📏

Τριγωνική Ανισότητα

$|\beta-\gamma| < \alpha < \beta+\gamma$: πότε τρία μήκη φτιάχνουν τρίγωνο

Φτιάχνεται τρίγωνο από οποιαδήποτε τρία καλαμάκια;

Κόψε τρία καλαμάκια με μήκη $3$ , $4$ και $8$ εκατοστά και προσπάθησε να φτιάξεις τρίγωνο. Όσο κι αν στρίβεις τα δύο μικρά, δεν φτάνουν να συναντηθούν: $3 + 4 = 7 < 8$ . Σε αυτό το μάθημα μαθαίνεις να το προβλέπεις χωρίς καλαμάκια — να συγκρίνεις πλευρές και γωνίες και να λες αμέσως ποια μήκη «χωράνε» σε τρίγωνο.

Τριγωνική ανισότητα: πότε τρία μήκη φτιάχνουν τρίγωνο

Σκέψου ότι πας από το σπίτι ( $B$ ) στο σχολείο ( $\Gamma$ ). Ο ευθύς δρόμος έχει μήκος $\alpha$ . Αν περάσεις πρώτα από το περίπτερο ( $A$ ), θα περπατήσεις $\gamma + \beta$ . Η παράκαμψη είναι πάντα μακρύτερη από τον ευθύ δρόμο — αυτό ακριβώς λέει η τριγωνική ανισότητα (§3.12):

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα και μεγαλύτερη από τη διαφορά των δύο άλλων.

Αν ένα από τα τρία μήκη είναι πολύ μεγάλο (ή πολύ μικρό), τα άλλα δύο «δεν φτάνουν να ενωθούν» και τρίγωνο δεν σχηματίζεται.

$|\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma$

Απόδειξη θεωρίας (τριγωνική ανισότητα): Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ να αποδείξετε ότι $B\Gamma < AB + A\Gamma$ .

Σχήμα: Προεκτείνουμε την πλευρά $BA$ πέρα από το $A$ κατά τμήμα $A\Delta = A\Gamma$ και ενώνουμε το $\Delta$ με το $\Gamma$ . Έτσι $B\Delta = AB + A\Gamma$ , και η $\Gamma A$ βρίσκεται μέσα στη γωνία $\hat{B\Gamma\Delta}$ .

Δεδομένα: $A\Delta = A\Gamma$ , τα $B, A, \Delta$ συνευθειακά.

Ζητούμενο: $B\Gamma < B\Delta$ .

Απόδειξη:

Το τρίγωνο $A\Gamma\Delta$ είναι ισοσκελές, άρα $\hat{A\Gamma\Delta} = \hat{\Delta}$ .
Αφού η $\Gamma A$ είναι στο εσωτερικό της $\hat{B\Gamma\Delta}$ : $\hat{B\Gamma\Delta} > \hat{A\Gamma\Delta} = \hat{\Delta}$ .
Στο τρίγωνο $B\Gamma\Delta$ , απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία $\hat{B\Gamma\Delta}$ βρίσκεται η μεγαλύτερη πλευρά: $B\Delta > B\Gamma$ , δηλαδή $AB + A\Gamma > B\Gamma$ . ✔

Εφαρμόζοντας το ίδιο στις άλλες πλευρές παίρνουμε και το αριστερό μέλος: από $AB < B\Gamma + A\Gamma$ προκύπτει $AB - A\Gamma < B\Gamma$ , και ομοίως $A\Gamma - AB < B\Gamma$ , δηλαδή $|\beta - \gamma| < \alpha$ .

Πρακτικός έλεγχος και εύρος τρίτης πλευράς

Για να ελέγξεις αν τρία μήκη σχηματίζουν τρίγωνο, δεν χρειάζεται να γράψεις τρεις ανισότητες:

Αρκεί να ελέγξεις ότι το μεγαλύτερο μήκος είναι μικρότερο από το άθροισμα των δύο άλλων — οι υπόλοιπες ανισότητες ισχύουν τότε αυτόματα
Προσοχή στην ισότητα: αν π.χ. $\alpha = \beta + \gamma$ , τα τρία σημεία είναι συνευθειακά και τρίγωνο δεν υπάρχει

Όταν ξέρεις δύο πλευρές και ψάχνεις το εύρος της τρίτης, η διπλή ανισότητα δίνει αμέσως την απάντηση: η τρίτη πλευρά είναι ανάμεσα στη διαφορά και στο άθροισμα των δύο γνωστών.

Γρήγορος έλεγχος

Σε τρίγωνο δύο πλευρές έχουν μήκη $5$ και $8$ . Πόσες ακέραιες τιμές μπορεί να πάρει η τρίτη πλευρά;

Ήξερες ότι;

Η τριγωνική ανισότητα είναι η Πρόταση 20 του 1ου βιβλίου των «Στοιχείων». Κατά τον Πρόκλο, οι Επικούρειοι τη χλεύαζαν: «ακόμη και ένας γάιδαρος το ξέρει» — βάλε σανό στην άκρη ενός δρόμου και ο γάιδαρος πάει ίσια σε αυτό, δεν κάνει τον γύρο δύο πλευρών. Η απάντηση των μαθηματικών: άλλο να φαίνεται κάτι αληθινό και άλλο να αποδεικνύεται.

Μέθοδος: ασκήσεις με την τριγωνική ανισότητα

Σχηματίζουν τρίγωνο τρία μήκη; Σύγκρινε μόνο το μεγαλύτερο με το άθροισμα των άλλων δύο· ισότητα σημαίνει «όχι τρίγωνο».
Εύρος τρίτης πλευράς: $|\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma$ , με γνήσιες ανισότητες· για ακέραιες τιμές μέτρα χωρίς τα άκρα.
Ισοσκελές με δύο γνωστά μήκη: δοκίμασε και τις δύο επιλογές για την τρίτη πλευρά και κράτα όποια περνά τον έλεγχο.
Αθροίσματα τμημάτων: βρες (ή φτιάξε, με προέκταση) τρίγωνα που τα περιέχουν, γράψε τριγωνικές ανισότητες και πρόσθεσε κατά μέλη.

Άσκηση: α) Σχηματίζουν τρίγωνο τα μήκη $3$ , $5$ , $9$ ; β) Σε τρίγωνο δύο πλευρές έχουν μήκη $4$ και $7$ . Μεταξύ ποιων τιμών βρίσκεται η τρίτη πλευρά $x$ ; Ποιες ακέραιες τιμές μπορεί να πάρει;

Λύση: α) Ελέγχουμε το μεγαλύτερο μήκος:

$9 \stackrel{?}{<} 3 + 5 = 8$

Όχι — είναι $9 > 8$ , άρα τα μήκη $3, 5, 9$ δεν σχηματίζουν τρίγωνο: τα δύο μικρά «δεν φτάνουν» να ενωθούν πάνω από το $9$ .

β) Από την τριγωνική ανισότητα:

$|7 - 4| < x < 7 + 4 \implies 3 < x < 11$

Οι ακέραιες τιμές είναι $x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ — επτά συνολικά. Προσοχή: τα άκρα $3$ και $11$ αποκλείονται, γιατί εκεί το «τρίγωνο» καταρρέει σε ευθύγραμμο τμήμα.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω τριάδες μηκών σχηματίζει τρίγωνο;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και σημείο $P$ στο εσωτερικό του.

α) Να αποδείξετε ότι $PB + P\Gamma < AB + A\Gamma$ .

β) Να αποδείξετε ότι $PA + PB + P\Gamma < AB + B\Gamma + \Gamma A$ .

Σχήμα: Προεκτείνουμε το τμήμα $BP$ πέρα από το $P$ μέχρι να συναντήσει την πλευρά $A\Gamma$ στο σημείο $\Delta$ . Έτσι σχηματίζονται δύο τρίγωνα: το $AB\Delta$ (που περιέχει τη $B\Delta = BP + P\Delta$ ) και το μικρό $P\Delta\Gamma$ .

Δεδομένα: $P$ εσωτερικό σημείο του $AB\Gamma$ .

Ζητούμενο: α) $PB + P\Gamma < AB + A\Gamma$ , β) $PA + PB + P\Gamma < AB + B\Gamma + \Gamma A$ .

Απόδειξη: α) Από την τριγωνική ανισότητα:

στο τρίγωνο $AB\Delta$ : $B\Delta < AB + A\Delta$ , δηλαδή $BP + P\Delta < AB + A\Delta$
στο τρίγωνο $P\Delta\Gamma$ : $P\Gamma < P\Delta + \Delta\Gamma$

Προσθέτουμε κατά μέλη:

$BP + P\Delta + P\Gamma < AB + A\Delta + P\Delta + \Delta\Gamma$

Διαγράφουμε το $P\Delta$ και από τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε ότι $A\Delta + \Delta\Gamma = A\Gamma$ :

$PB + P\Gamma < AB + A\Gamma \ ✔$

β) Με τον ίδιο τρόπο, από τις άλλες δύο κορυφές, έχουμε $PA + P\Gamma < BA + B\Gamma$ και $PA + PB < \Gamma A + \Gamma B$ . Προσθέτουμε τις τρεις ανισότητες κατά μέλη:

$2(PA + PB + P\Gamma) < 2(AB + B\Gamma + \Gamma A) \Rightarrow PA + PB + P\Gamma < AB + B\Gamma + \Gamma A \ ✔$

Το τέχνασμα «προέκτεινε για να φτιάξεις τρίγωνο, μετά πρόσθεσε τριγωνικές ανισότητες» είναι το στάνταρ εργαλείο για αθροίσματα τμημάτων.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές με μήκη $4$ και $9$ . Πόση είναι η περίμετρός του;

Στον έλεγχο τριγώνου, σύγκρινε ΜΟΝΟ τη μεγαλύτερη πλευρά με το άθροισμα των άλλων — γλιτώνεις χρόνο και λάθη. Θυμήσου ότι ισότητα στην τριγωνική ανισότητα σημαίνει «όχι τρίγωνο». Και σε ασκήσεις με αθροίσματα τμημάτων, αν δεν «βλέπεις» τρίγωνο, φτιάξ' το με μια προέκταση.

Πρόκληση

Να αποδείξετε ότι σε κάθε κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ το άθροισμα των διαγωνίων είναι μεγαλύτερο από την ημιπερίμετρο και μικρότερο από την περίμετρο:

$\frac{\Pi}{2} < A\Gamma + B\Delta < \Pi, \qquad \Pi = AB + B\Gamma + \Gamma\Delta + \Delta A$

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων (σε κυρτό τετράπλευρο τέμνονται στο εσωτερικό του).

Κάτω φράγμα: Τριγωνική ανισότητα στα τέσσερα «μικρά» τρίγωνα γύρω από το $O$ :

$AB < OA + OB, \quad B\Gamma < OB + O\Gamma, \quad \Gamma\Delta < O\Gamma + O\Delta, \quad \Delta A < O\Delta + OA$

Με πρόσθεση κατά μέλη: $\Pi < 2(OA + O\Gamma) + 2(OB + O\Delta) = 2(A\Gamma + B\Delta)$ , άρα $A\Gamma + B\Delta > \frac{\Pi}{2}$ .

Άνω φράγμα: Τώρα στα τρίγωνα που «κόβει» κάθε διαγώνιος:

$A\Gamma < AB + B\Gamma, \quad A\Gamma < A\Delta + \Delta\Gamma, \quad B\Delta < BA + A\Delta, \quad B\Delta < B\Gamma + \Gamma\Delta$

Με πρόσθεση: $2A\Gamma + 2B\Delta < 2\Pi$ , άρα $A\Gamma + B\Delta < \Pi$ . ✔

Η «στροφή»: το ίδιο εργαλείο δίνει και τα δύο φράγματα — αρκεί να διαλέξεις ποια τρίγωνα θα κοιτάξεις.

Συνηθισμένα λάθη

Έλεγχος τριγώνου με τη λάθος πλευρά. Ελέγχοντας π.χ. $3 < 5 + 9$ δεν αποδεικνύεις τίποτα. Διόρθωση: σύγκρινε τη μεγαλύτερη πλευρά με το άθροισμα των άλλων δύο.
Ισότητα στα άκρα. Αν $\alpha = \beta + \gamma$ , τα σημεία είναι συνευθειακά. Διόρθωση: οι ανισότητες είναι γνήσιες, $|\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma$ .
Ξεχασμένη περίπτωση σε ισοσκελές. Όταν δίνονται δύο μήκη, εξέτασε και τις δύο επιλογές για την τρίτη πλευρά και απόρριψε όποια παραβιάζει την τριγωνική ανισότητα.
Διαφορά χωρίς απόλυτη τιμή. Το κάτω όριο είναι $|\beta - \gamma|$ : αφαίρεσε πάντα τη μικρότερη από τη μεγαλύτερη πλευρά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τριγωνική ανισότητα: $|\beta - \gamma| < \alpha < \beta + \gamma$ — κάθε πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα και μεγαλύτερη από τη διαφορά των άλλων δύο.
Για έλεγχο αρκεί «μεγαλύτερη $<$ άθροισμα των άλλων δύο»· ισότητα σημαίνει συνευθειακά σημεία.
Εύρος τρίτης πλευράς: ανάμεσα στη διαφορά και στο άθροισμα των δύο γνωστών, χωρίς τα άκρα.
Αθροίσματα τμημάτων: προέκτεινε για να σχηματίσεις τρίγωνο και πρόσθεσε τριγωνικές ανισότητες.

Τριγωνική ανισότητα: πότε τρία μήκη φτιάχνουν τρίγωνο

Σκέψου ότι πας από το σπίτι (

B

) στο σχολείο (

\Gamma

). Ο ευθύς δρόμος έχει μήκος

\alpha

. Αν περάσεις πρώτα από το περίπτερο (

A

), θα περπατήσεις

\gamma + \beta

. Η παράκαμψη είναι πάντα μακρύτερη από τον ευθύ δρόμο — αυτό ακριβώς λέει η τριγωνική ανισότητα (§3.12):

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα και μεγαλύτερη από τη διαφορά των δύο άλλων.