🔺

Άθροισμα Γωνιών Τριγώνου

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{\Gamma}=180^\circ$, εξωτερική γωνία ίση με το άθροισμα των απέναντι, πορίσματα

Σκίσε τις γωνίες ενός τριγώνου — τι σχηματίζουν;

Κόψε ένα τρίγωνο από χαρτί, όποιο σχήμα θέλεις. Σκίσε τις τρεις γωνίες του και βάλε τις τη μία δίπλα στην άλλη, με τις κορυφές στο ίδιο σημείο: σχηματίζουν πάντα ευθεία γραμμή. Δοκίμασε με ένα στενόμακρο, ένα αμβλυγώνιο, ένα σχεδόν ισόπλευρο — το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Εδώ αποδεικνύεις γιατί, με ένα κομψό τέχνασμα παραλλήλων, και παίρνεις το πιο χρήσιμο «εργαλείο υπολογισμού» της Γεωμετρίας του Λυκείου.

Άθροισμα γωνιών τριγώνου (§4.6)

Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$ — δύο ορθές.

Η απόδειξη είναι ένα κομψό τρικ με παράλληλες: από την κορυφή $A$ φέρνουμε την ευθεία $x'x \parallel B\Gamma$ . Τότε η $\hat{B}$ μεταφέρεται δίπλα στην $\hat{A}$ ως εντός εναλλάξ, το ίδιο και η $\hat{\Gamma}$ από την άλλη μεριά — και οι τρεις γωνίες μαζί σχηματίζουν ευθεία γωνία στο $A$ , δηλαδή $180^\circ$ !

Πορίσματα:

Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές: $\hat{B} + \hat{\Gamma} = 90^\circ$
Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι $60^\circ$
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, έχουν και τις τρίτες ίσες

Σύρε τις κορυφές και παραμόρφωσε το τρίγωνο όσο θέλεις — οι τρεις γωνίες αλλάζουν, αλλά το άθροισμά τους μένει καρφωμένο στις $180^\circ$: όση γωνία «κερδίζει» η μία κορυφή, τόση «χάνουν» οι άλλες δύο.

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ \qquad \hat{A}_{\text{εξ}} = \hat{B} + \hat{\Gamma}$

Απόδειξη θεωρίας (άθροισμα γωνιών τριγώνου): Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο $AB\Gamma$ ισχύει $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$ .

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ πάνω. Από το $A$ φέρνουμε ευθεία $x'x \parallel B\Gamma$ , με την ημιευθεία $Ax'$ προς τη μεριά του $B$ και την $Ax$ προς τη μεριά του $\Gamma$ .

Δεδομένα: $x'x \parallel B\Gamma$ (υπάρχει και είναι μοναδική από το αίτημα παραλληλίας).

Ζητούμενο: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$ .

Απόδειξη:

Οι παράλληλες $x'x$ και $B\Gamma$ τέμνονται από την $AB$ : $\hat{x'AB} = \hat{B}$ (εντός εναλλάξ).
Οι ίδιες παράλληλες τέμνονται από την $A\Gamma$ : $\hat{xA\Gamma} = \hat{\Gamma}$ (εντός εναλλάξ).
Οι γωνίες $\hat{x'AB}$ , $\hat{BA\Gamma}$ , $\hat{\Gamma Ax}$ είναι διαδοχικές και γεμίζουν την ευθεία γωνία $\hat{x'Ax}$ :

$\hat{x'AB} + \hat{BA\Gamma} + \hat{\Gamma Ax} = 180^\circ \Rightarrow \hat{B} + \hat{A} + \hat{\Gamma} = 180^\circ \ ✔$

Γρήγορος έλεγχος

Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες των αριθμών $2, 3, 4$ . Πόση είναι η μεγαλύτερη γωνία;

Ήξερες ότι;

Επί δύο χιλιάδες χρόνια μαθηματικοί προσπαθούσαν να αποδείξουν το αίτημα παραλληλίας από τα υπόλοιπα αξιώματα — χωρίς επιτυχία. Τον 19ο αιώνα οι Λομπατσέφσκι και Μπολιάι (και ανεξάρτητα ο Γκάους) έδειξαν γιατί: αν το αντικαταστήσεις, προκύπτει μια εντελώς συνεπής μη Ευκλείδεια γεωμετρία, όπου το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι μικρότερο από $180^\circ$ . Κι αν σχεδιάσεις τρίγωνο πάνω σε σφαίρα, όπως η Γη, με κορυφές τον Βόρειο Πόλο και δύο σημεία του Ισημερινού, μπορεί να έχει τρεις ορθές γωνίες.

Η εξωτερική γωνία

Εξωτερική γωνία ενός τριγώνου λέγεται η εφεξής και παραπληρωματική μιας γωνίας του — π.χ. η $\hat{A}_{\text{εξ}}$ σχηματίζεται αν προεκτείνουμε μια πλευρά που περνά από το $A$ . Από το άθροισμα γωνιών προκύπτει αμέσως:

$\hat{A}_{\text{εξ}} = 180^\circ - \hat{A} = \hat{B} + \hat{\Gamma}$

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών — άρα είναι μεγαλύτερη από καθεμία τους.

Αυτή η προτασούλα λύνει αστραπιαία ασκήσεις «κυνηγητού γωνιών»: αντί να υπολογίζεις παραπληρωματικές βήμα-βήμα, πετάγεσαι κατευθείαν στο άθροισμα των απέναντι.

Γρήγορος έλεγχος

Σε ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB = A\Gamma$ , η εξωτερική γωνία στην κορυφή $A$ είναι $100^\circ$ . Πόση είναι η γωνία $\hat{B}$ ;

Μέθοδος: υπολογισμοί γωνιών σε τρίγωνο

Ονόμασε $x$ την άγνωστη γωνία και γράψε τις άλλες μέσω του $x$ (γωνίες βάσης ισοσκελούς ίσες, οξείες ορθογωνίου συμπληρωματικές, γωνίες σε λόγο $2k, 3k, \dots$ ).
Διάλεξε τη σχέση: άθροισμα $180^\circ$ για τις τρεις γωνίες ή εξωτερική $=$ άθροισμα απέναντι όταν εμφανίζεται προέκταση πλευράς.
Σε σχήματα με πολλά τρίγωνα, δούλεψε τρίγωνο-τρίγωνο και σημείωνε κάθε γωνία που βρίσκεις.
Επαλήθευσε: θετικές γωνίες, άθροισμα $180^\circ$ , σωστό είδος (το πολύ μία αμβλεία).

Άσκηση: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι $\hat{B} = 50^\circ$ και η εξωτερική γωνία στην κορυφή $\Gamma$ είναι $\hat{\Gamma}_{\text{εξ}} = 110^\circ$ . Να βρεθούν οι γωνίες $\hat{A}$ και $\hat{\Gamma}$ .

Λύση: Η εξωτερική γωνία στο $\Gamma$ ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών:

$\hat{\Gamma}_{\text{εξ}} = \hat{A} + \hat{B} \implies 110^\circ = \hat{A} + 50^\circ \implies \hat{A} = 60^\circ$

Η $\hat{\Gamma}$ είναι παραπληρωματική της εξωτερικής της: $\hat{\Gamma} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ .

Επαλήθευση: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 60^\circ + 50^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ . ✔

Παράδειγμα (ορθογώνιο τρίγωνο): Σε ορθογώνιο τρίγωνο η μία οξεία γωνία είναι κατά $15^\circ$ μεγαλύτερη από το διπλάσιο της άλλης. Να βρεθούν οι γωνίες του.

Λύση: Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές (πόρισμα του αθροίσματος). Με $x$ τη μικρότερη:

$x + (2x + 15^\circ) = 90^\circ \Rightarrow 3x = 75^\circ \Rightarrow x = 25^\circ$

Οι γωνίες είναι $90^\circ$ , $25^\circ$ και $2 \cdot 25^\circ + 15^\circ = 65^\circ$ .

Επαλήθευση: $90^\circ + 25^\circ + 65^\circ = 180^\circ$ ✔.

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{\Gamma}$ τέμνονται στο $I$ .

α) Να αποδείξετε ότι $\hat{BI\Gamma} = 90^\circ + \frac{\hat{A}}{2}$ .

β) Αν $\hat{BI\Gamma} = 125^\circ$ , να βρείτε τη γωνία $\hat{A}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η γωνία $\hat{BI\Gamma}$ είναι πάντα αμβλεία.

Σχήμα: Η $B\Gamma$ οριζόντια, η κορυφή $A$ πάνω. Οι διχοτόμοι από τα $B$ και $\Gamma$ ανεβαίνουν στο εσωτερικό και συναντιούνται στο $I$ , σχηματίζοντας το «μικρό» τρίγωνο $IB\Gamma$ πάνω στη βάση.

Δεδομένα: $\hat{IB\Gamma} = \frac{\hat{B}}{2}$ , $\hat{I\Gamma B} = \frac{\hat{\Gamma}}{2}$ .

Ζητούμενο: α) $\hat{BI\Gamma} = 90^\circ + \frac{\hat{A}}{2}$ , β) η $\hat{A}$ , γ) $\hat{BI\Gamma} > 90^\circ$ .

Απόδειξη: α) Στο τρίγωνο $IB\Gamma$ :

$\hat{BI\Gamma} = 180^\circ - \frac{\hat{B}}{2} - \frac{\hat{\Gamma}}{2} = 180^\circ - \frac{\hat{B} + \hat{\Gamma}}{2}$

Στο $AB\Gamma$ είναι $\hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ - \hat{A}$ , άρα

$\hat{BI\Gamma} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \hat{A}}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\hat{A}}{2} = 90^\circ + \frac{\hat{A}}{2} \ ✔$

β) $90^\circ + \frac{\hat{A}}{2} = 125^\circ \Rightarrow \frac{\hat{A}}{2} = 35^\circ \Rightarrow \hat{A} = 70^\circ$ .

γ) Αφού $\hat{A} > 0^\circ$ , είναι $\hat{BI\Gamma} > 90^\circ$ · και αφού $\hat{A} < 180^\circ$ , είναι $\hat{BI\Gamma} < 180^\circ$ . Άρα η $\hat{BI\Gamma}$ είναι πάντα αμβλεία. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Πόσες αμβλείες γωνίες μπορεί να έχει ένα τρίγωνο;

Πρόκληση

Το αστέρι. Σχεδίασε ένα πεντάκτινο αστέρι χωρίς να σηκώσεις το μολύβι: πάρε σημεία $A, B, \Gamma, \Delta, E$ με αυτή τη σειρά σαν κορυφές κυρτού πενταγώνου και ένωσε $A \to \Gamma \to E \to B \to \Delta \to A$ . Ονόμασε $\hat{A}, \hat{B}, \hat{\Gamma}, \hat{\Delta}, \hat{E}$ τις γωνίες στις πέντε «μύτες». Πόσο είναι το άθροισμά τους — και είναι το ίδιο για κάθε τέτοιο αστέρι, ακόμη και στραβό;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η $BE$ τέμνει τις $A\Gamma$ και $A\Delta$ στα σημεία $M$ και $N$ αντίστοιχα (με σειρά $B, M, N, E$ ). Χρησιμοποιούμε τρεις φορές όσα ξέρεις για τις γωνίες τριγώνου:

Στο τρίγωνο $BN\Delta$ η $\hat{A N M}$ είναι εξωτερική γωνία στο $N$ , άρα $\hat{A N M} = \hat{B} + \hat{\Delta}$ (οι μύτες στα $B$ και $\Delta$ )
Στο τρίγωνο $\Gamma M E$ η $\hat{A M N}$ είναι εξωτερική γωνία στο $M$ , άρα $\hat{A M N} = \hat{\Gamma} + \hat{E}$
Στο τρίγωνο $AMN$ : $\hat{A} + \hat{A M N} + \hat{A N M} = 180^\circ$

Αντικαθιστώντας: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} + \hat{\Delta} + \hat{E} = 180^\circ$ — για κάθε αστέρι, όσο στραβό κι αν είναι. Στο κανονικό αστέρι κάθε μύτη είναι $\frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$ .

Η «στροφή»: πέντε άγνωστες γωνίες, κι όμως το άθροισμά τους είναι σταθερό — γιατί το μικρό τρίγωνο $AMN$ τις «μαζεύει» όλες.

Συνηθισμένα λάθη

Εξωτερική γωνία ίση με μία απέναντι. Η εξωτερική ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών, όχι με καθεμιά. Διόρθωση: γράψε πάντα $\hat{A}_{\text{εξ}} = \hat{B} + \hat{\Gamma}$ .
$360^\circ$ αντί για $180^\circ$ . Το $360^\circ$ είναι το άθροισμα γύρω από σημείο ή σε τετράπλευρο — σε τρίγωνο είναι $180^\circ$ .
Γωνίες βάσης λάθος. Σε ισοσκελές με γωνία κορυφής $\hat{A}$ , κάθε γωνία βάσης είναι $\frac{180^\circ - \hat{A}}{2}$ , όχι $180^\circ - \hat{A}$ .
Κυκλική χρήση. Το άθροισμα $180^\circ$ αποδεικνύεται με παράλληλες· μην το χρησιμοποιείς για να αποδείξεις το ίδιο το κριτήριο παραλληλίας.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$ — απόδειξη με παράλληλη από την κορυφή.
Εξωτερική γωνία: $\hat{A}_{\text{εξ}} = \hat{B} + \hat{\Gamma}$ .
Οξείες γωνίες ορθογωνίου: συμπληρωματικές· ισόπλευρο: $60^\circ$ κάθε γωνία.
Ένα τρίγωνο έχει το πολύ μία ορθή ή αμβλεία γωνία.
Δύο γωνίες ίσες μία προς μία $\Rightarrow$ και οι τρίτες ίσες.

Άθροισμα γωνιών τριγώνου (§4.6)

Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι $\hat{A} + \hat{B} + \hat{\Gamma} = 180^\circ$ — δύο ορθές.

Η απόδειξη είναι ένα κομψό τρικ με παράλληλες: από την κορυφή

A

φέρνουμε την ευθεία

x'x \parallel B\Gamma

. Τότε η

\hat{B}

μεταφέρεται δίπλα στην

\hat{A}

ως εντός εναλλάξ, το ίδιο και η

\hat{\Gamma}

από την άλλη μεριά — και οι τρεις γωνίες μαζί σχηματίζουν ευθεία γωνία στο

A

, δηλαδή

180^\circ

Πορίσματα:

Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές:

\hat{B} + \hat{\Gamma} = 90^\circ

Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι

60^\circ

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, έχουν και τις τρίτες ίσες