, δεν ισχύει! Ξεκίνα από τον Βόρειο Πόλο, κατέβα ως τον Ισημερινό, περπάτησε κατά μήκος του ένα τέταρτο του γύρου της Γης και ανέβα ξανά στον Πόλο. Το «τρίγωνο» που διέγραψες έχει τρεις ορθές γωνίες: άθροισμα $270°$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\hat{A} = 90^\circ$ και $\hat{B} = 35^\circ$ . Πόση είναι η $\hat{\Gamma}$ ;

Ιδιότητες ειδικών τριγώνων

Ισοσκελές ( $AB = A\Gamma$ ): οι γωνίες της βάσης είναι ίσες, $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ . Η $\hat{A}$ λέγεται γωνία της κορυφής.
Ισόπλευρο: όλες οι γωνίες του είναι ίσες, άρα η καθεμιά είναι $180^\circ : 3 = 60^\circ$ .
Ορθογώνιο ( $\hat{A} = 90^\circ$ ): οι δύο οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές, $\hat{B} + \hat{\Gamma} = 90^\circ$ . Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο κάθετες πλευρές.
Ένα τρίγωνο δεν μπορεί να έχει δύο ορθές ή δύο αμβλείες γωνίες — το άθροισμα θα ξεπερνούσε τις $180^\circ$ .

Μέθοδος: γωνίες ισοσκελούς τριγώνου

Βρες ποια είναι η βάση — οι δύο γωνίες πάνω της είναι ίσες.
Αν ξέρεις τη γωνία της κορυφής $\hat{A}$ : κάθε γωνία της βάσης είναι $\frac{180^\circ - \hat{A}}{2}$ .
Αν ξέρεις μια γωνία της βάσης $\hat{B}$ : η γωνία της κορυφής είναι $180^\circ - 2\hat{B}$ .
Έλεγχος: οι τρεις γωνίες αθροίζουν $180^\circ$ .

Παράδειγμα: Σε ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ : (α) αν $\hat{A} = 40^\circ$ , βρες τις $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ · (β) αν $\hat{B} = 65^\circ$ , βρες την $\hat{A}$ .

(α) Οι γωνίες της βάσης είναι ίσες: $\hat{B} = \hat{\Gamma} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$ .

(β) Αφού $\hat{\Gamma} = \hat{B} = 65^\circ$ : $\hat{A} = 180^\circ - 2 \cdot 65^\circ = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ .

Έλεγχος: $40^\circ + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ και $50^\circ + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής είναι $50^\circ$ . Πόση είναι κάθε γωνία της βάσης;

Άσκηση: Σε ορθογώνιο τρίγωνο η μία οξεία γωνία είναι διπλάσια της άλλης. Βρες τις γωνίες του.

Λύση: Οι δύο οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές. Αν $\omega$ η μικρότερη, τότε $\omega + 2\omega = 90^\circ$ , δηλαδή $3\omega = 90^\circ$ και $\omega = 30^\circ$ . Οι γωνίες του τριγώνου είναι $90^\circ$ , $30^\circ$ και $60^\circ$ .

Έλεγχος: $90^\circ + 30^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο η μία οξεία γωνία είναι $32^\circ$ . Πόση είναι η άλλη οξεία γωνία;

Δευτερεύοντα στοιχεία

Ύψος: το κάθετο τμήμα από μια κορυφή προς την απέναντι πλευρά (ή την προέκτασή της)
Διάμεσος: το τμήμα από μια κορυφή προς το μέσο της απέναντι πλευράς
Διχοτόμος: το τμήμα που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσες γωνίες

Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη, τρεις διαμέσους και τρεις διχοτόμους. Στο ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος που αντιστοιχούν στη βάση ταυτίζονται.

Παράδειγμα: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\hat{A} = 35^\circ$ και $\hat{B} = 80^\circ$ . Τότε $\hat{\Gamma} = 180^\circ - (35^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$ . Όλες οι γωνίες είναι οξείες, άρα το τρίγωνο είναι οξυγώνιο.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες $40^\circ$ και $45^\circ$ . Ως προς τις γωνίες του είναι:

Στο ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, και στο ισόπλευρο κάθε γωνία είναι $60^\circ$ . Έλεγχος στο τέλος: οι τρεις γωνίες σου πρέπει να αθροίζουν ακριβώς $180^\circ$ .

Πρόκληση

(α) Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει μία γωνία $40^\circ$ . Ποιες μπορεί να είναι οι άλλες δύο γωνίες του; (Υπάρχουν δύο απαντήσεις!) (β) Κι αν η γωνία που ξέρουμε είναι $100^\circ$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Δεν ξέρουμε αν η $40^\circ$ είναι γωνία της κορυφής ή γωνία της βάσης, οπότε εξετάζουμε και τις δύο περιπτώσεις.

Γωνία κορυφής $40^\circ$ : οι γωνίες της βάσης είναι $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$ η καθεμιά. Γωνίες: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ .
Γωνία βάσης $40^\circ$ : και η άλλη γωνία της βάσης είναι $40^\circ$ , οπότε η κορυφή είναι $180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ . Γωνίες: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$ .

(β) Η $100^\circ$ δεν μπορεί να είναι γωνία της βάσης, γιατί τότε θα είχαμε δύο αμβλείες γωνίες με άθροισμα $200^\circ > 180^\circ$ . Είναι λοιπόν η γωνία της κορυφής, και οι γωνίες της βάσης είναι $(180^\circ - 100^\circ) : 2 = 40^\circ$ η καθεμιά. Εδώ υπάρχει μία μόνο απάντηση.

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχνάω την ορθή γωνία. Σε ορθογώνιο τρίγωνο με $\hat{B} = 30^\circ$ είναι $\hat{\Gamma} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ , όχι $150^\circ$ .
Λάθος ίσες γωνίες στο ισοσκελές. Ίσες είναι οι γωνίες πάνω στη βάση (απέναντι από τις ίσες πλευρές) — όχι η γωνία της κορυφής με μία της βάσης.
Πλάγια πλευρά αντί για ύψος. Το ύψος είναι κάθετο στην απέναντι πλευρά· μια πλάγια πλευρά δεν είναι ύψος.
Διάμεσος ή διχοτόμος; Η διάμεσος καταλήγει στο μέσο της απέναντι πλευράς· η διχοτόμος χωρίζει τη γωνία στη μέση. Γενικά είναι διαφορετικά τμήματα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$ σε κάθε τρίγωνο.
Ως προς τις πλευρές: σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο· ως προς τις γωνίες: οξυγώνιο, ορθογώνιο, αμβλυγώνιο.
Ισοσκελές: ίσες γωνίες βάσης, $\hat{B} = \hat{\Gamma} = \frac{180^\circ - \hat{A}}{2}$ · ισόπλευρο: κάθε γωνία $60^\circ$ .
Ορθογώνιο: οι οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές· η υποτείνουσα είναι απέναντι από την ορθή.
Ύψος (κάθετο), διάμεσος (στο μέσο), διχοτόμος (μισή γωνία): τρία από το καθένα σε κάθε τρίγωνο.

Το τρίγωνο και τα είδη του

Το τρίγωνο

AB\Gamma

έχει τρεις κορυφές, τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Ταξινομείται με δύο τρόπους:

Ως προς τις πλευρές

Σκαληνό: όλες οι πλευρές άνισες

Ισοσκελές: δύο πλευρές ίσες (η τρίτη λέγεται βάση)

Ισόπλευρο: όλες οι πλευρές ίσες

Ως προς τις γωνίες

Οξυγώνιο: όλες οι γωνίες οξείες (μικρότερες των

90^\circ

)

Ορθογώνιο: μία γωνία ορθή (

90^\circ

)

Αμβλυγώνιο: μία γωνία αμβλεία (μεγαλύτερη των

90^\circ

)