🔷

Τραπέζιο & Ισοσκελές Τραπέζιο

Διάμεσος τραπεζίου, ιδιότητες και κριτήρια ισοσκελούς τραπεζίου

Πόσο μακρύ πρέπει να είναι το μεσαίο σκαλί;

Μια ξύλινη σκάλα στενεύει προς τα πάνω: το κάτω σκαλί έχει μήκος $60$ cm και το πάνω $40$ cm. Πόσο πρέπει να είναι το σκαλί ακριβώς στη μέση του ύψους; Όχι «περίπου» — ακριβώς $50$ cm, ο μέσος όρος των δύο. Το σχήμα ανάμεσα σε δύο παράλληλα σκαλιά είναι τραπέζιο, και το μεσαίο σκαλί είναι η διάμεσός του. Εδώ αποδεικνύεις γιατί, και γνωρίζεις το πιο συμμετρικό τραπέζιο: το ισοσκελές.

Τραπέζιο και η διάμεσός του (§5.10)

Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο με μόνο δύο πλευρές παράλληλες — τις βάσεις του $B_1, B_2$ · οι άλλες δύο λέγονται μη παράλληλες πλευρές (σκέλη), και η απόσταση των βάσεων είναι το ύψος του. Διάμεσος του τραπεζίου είναι το τμήμα $MN$ που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών:

Η διάμεσος είναι παράλληλη στις βάσεις και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Επιπλέον, το κομμάτι της διαμέσου που βρίσκεται ανάμεσα στις διαγωνίους ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων, $\frac{B_1 - B_2}{2}$ (με $B_1 > B_2$ ).

$M N \parallel B_1 B_2, \qquad MN = \frac{B_1 + B_2}{2} \qquad \text{(διάμεσος τραπεζίου με βάσεις } B_1, B_2\text{)}$

Απόδειξη θεωρίας (διάμεσος τραπεζίου): Στο τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ ( $AB \parallel \Gamma\Delta$ ) τα $M, N$ είναι μέσα των $A\Delta$ και $B\Gamma$ . Να αποδείξετε ότι $MN \parallel AB$ και $MN = \frac{AB + \Gamma\Delta}{2}$ .

Σχήμα: Η μεγάλη βάση $\Gamma\Delta$ κάτω, η μικρή $AB$ πάνω. Ενώνουμε το $A$ με το $N$ και προεκτείνουμε την $AN$ ώσπου να συναντήσει την ευθεία $\Delta\Gamma$ στο $E$ , πέρα από το $\Gamma$ .

Δεδομένα: $AB \parallel \Gamma\Delta$ , $AM = M\Delta$ , $BN = N\Gamma$ .

Ζητούμενο: $MN \parallel AB$ , $MN = \frac{AB + \Gamma\Delta}{2}$ .

Απόδειξη:

Τα τρίγωνα $ABN$ και $E\Gamma N$ έχουν $BN = N\Gamma$ , $\hat{ANB} = \hat{EN\Gamma}$ (κατακορυφήν) και $\hat{ABN} = \hat{E\Gamma N}$ (εντός εναλλάξ, $AB \parallel \Gamma E$ ). Από το Γ-Π-Γ είναι ίσα, άρα $AN = NE$ και $AB = \Gamma E$ .
Στο τρίγωνο $A\Delta E$ τα $M$ και $N$ είναι μέσα των $A\Delta$ και $AE$ . Από το θεώρημα των μέσων: $MN \parallel \Delta E$ (άρα και $MN \parallel AB$ ) και

$MN = \frac{\Delta E}{2} = \frac{\Delta\Gamma + \Gamma E}{2} = \frac{\Gamma\Delta + AB}{2} \ ✔$

Γρήγορος έλεγχος

Τραπέζιο έχει βάσεις $5$ και $13$ . Πόσο είναι η διάμεσός του;

Άσκηση: Τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ έχει βάσεις $AB = 6$ και $\Gamma\Delta = 14$ , και $M, N$ τα μέσα των $A\Delta, B\Gamma$ . α) Να βρεθεί η διάμεσος $MN$ . β) Αν η $MN$ τέμνει τις διαγωνίους $B\Delta$ και $A\Gamma$ στα $Z$ και $E$ , να βρεθεί το $ZE$ .

Λύση: α) $MN = \frac{AB + \Gamma\Delta}{2} = \frac{6 + 14}{2} = 10$ .

β) Η διάμεσος είναι παράλληλη στις βάσεις, οπότε εφαρμόζουμε δύο φορές το θεώρημα των μέσων:

Στο τρίγωνο $A\Delta B$ : το $M$ είναι μέσο της $A\Delta$ και $MZ \parallel AB$ , άρα το $Z$ είναι μέσο της $B\Delta$ και $MZ = \frac{AB}{2} = 3$
Στο τρίγωνο $A\Delta\Gamma$ : το $M$ είναι μέσο της $A\Delta$ και $ME \parallel \Gamma\Delta$ , άρα το $E$ είναι μέσο της $A\Gamma$ και $ME = \frac{\Gamma\Delta}{2} = 7$

Τα $Z, E$ βρίσκονται πάνω στην $MN$ με $MZ = 3$ και $ME = 7$ , οπότε:

$ZE = ME - MZ = 7 - 3 = 4 = \frac{\Gamma\Delta - AB}{2}$

Το τμήμα της διαμέσου ανάμεσα στις διαγωνίους ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων — κράτησέ το ως πόρισμα, πέφτει συχνά.

Ισοσκελές τραπέζιο: ιδιότητες και κριτήρια (§5.11)

Ισοσκελές λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. Οι ιδιότητές του (όλα αποδεικνύονται φέρνοντας ύψη από τα άκρα της μικρής βάσης — δημιουργούνται ίσα ορθογώνια τρίγωνα):

Οι γωνίες που πρόσκεινται σε κάθε βάση είναι ίσες
Οι διαγώνιοι είναι ίσες

Και τα κριτήρια — πώς αναγνωρίζουμε ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές:

Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση του είναι ίσες, αν και μόνο αν οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

Πρόσεξε τη διπλή κατεύθυνση: οι ιδιότητες διαβάζονται και αντίστροφα, και αυτό είναι που τις κάνει κριτήρια. Το ισοσκελές τραπέζιο έχει και άξονα συμμετρίας: τη μεσοκάθετο των βάσεων, που είναι κοινή και για τις δύο.

Γρήγορος έλεγχος

Ισοσκελές τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ ( $AB \parallel \Gamma\Delta$ ) έχει $\hat{\Delta} = 70^\circ$ . Πόση είναι η γωνία $\hat{B}$ ;

Μέθοδος: ασκήσεις με τραπέζια

Μέσα μη παράλληλων πλευρών → διάμεσος: $MN \parallel$ βάσεις, $MN = \frac{B_1 + B_2}{2}$ · το κομμάτι της ανάμεσα στις διαγωνίους είναι $\frac{B_1 - B_2}{2}$ .
Ισοσκελές τραπέζιο → φέρε τα δύο ύψη από τα άκρα της μικρής βάσης: σχηματίζονται ένα ορθογώνιο και δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα, και κάθε σκέλος προβάλλεται σε $\frac{B_1 - B_2}{2}$ .
Για να δείξεις ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, απόδειξε ίσες γωνίες σε μία βάση ή ίσες διαγωνίους — αφού πρώτα έχεις δείξει ότι είναι τραπέζιο (παράλληλες βάσεις).
Γωνίες: οι δύο γωνίες κάθε σκέλους είναι παραπληρωματικές (εντός και επί τα αυτά μέρη).

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ισοσκελές τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ έχει βάσεις $AB = 4$ (μικρή) και $\Gamma\Delta = 10$ (μεγάλη), και $\hat{\Gamma} = 60^\circ$ . Φέρνουμε τα ύψη $AE$ και $BZ$ προς τη $\Gamma\Delta$ .

α) Να αποδείξετε ότι $\Delta E = Z\Gamma$ και να βρείτε το μήκος τους.

β) Να βρείτε τις μη παράλληλες πλευρές $A\Delta = B\Gamma$ .

γ) Να βρείτε την περίμετρο και τη διάμεσο του τραπεζίου.

Σχήμα: Η μεγάλη βάση $\Gamma\Delta$ κάτω, με το $\Delta$ αριστερά και το $\Gamma$ δεξιά· η μικρή βάση $AB$ από πάνω, με το $A$ πάνω από το αριστερό τμήμα και το $B$ πάνω από το δεξί. Τα ύψη κατεβαίνουν κατακόρυφα στα $E, Z$ , με σειρά πάνω στη βάση $\Delta, E, Z, \Gamma$ .

Δεδομένα: $AB \parallel \Gamma\Delta$ , $A\Delta = B\Gamma$ , $AB = 4$ , $\Gamma\Delta = 10$ , $\hat{\Gamma} = 60^\circ$ .

Λύση: α) Το $ABZE$ έχει τέσσερις ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο: $EZ = AB = 4$ και $AE = BZ$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα $AE\Delta$ και $BZ\Gamma$ έχουν υποτείνουσες $A\Delta = B\Gamma$ και κάθετες $AE = BZ$ , άρα είναι ίσα (υποτείνουσα – κάθετη) και $\Delta E = Z\Gamma$ . ✔ Τότε:

$\Delta E = Z\Gamma = \frac{\Gamma\Delta - EZ}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο $BZ\Gamma$ είναι $\hat{\Gamma} = 60^\circ$ , άρα $\hat{ZB\Gamma} = 30^\circ$ . Η κάθετη $Z\Gamma$ βρίσκεται απέναντι από τη γωνία $30^\circ$ , οπότε ισούται με το μισό της υποτείνουσας:

$B\Gamma = 2 \cdot Z\Gamma = 6 = A\Delta$

γ) Περίμετρος: $4 + 6 + 10 + 6 = 26$ . Διάμεσος: $\frac{4 + 10}{2} = 7$ .

Τα δύο ύψη από τη μικρή βάση είναι η στάνταρ βοηθητική κατασκευή: «κόβουν» το ισοσκελές τραπέζιο σε ορθογώνιο και δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα, με προβολή $\frac{B_1 - B_2}{2}$ για κάθε σκέλος.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο από τα παρακάτω ΔΕΝ εξασφαλίζει ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές;

Ήξερες ότι;

Το 2016 ο ιστορικός της επιστήμης Mathieu Ossendrijver δημοσίευσε στο περιοδικό Science την ανάγνωση βαβυλωνιακών πινακίδων (περίπου 350–50 π.Χ.) που υπολογίζουν πόσο μετακινείται ο πλανήτης Δίας ως το εμβαδόν ενός τραπεζίου σε ένα διάγραμμα ταχύτητας–χρόνου — μια ιδέα που στην Ευρώπη εμφανίζεται μόλις τον 14ο αιώνα. Υπολόγιζαν μάλιστα και πότε ο Δίας έχει διανύσει τη μισή απόσταση, χωρίζοντας το τραπέζιο σε δύο τραπέζια ίσου εμβαδού.

Στο ισοσκελές τραπέζιο, η αυτόματη βοηθητική κατασκευή είναι τα δύο ύψη από τη μικρή βάση: γεννούν ίσα ορθογώνια τρίγωνα και ένα ορθογώνιο στη μέση — από εκεί βγαίνουν όλες οι ιδιότητες. Και σε κάθε τραπέζιο, μόλις δεις μέσα των σκελών, σκέψου τη διάμεσο — και, αν χρειάζεται, το θεώρημα των μέσων σε ένα από τα τρίγωνα που «κόβει» μια διαγώνιος.

Πρόκληση

Η διχοτόμος που περνά από το μέσο. Σε τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ ( $AB \parallel \Gamma\Delta$ ) η διχοτόμος της γωνίας $\hat{\Delta}$ διέρχεται από το μέσο $M$ της πλευράς $B\Gamma$ . Να αποδείξετε ότι $A\Delta = AB + \Gamma\Delta$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Προεκτείνουμε τη $\Delta M$ ώσπου να συναντήσει την ευθεία $AB$ στο $E$ , πέρα από το $B$ .

Τα τρίγωνα $MBE$ και $M\Gamma\Delta$ έχουν $MB = M\Gamma$ , $\hat{BME} = \hat{\Gamma M\Delta}$ (κατακορυφήν) και $\hat{MBE} = \hat{M\Gamma\Delta}$ (εντός εναλλάξ, $BE \parallel \Gamma\Delta$ ). Από το Γ-Π-Γ είναι ίσα, άρα $BE = \Gamma\Delta$ .
Οι παράλληλες $AE$ και $\Delta\Gamma$ τέμνονται από τη $\Delta E$ : $\hat{AE\Delta} = \hat{E\Delta\Gamma}$ (εντός εναλλάξ). Αφού η $\Delta E$ είναι διχοτόμος, $\hat{E\Delta\Gamma} = \hat{A\Delta E}$ . Άρα $\hat{AE\Delta} = \hat{A\Delta E}$ και το τρίγωνο $A\Delta E$ είναι ισοσκελές: $A\Delta = AE$ .
Επομένως $A\Delta = AE = AB + BE = AB + \Gamma\Delta$ . ✔

Η «στροφή»: η προέκταση ως την ευθεία της απέναντι βάσης «ενώνει» τα δύο μοτίβα — ίσα τρίγωνα από το μέσο και ισοσκελές από «διχοτόμο + παράλληλη».

Συνηθισμένα λάθη

Ημιάθροισμα ή ημιδιαφορά; Η διάμεσος τραπεζίου είναι $\frac{B_1 + B_2}{2}$ · το τμήμα της ανάμεσα στις διαγωνίους είναι $\frac{B_1 - B_2}{2}$ .
Ίσες διαγώνιοι σε τυχαίο τετράπλευρο. Οι ίσες διαγώνιοι κάνουν ισοσκελές μόνο ένα τραπέζιο. Διόρθωση: απόδειξε πρώτα την παραλληλία των βάσεων.
Προβολή σκέλους. Σε ισοσκελές τραπέζιο κάθε σκέλος προβάλλεται σε $\frac{B_1 - B_2}{2}$ , όχι σε $B_1 - B_2$ .
Ίσες απέναντι γωνίες. Στο ισοσκελές τραπέζιο ίσες είναι οι γωνίες της ίδιας βάσης· οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τραπέζιο: μόνο δύο πλευρές παράλληλες (βάσεις)· οι γωνίες κάθε σκέλους είναι παραπληρωματικές.
Διάμεσος: $MN \parallel$ βάσεις, $MN = \frac{B_1 + B_2}{2}$ · ανάμεσα στις διαγωνίους $\frac{B_1 - B_2}{2}$ .
Ισοσκελές τραπέζιο $\iff$ ίσες γωνίες σε μία βάση $\iff$ ίσες διαγώνιοι.
Βοηθητική κατασκευή: δύο ύψη από τη μικρή βάση· κάθε σκέλος προβάλλεται σε $\frac{B_1 - B_2}{2}$ .
Άξονας συμμετρίας του ισοσκελούς: η κοινή μεσοκάθετος των βάσεων.

Τραπέζιο και η διάμεσός του (§5.10)

Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο με μόνο δύο πλευρές παράλληλες — τις βάσεις του

B_1, B_2

· οι άλλες δύο λέγονται μη παράλληλες πλευρές (σκέλη), και η απόσταση των βάσεων είναι το ύψος του. Διάμεσος του τραπεζίου είναι το τμήμα

MN

που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών:

Η διάμεσος είναι παράλληλη στις βάσεις και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Επιπλέον, το κομμάτι της διαμέσου που βρίσκεται ανάμεσα στις διαγωνίους ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων,

\frac{B_1 - B_2}{2}

(με

B_1 > B_2

Ισοσκελές τραπέζιο: ιδιότητες και κριτήρια (§5.11)

Οι γωνίες που πρόσκεινται σε κάθε βάση είναι ίσες

Οι διαγώνιοι είναι ίσες

Και τα κριτήρια — πώς αναγνωρίζουμε ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές:

Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση του είναι ίσες, αν και μόνο αν οι διαγώνιοί του είναι ίσες.