⭕

Ευθεία & Κύκλος — Εφαπτόμενα Τμήματα

Εξωτερική, εφαπτομένη, τέμνουσα· εφαπτομένη κάθετη στην ακτίνα· ίσα εφαπτόμενα τμήματα

Προς τα πού φεύγει η πέτρα από τη σφεντόνα;

Στριφογυρίζεις μια πέτρα δεμένη σε σκοινί και ξαφνικά την αφήνεις. Δεν φεύγει «προς τα έξω», κατά μήκος του σκοινιού — ξεκινά κατά την εφαπτομένη του κύκλου, κάθετα στο σκοινί τη στιγμή που την άφησες. Αυτή η καθετότητα ακτίνας–εφαπτομένης είναι η καρδιά του μαθήματος: από αυτήν βγαίνουν τα εφαπτόμενα τμήματα και σχεδόν κάθε άσκηση του κεφαλαίου.

Ευθεία και κύκλος: τρεις δυνατές «συναντήσεις» (§3.14)

Έστω κύκλος $(O, \rho)$ και ευθεία $\varepsilon$ . Το μόνο που χρειάζεται για να ξέρουμε πόσα κοινά σημεία έχουν είναι η απόσταση $d = d(O, \varepsilon)$ του κέντρου από την ευθεία — δηλαδή το μήκος της καθέτου $OA$ από το $O$ προς την $\varepsilon$ :

Αν $d > \rho$ : η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου — κανένα κοινό σημείο
Αν $d = \rho$ : η ευθεία είναι εφαπτομένη — ένα ακριβώς κοινό σημείο, το σημείο επαφής
Αν $d < \rho$ : η ευθεία είναι τέμνουσα — δύο κοινά σημεία, και το τμήμα τους λέγεται χορδή

Η σύγκριση $d$ με $\rho$ είναι το «θερμόμετρο» όλου του κεφαλαίου: μετράς μία απόσταση και ξέρεις αμέσως τη σχετική θέση.

$d > \rho \iff \text{εξωτερική} \qquad d = \rho \iff \text{εφαπτομένη} \qquad d < \rho \iff \text{τέμνουσα}$

Γρήγορος έλεγχος

Κύκλος έχει ακτίνα $\rho = 6$ και μια ευθεία $\varepsilon$ απέχει από το κέντρο του απόσταση $d = 6$ . Ποια είναι η σχετική θέση τους;

Η εφαπτομένη και τα εφαπτόμενα τμήματα (§3.15)

Η εφαπτομένη ενός κύκλου είναι κάθετη στην ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής.

Αν η $\varepsilon$ εφάπτεται του $(O, \rho)$ στο $A$ , τότε $OA \perp \varepsilon$ — και αντίστροφα: η κάθετη στην ακτίνα $OA$ στο άκρο της $A$ είναι εφαπτομένη του κύκλου. Από σημείο $P$ εκτός του κύκλου άγονται δύο εφαπτόμενες, και τα τμήματα $PA, PB$ ως τα σημεία επαφής λέγονται εφαπτόμενα τμήματα:

Τα εφαπτόμενα τμήματα είναι ίσα: $PA = PB$
Η διακεντρική ευθεία $PO$ διχοτομεί τη γωνία $\hat{A P B}$ των εφαπτομένων και τη γωνία $\hat{A O B}$ των ακτίνων
Η $PO$ είναι μεσοκάθετος της χορδής $AB$ (της «χορδής επαφής»)

Η απόδειξη της ισότητας είναι ένα δίλεπτο: τα ορθογώνια τρίγωνα $POA$ και $POB$ έχουν κοινή υποτείνουσα $PO$ και $OA = OB = \rho$ , άρα είναι ίσα.

Απόδειξη θεωρίας (εφαπτομένη ⊥ ακτίνα): Η ευθεία $\varepsilon$ εφάπτεται του κύκλου $(O, \rho)$ στο σημείο $A$ . Να αποδείξετε ότι $OA \perp \varepsilon$ .

Σχήμα: Ο κύκλος με κέντρο $O$ και η $\varepsilon$ που τον αγγίζει μόνο στο $A$ . Υποθέτουμε (για άτοπο) ότι η κάθετη από το $O$ πέφτει σε άλλο σημείο $K$ της $\varepsilon$ , και παίρνουμε πάνω στην $\varepsilon$ το συμμετρικό $\Lambda$ του $A$ ως προς το $K$ .

Δεδομένα: η $\varepsilon$ έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό σημείο, το $A$ .

Ζητούμενο: $OA \perp \varepsilon$ .

Απόδειξη: Έστω ότι η $OA$ δεν είναι κάθετη στην $\varepsilon$ και $OK \perp \varepsilon$ με $K \neq A$ . Παίρνουμε στην $\varepsilon$ σημείο $\Lambda$ με $K\Lambda = KA$ , από την άλλη μεριά του $K$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα $OKA$ και $OK\Lambda$ έχουν $OK$ κοινή και $KA = K\Lambda$ , άρα είναι ίσα (Π-Γ-Π με περιεχόμενη την ορθή) και $O\Lambda = OA = \rho$ . Τότε και το $\Lambda \neq A$ ανήκει στον κύκλο — η $\varepsilon$ θα είχε δύο κοινά σημεία με αυτόν. Άτοπο, άρα $OA \perp \varepsilon$ . ✔

Ισοδύναμα: το $A$ είναι το σημείο της $\varepsilon$ που βρίσκεται πιο κοντά στο $O$ , οπότε $d(O, \varepsilon) = OA = \rho$ .

Ήξερες ότι;

Ο Ευκλείδης («Στοιχεία», ΙΙΙ.16) απέδειξε ότι ανάμεσα σε έναν κύκλο και την εφαπτομένη του δεν χωράει καμία άλλη ευθεία από το σημείο επαφής. Η «γωνία» ανάμεσα στο τόξο και την εφαπτομένη — η κερατοειδής γωνία — είναι μικρότερη από κάθε οξεία γωνία ευθειών, κι όμως δεν μοιάζει να είναι μηδέν. Αν είναι γωνία ή όχι, οι μαθηματικοί το συζητούσαν για αιώνες, ως τον 17ο αιώνα.

Σύρε τα σημεία πάνω στον κύκλο και φέρε τα άκρα μιας χορδής όλο και πιο κοντά — θα ανακαλύψεις ότι στο όριο η χορδή γίνεται εφαπτομένη και «κλειδώνει» πάντα κάθετα στην ακτίνα του σημείου επαφής.

Γρήγορος έλεγχος

Από σημείο $P$ εκτός κύκλου $(O, \rho)$ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $PA, PB$ , με $\hat{APB} = 50^\circ$ . Πόση είναι η γωνία $\hat{AOB}$ ;

Κόλπο μνήμης

Ακτίνα και εφαπτομένη φτιάχνουν πάντα ένα «Τ»: η ακτίνα είναι το κάθετο «πόδι» και η εφαπτομένη το «καπέλο» στο σημείο επαφής. Κι από εξωτερικό σημείο $P$ τα δύο εφαπτόμενα τμήματα είναι σαν τα σκέλη ενός ισοσκελούς, με άξονα συμμετρίας τη διακεντρική $PO$ .

Μέθοδος: ασκήσεις με εφαπτόμενες

Φέρε τις ακτίνες προς τα σημεία επαφής και σημείωσε τις ορθές γωνίες (εφαπτομένη $\perp$ ακτίνα).
Από εξωτερικό σημείο $P$ : γράψε αμέσως $PA = PB$ (εφαπτόμενα τμήματα).
Φέρε τη διακεντρική $PO$ : διχοτομεί τις $\hat{APB}$ και $\hat{AOB}$ και είναι μεσοκάθετος της χορδής $AB$ .
Δούλεψε στα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίστηκαν (κριτήρια ισότητας ορθογωνίων, άθροισμα γωνιών, ιδιότητα της γωνίας $30^\circ$ ).
Σε τρίγωνο ή τετράπλευρο με εγγεγραμμένο κύκλο, ονόμασε με ένα γράμμα κάθε ζευγάρι ίσων εφαπτόμενων τμημάτων και γράψε τις πλευρές ως αθροίσματα.

Άσκηση: Από σημείο $P$ εκτός κύκλου $(O, \rho)$ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $PA$ και $PB$ , με $\hat{A P B} = 60^\circ$ . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $PAB$ είναι ισόπλευρο.

Απόδειξη: Τα εφαπτόμενα τμήματα από εξωτερικό σημείο είναι ίσα:

$PA = PB$

Άρα το τρίγωνο $PAB$ είναι ισοσκελές με κορυφή το $P$ , οπότε οι προσκείμενες στη βάση $AB$ γωνίες είναι ίσες:

$\hat{P A B} = \hat{P B A} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$

Όλες οι γωνίες του τριγώνου είναι $60^\circ$ , άρα το $PAB$ είναι ισόπλευρο. ✔

Μπόνους παρατήρηση: η $PO$ διχοτομεί την $\hat{A P B}$ , άρα $\hat{O P A} = 30^\circ$ — στο ορθογώνιο τρίγωνο $POA$ αυτό δίνει $OA = \frac{PO}{2}$ , δηλαδή $PO = 2\rho$ .

Γρήγορος έλεγχος

Από σημείο $P$ με $PO = 13$ φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα $PA$ στον κύκλο $(O, 5)$ . Πόσο είναι το $PA$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Οι πλευρές ενός κυρτού τετραπλεύρου $AB\Gamma\Delta$ εφάπτονται σε κύκλο. Να αποδείξετε ότι $AB + \Gamma\Delta = A\Delta + B\Gamma$ . Στη συνέχεια, αν $AB = 7$ , $B\Gamma = 9$ και $\Gamma\Delta = 8$ , να βρείτε την $A\Delta$ .

Σχήμα: Ο κύκλος είναι μέσα στο τετράπλευρο και αγγίζει τις πλευρές $AB, B\Gamma, \Gamma\Delta, \Delta A$ στα σημεία $K, \Lambda, M, N$ αντίστοιχα. Κάθε κορυφή «στέλνει» δύο εφαπτόμενα τμήματα προς τα δύο γειτονικά σημεία επαφής.

Δεδομένα: οι πλευρές εφάπτονται στον κύκλο στα $K, \Lambda, M, N$ .

Ζητούμενο: $AB + \Gamma\Delta = A\Delta + B\Gamma$ .

Απόδειξη: Τα εφαπτόμενα τμήματα από το ίδιο σημείο είναι ίσα:

$AK = AN, \quad BK = B\Lambda, \quad \Gamma M = \Gamma\Lambda, \quad \Delta M = \Delta N$

Επομένως:

$AB + \Gamma\Delta = (AK + KB) + (\Gamma M + M\Delta) = (AN + N\Delta) + (B\Lambda + \Lambda\Gamma) = A\Delta + B\Gamma \ ✔$

Αριθμητικά: $7 + 8 = A\Delta + 9$ , άρα $A\Delta = 6$ .

Σε περιγεγραμμένο τετράπλευρο τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα — το κλειδί είναι να «σπάσεις» κάθε πλευρά στα δύο εφαπτόμενα τμήματά της.

Γρήγορος έλεγχος

Μια ευθεία απέχει $3$ από το κέντρο κύκλου ακτίνας $5$ . Ποια είναι η θέση της και πόσο είναι το κοινό τους τμήμα;

Μόλις δεις τη λέξη εφαπτομένη σε άσκηση, φέρε ΑΜΕΣΩΣ την ακτίνα στο σημείο επαφής και σημείωσε την ορθή γωνία — εκεί κρύβεται σχεδόν πάντα το ορθογώνιο τρίγωνο που λύνει την άσκηση. Και με δύο εφαπτόμενα τμήματα από το ίδιο σημείο, γράψε κατευθείαν $PA = PB$ και σκέψου «ισοσκελές + διχοτόμος η διακεντρική».

Πρόκληση

Η περίμετρος που δεν αλλάζει. Από σημείο $P$ εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $PA$ και $PB$ . Σε τυχαίο σημείο $\Sigma$ του μικρού τόξου $AB$ φέρνουμε την εφαπτομένη, που τέμνει τις $PA$ και $PB$ στα $\Gamma$ και $\Delta$ . Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου $P\Gamma\Delta$ είναι ίση με $2PA$ , όπου κι αν πάρουμε το $\Sigma$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Εφαρμόζουμε τρεις φορές την ισότητα των εφαπτόμενων τμημάτων:

από το $\Gamma$ : $\Gamma A = \Gamma\Sigma$
από το $\Delta$ : $\Delta B = \Delta\Sigma$
από το $P$ : $PA = PB$

Το $\Gamma\Delta$ «σπάει» στο $\Sigma$ : $\Gamma\Delta = \Gamma\Sigma + \Sigma\Delta = \Gamma A + \Delta B$ . Άρα

$P\Gamma + \Gamma\Delta + \Delta P = (P\Gamma + \Gamma A) + (B\Delta + \Delta P) = PA + PB = 2PA \ ✔$

Η «στροφή»: κάθε πλευρά που αγγίζει τον κύκλο αντικαθίσταται από δύο ίσα εφαπτόμενα κομμάτια — και το τρίγωνο «ξεδιπλώνεται» στα δύο σταθερά τμήματα $PA$ και $PB$ .

Συνηθισμένα λάθη

Σύγκριση με τη διάμετρο. Η θέση ευθείας–κύκλου κρίνεται συγκρίνοντας το $d$ με την ακτίνα $\rho$ , όχι με το $2\rho$ .
Ορθή γωνία «με το μάτι». Η $OA \perp \varepsilon$ πρέπει να αιτιολογηθεί: «η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα του σημείου επαφής».
Ίσα εφαπτόμενα τμήματα από διαφορετικά σημεία. Ίσα είναι μόνο τα δύο τμήματα από το ίδιο εξωτερικό σημείο. Διόρθωση: δώσε το ίδιο γράμμα μόνο σε τμήματα που ξεκινούν από την ίδια κορυφή.
Υποτείνουσα η εφαπτομένη. Στο τρίγωνο $POA$ υποτείνουσα είναι η $PO$ (απέναντι από την ορθή στο $A$ ): $PA^2 = PO^2 - \rho^2$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ευθεία–κύκλος: $d > \rho$ εξωτερική, $d = \rho$ εφαπτομένη, $d < \rho$ τέμνουσα.
Εφαπτομένη $\perp$ ακτίνα στο σημείο επαφής (και αντίστροφα).
Από εξωτερικό σημείο: $PA = PB$ , η $PO$ διχοτομεί τις $\hat{APB}, \hat{AOB}$ και είναι μεσοκάθετος της $AB$ · $\hat{APB} + \hat{AOB} = 180^\circ$ .
Μήκος εφαπτόμενου τμήματος: $PA^2 = PO^2 - \rho^2$ .
Περιγεγραμμένο τετράπλευρο: $AB + \Gamma\Delta = A\Delta + B\Gamma$ .

Ευθεία και κύκλος: τρεις δυνατές «συναντήσεις» (§3.14)

Έστω κύκλος

(O, \rho)

και ευθεία

\varepsilon

. Το μόνο που χρειάζεται για να ξέρουμε πόσα κοινά σημεία έχουν είναι η απόσταση

d = d(O, \varepsilon)

του κέντρου από την ευθεία — δηλαδή το μήκος της καθέτου

OA

από το

O

προς την

\varepsilon

Αν

d > \rho

: η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου — κανένα κοινό σημείο

Αν

d = \rho

: η ευθεία είναι εφαπτομένη — ένα ακριβώς κοινό σημείο, το σημείο επαφής

Αν

d < \rho

: η ευθεία είναι τέμνουσα — δύο κοινά σημεία, και το τμήμα τους λέγεται χορδή

Η σύγκριση

d

με

\rho

είναι το «θερμόμετρο» όλου του κεφαλαίου: μετράς μία απόσταση και ξέρεις αμέσως τη σχετική θέση.