📐

2ο Κριτήριο Ισότητας (Γ-Π-Γ)

Μία πλευρά και οι δύο προσκείμενες γωνίες — και το αντίστροφο του ισοσκελούς

Πώς εντοπίζεται ένα πλοίο χωρίς να το πλησιάσεις;

Δύο παρατηρητές στέκονται στα σημεία $A$ και $B$ της ακτής, σε γνωστή απόσταση. Ο καθένας μετράει τη γωνία ανάμεσα στην ακτή και στη γραμμή προς το πλοίο. Με αυτά τα τρία στοιχεία — μία πλευρά και τις δύο γωνίες στα άκρα της — η θέση του πλοίου ορίζεται μονοσήμαντα: δύο ημιευθείες με δοσμένες γωνίες τέμνονται σε ένα μόνο σημείο. Αυτό είναι το 2ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Γ-Π-Γ), και πάνω του στηρίζεται η τριγωνοποίηση που χρησιμοποιούν οι τοπογράφοι εδώ και αιώνες.

Το 2ο κριτήριο (§3.3)

2ο Κριτήριο (Γ-Π-Γ): Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

Προσκείμενες σε μια πλευρά είναι οι δύο γωνίες που βρίσκονται στα άκρα της — για τη $B\Gamma$ είναι οι $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ . Η απόδειξη γίνεται πάλι με επίθεση: ταυτίζουμε τις ίσες πλευρές, και αφού οι γωνίες στα άκρα είναι ίσες, οι πλευρές τους πέφτουν η μία πάνω στην άλλη· οι τρίτες κορυφές είναι το μοναδικό σημείο τομής τους, άρα ταυτίζονται.

Πορίσματα που χρησιμοποιούνται συνεχώς:

Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, είναι ισοσκελές — οι πλευρές απέναντι από αυτές είναι ίσες. Είναι το αντίστροφο του θεωρήματος για τις γωνίες βάσης.
Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες ίσες (ισογώνιο), είναι ισόπλευρο.

Έτσι για το ισοσκελές ισχύει πλέον η πλήρης ισοδυναμία: $AB = A\Gamma \iff \hat{B} = \hat{\Gamma}$ .

$\begin{cases} \hat{B} = \hat{B}' \\ B\Gamma = B'\Gamma' \\ \hat{\Gamma} = \hat{\Gamma}' \end{cases} \Rightarrow AB\Gamma = A'B'\Gamma' \quad (\Gamma\text{-}\Pi\text{-}\Gamma)$

Κόλπο μνήμης

Διάβασε τα γράμματα του κριτηρίου σαν βόλτα γύρω από το τρίγωνο. Στο Π-Γ-Π περπατάς πλευρά → γωνία → πλευρά, άρα η γωνία είναι ανάμεσα στις δύο πλευρές (περιεχόμενη). Στο Γ-Π-Γ η πλευρά είναι ανάμεσα στις δύο γωνίες (προσκείμενες). Αν τα ίσα στοιχεία δεν «κάθονται» με τη σειρά που λένε τα γράμματα, το κριτήριο δεν εφαρμόζεται.

Γρήγορος έλεγχος

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta EZ$ έχουν $AB = \Delta E$ , $\hat{A} = \hat{\Delta}$ και $\hat{B} = \hat{E}$ . Τι συμπεραίνουμε;

Απόδειξη θεωρίας (ίσες γωνίες ⇒ ισοσκελές): Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ . Να αποδείξετε ότι $AB = A\Gamma$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ από πάνω. Φαντάσου ένα «καθρεφτισμένο» αντίγραφο του τριγώνου, το $A\Gamma B$ , με τις κορυφές $B$ και $\Gamma$ να έχουν αλλάξει θέση.

Δεδομένα: $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ .

Ζητούμενο: $AB = A\Gamma$ .

Απόδειξη: Συγκρίνουμε το τρίγωνο $AB\Gamma$ με το τρίγωνο $A\Gamma B$ — το ίδιο τρίγωνο με άλλη αντιστοίχιση κορυφών ( $B \leftrightarrow \Gamma$ ). Έχουν:

$B\Gamma = \Gamma B$ (η ίδια πλευρά)
$\hat{B}$ του πρώτου $= \hat{\Gamma}$ του δεύτερου (υπόθεση)
$\hat{\Gamma}$ του πρώτου $= \hat{B}$ του δεύτερου (υπόθεση)

Από το Γ-Π-Γ είναι ίσα, άρα η $AB$ του πρώτου ισούται με την ομόλογή της $A\Gamma$ του δεύτερου: $AB = A\Gamma$ . ✔

Έξυπνο τέχνασμα: δεν χρειάστηκε καμία βοηθητική γραμμή — συγκρίναμε το τρίγωνο με τον «καθρέφτη» του.

Ήξερες ότι;

Ο Πρόκλος γράφει ότι ο Εύδημος απέδιδε το κριτήριο Γ-Π-Γ (Πρόταση 26 του 1ου βιβλίου των «Στοιχείων») στον Θαλή, γιατί η μέθοδος με την οποία ο Θαλής έβρισκε την απόσταση των πλοίων από την ακτή στηριζόταν αναγκαστικά σε αυτό. Ένα από τα πρώτα θεωρήματα της ιστορίας γεννήθηκε δηλαδή από ένα πρόβλημα ναυσιπλοΐας.

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\hat{B} = \hat{\Gamma} = 50^\circ$ και $AB = 7$ . Τι συμπεραίνουμε;

Μέθοδος: πότε διαλέγω το Γ-Π-Γ

Ψάξε ίσες γωνίες στο σχήμα: διχοτόμοι, γωνίες βάσης ισοσκελούς, κατακορυφήν, ορθές γωνίες από ύψη.
Βρες την πλευρά ανάμεσά τους: το Γ-Π-Γ θέλει τις δύο ίσες γωνίες στα άκρα της ίδιας ίσης πλευράς — συχνά μιας κοινής πλευράς.
Γράψε τα τρία στοιχεία με αιτιολόγηση και ονόμασε το κριτήριο.
Συμπέρανε: οι πλευρές απέναντι από ίσες γωνίες είναι ίσες.
Για να δείξεις ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, συχνά αρκεί να βρεις δύο ίσες γωνίες του — χωρίς κανένα άλλο τρίγωνο.

Παράδειγμα (διχοτόμος που είναι και ύψος): Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ η διχοτόμος $A\Delta$ της γωνίας $\hat{A}$ είναι κάθετη στη $B\Gamma$ . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια, η $A\Delta$ κατακόρυφη από την κορυφή $A$ ως τη βάση, χωρίζοντας το τρίγωνο στα $AB\Delta$ και $A\Gamma\Delta$ .

Απόδειξη: Τα τρίγωνα $AB\Delta$ και $A\Gamma\Delta$ έχουν:

$\hat{BA\Delta} = \hat{\Delta A\Gamma}$ ( $A\Delta$ διχοτόμος)
$A\Delta$ κοινή πλευρά
$\hat{A\Delta B} = \hat{A\Delta\Gamma} = 90^\circ$ ( $A\Delta \perp B\Gamma$ )

Οι δύο γωνίες είναι προσκείμενες στην κοινή πλευρά $A\Delta$ , άρα από το Γ-Π-Γ τα τρίγωνα είναι ίσα και $AB = A\Gamma$ . ✔ Μπόνους: επίσης $B\Delta = \Delta\Gamma$ , δηλαδή η $A\Delta$ είναι και διάμεσος.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ . Οι διχοτόμοι $B\Delta$ και $\Gamma E$ των γωνιών της βάσης τέμνουν τις απέναντι πλευρές στα $\Delta$ (πάνω στην $A\Gamma$ ) και $E$ (πάνω στην $AB$ ).

α) Να αποδείξετε ότι $B\Delta = \Gamma E$ .

β) Να αποδείξετε ότι $A\Delta = AE$ .

γ) Αν $I$ είναι το σημείο τομής των $B\Delta$ και $\Gamma E$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $IB\Gamma$ είναι ισοσκελές.

Σχήμα: Η βάση $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ πάνω. Από το $B$ ξεκινά η διχοτόμος προς τη δεξιά πλευρά $A\Gamma$ (σημείο $\Delta$ ) και από το $\Gamma$ η διχοτόμος προς την αριστερή $AB$ (σημείο $E$ )· οι δύο διχοτόμοι διασταυρώνονται στο $I$ , πάνω από τη βάση.

Δεδομένα: $AB = A\Gamma$ , $\hat{\Delta B\Gamma} = \frac{\hat{B}}{2}$ , $\hat{E\Gamma B} = \frac{\hat{\Gamma}}{2}$ .

Ζητούμενο: α) $B\Delta = \Gamma E$ , β) $A\Delta = AE$ , γ) $IB = I\Gamma$ .

Απόδειξη: α) Στο ισοσκελές είναι $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ , άρα και τα μισά τους: $\hat{\Delta B\Gamma} = \hat{E\Gamma B}$ . Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $\Delta B\Gamma$ και $E\Gamma B$ :

$B\Gamma$ κοινή πλευρά
$\hat{\Delta B\Gamma} = \hat{E\Gamma B}$ (μισά ίσων γωνιών)
$\hat{\Delta\Gamma B} = \hat{EB\Gamma}$ (γωνίες βάσης ισοσκελούς)

Οι γωνίες είναι προσκείμενες στην κοινή πλευρά $B\Gamma$ , άρα από το Γ-Π-Γ τα τρίγωνα είναι ίσα και $B\Delta = \Gamma E$ . ✔

β) Από την ίδια ισότητα, $\Gamma\Delta = BE$ (απέναντι από τις ίσες γωνίες $\hat{\Delta B\Gamma}$ και $\hat{E\Gamma B}$ ). Τότε $A\Delta = A\Gamma - \Gamma\Delta = AB - BE = AE$ . ✔

γ) Στο τρίγωνο $IB\Gamma$ είναι $\hat{IB\Gamma} = \hat{I\Gamma B}$ (μισά ίσων γωνιών). Τρίγωνο με δύο ίσες γωνίες είναι ισοσκελές, άρα $IB = I\Gamma$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta EZ$ έχουν $B\Gamma = EZ$ , $\hat{B} = \hat{E}$ και $\hat{A} = \hat{\Delta}$ . Γιατί δεν εφαρμόζεται άμεσα το Γ-Π-Γ;

Πρόκληση

Η διάμεσος που είναι και διχοτόμος. Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ η διάμεσος $AM$ είναι και διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Εδώ δεν υπάρχει ορθή γωνία, οπότε το τέχνασμα του παραδείγματος δεν δουλεύει. Η «στροφή» είναι να διπλασιάσεις τη διάμεσο: προεκτείνουμε την $AM$ κατά τμήμα $M\Delta = AM$ .

Τα τρίγωνα $AMB$ και $\Delta M\Gamma$ έχουν $AM = M\Delta$ (κατασκευή), $BM = M\Gamma$ ( $M$ μέσο) και $\hat{AMB} = \hat{\Delta M\Gamma}$ (κατακορυφήν). Από το Π-Γ-Π είναι ίσα, άρα $\Gamma\Delta = AB$ και $\hat{M\Delta\Gamma} = \hat{BAM}$ .
Αφού $\hat{BAM} = \hat{MA\Gamma}$ (διχοτόμος), έχουμε $\hat{A\Delta\Gamma} = \hat{\Delta A\Gamma}$ : το τρίγωνο $A\Gamma\Delta$ έχει δύο ίσες γωνίες, άρα (πόρισμα του Γ-Π-Γ) είναι ισοσκελές με $A\Gamma = \Gamma\Delta$ .
Επομένως $A\Gamma = \Gamma\Delta = AB$ . ✔

Ο «διπλασιασμός της διαμέσου» είναι από τα πιο δυνατά τεχνάσματα της Α΄ Λυκείου — θα τον ξαναδείς σε ανισότητες και παραλληλόγραμμα.

Συνηθισμένα λάθη

Γωνία που δεν είναι προσκείμενη. Το Γ-Π-Γ θέλει τις ίσες γωνίες στα άκρα της ίσης πλευράς. Διόρθωση: σημείωσε την πλευρά και έλεγξε ότι και οι δύο γωνίες «ακουμπούν» σε αυτήν.
Λάθος ίσες πλευρές στο ισοσκελές. Από $\hat{B} = \hat{\Gamma}$ προκύπτει $AB = A\Gamma$ (οι πλευρές απέναντι από τις ίσες γωνίες), όχι κάτι για τη $B\Gamma$ .
Γωνίες που «μοιάζουν» ίσες. Διόρθωση: κάθε ισότητα γωνιών χρειάζεται λόγο — διχοτόμος, κατακορυφήν, γωνίες βάσης ισοσκελούς, μισά ίσων γωνιών.
Σύγχυση με το Π-Γ-Π. Στο Π-Γ-Π η γωνία είναι ανάμεσα σε δύο πλευρές, στο Γ-Π-Γ η πλευρά είναι ανάμεσα σε δύο γωνίες.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γ-Π-Γ: μία πλευρά ίση και οι προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες $\Rightarrow$ ίσα τρίγωνα.
Τρίγωνο με δύο ίσες γωνίες είναι ισοσκελές: $\hat{B} = \hat{\Gamma} \Rightarrow AB = A\Gamma$ .
Ισογώνιο τρίγωνο $\Rightarrow$ ισόπλευρο.
Ισοσκελές: $AB = A\Gamma \iff \hat{B} = \hat{\Gamma}$ .
Τέχνασμα: διπλασιασμός της διαμέσου για να «μεταφέρεις» πλευρές και γωνίες.

Το 2ο κριτήριο (§3.3)

2ο Κριτήριο (Γ-Π-Γ): Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

Προσκείμενες σε μια πλευρά είναι οι δύο γωνίες που βρίσκονται στα άκρα της — για τη

B\Gamma

είναι οι

\hat{B}

και

\hat{\Gamma}

. Η απόδειξη γίνεται πάλι με επίθεση: ταυτίζουμε τις ίσες πλευρές, και αφού οι γωνίες στα άκρα είναι ίσες, οι πλευρές τους πέφτουν η μία πάνω στην άλλη· οι τρίτες κορυφές είναι το μοναδικό σημείο τομής τους, άρα ταυτίζονται.

Πορίσματα που χρησιμοποιούνται συνεχώς:

Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, είναι ισοσκελές — οι πλευρές απέναντι από αυτές είναι ίσες. Είναι το αντίστροφο του θεωρήματος για τις γωνίες βάσης.

Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες ίσες (ισογώνιο), είναι ισόπλευρο.

Έτσι για το ισοσκελές ισχύει πλέον η πλήρης ισοδυναμία:

AB = A\Gamma \iff \hat{B} = \hat{\Gamma}