✂️

Θεώρημα των Μέσων

Το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών, το αντίστροφο και οι ίσες παράλληλες τέμνουσες

Πώς μετράς το πλάτος μιας λίμνης χωρίς να βραχείς;

Θες την απόσταση ανάμεσα σε δύο δέντρα $B$ και $\Gamma$ στις απέναντι όχθες μιας λίμνης. Διαλέγεις ένα σημείο $A$ στη στεριά από όπου φτάνεις με τα πόδια και στα δύο δέντρα, σημαδεύεις τα μέσα $\Delta$ και $E$ των $AB$ και $A\Gamma$ και μετράς το $\Delta E$ στη στεριά. Το διπλάσιό του είναι η απόσταση που ψάχνεις. Αυτό είναι το θεώρημα των μέσων — και θα δεις ότι λύνει πολύ περισσότερα από λίμνες.

Το θεώρημα των μέσων (§5.6)

Ένα από τα πιο «εργατικά» θεωρήματα της Α΄ Λυκείου:

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Αν $\Delta, E$ είναι τα μέσα των $AB, A\Gamma$ στο τρίγωνο $AB\Gamma$ , τότε $\Delta E \parallel B\Gamma$ και $\Delta E = \frac{B\Gamma}{2}$ . Η απόδειξη είναι ένα όμορφο τέχνασμα: προεκτείνουμε το $\Delta E$ κατά ίσο τμήμα $EZ$ . Το τετράπλευρο $A\Delta\Gamma Z$ έχει διαγωνίους που διχοτομούνται (το $E$ είναι μέσο και των δύο), άρα είναι παραλληλόγραμμο — από εκεί προκύπτει ότι και το $B\Delta Z\Gamma$ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε $\Delta Z = B\Gamma$ και $\Delta Z \parallel B\Gamma$ , με το $\Delta E$ να είναι ακριβώς το μισό του $\Delta Z$ .

Και το αντίστροφο, εξίσου χρήσιμο:

Αν από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς άλλη πλευρά, αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.

Γενίκευση που συχνά ζητείται: αν τρεις (ή περισσότερες) παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μία τέμνουσα, ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη τέμνουσα.

$\Delta, E \ \text{μέσα των} \ AB, A\Gamma \Rightarrow \Delta E \parallel B\Gamma \ \text{και} \ \Delta E = \frac{B\Gamma}{2}$

Κόλπο μνήμης

«Δύο μέσα κάνουν ένα μισό» — και το μισό είναι πάντα παράλληλο στην πλευρά που «κοιτάζει». Και ανάποδα: «ένα μέσο + μία παράλληλη = δεύτερο μέσο».

Σύρε την τέμνουσα ανάμεσα στις παράλληλες ευθείες και παρατήρησε τα τμήματα που κόβονται — θα ανακαλύψεις ότι όταν οι παράλληλες ορίζουν ίσα τμήματα στη μία τέμνουσα, ορίζουν ίσα και σε κάθε άλλη: αυτή η αρχή είναι η «μηχανή» πίσω από το θεώρημα των μέσων.

Μέθοδος: πότε και πώς χρησιμοποιώ το θεώρημα των μέσων

Δύο μέσα πλευρών του ίδιου τριγώνου → το τμήμα που τα ενώνει είναι παράλληλο στην τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Γράψε και τα δύο συμπεράσματα.
Ένα μέσο και μία παράλληλη → αντίστροφο: η παράλληλη περνά από το μέσο της τρίτης πλευράς.
Μέσα σε τετράπλευρο → φέρε μια διαγώνιο για να χωρίσεις το σχήμα σε τρίγωνα, και εφάρμοσε το θεώρημα σε καθένα.
Δύο τμήματα ίσα και παράλληλα με το ίδιο τρίτο (π.χ. μισά της ίδιας διαγωνίου) → είναι ίσα και παράλληλα μεταξύ τους → παραλληλόγραμμο.

Άσκηση: Τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει πλευρές $AB = 6$ , $A\Gamma = 8$ , $B\Gamma = 10$ . Αν $\Delta, E, Z$ τα μέσα των πλευρών $AB, A\Gamma, B\Gamma$ , να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου $\Delta E Z$ .

Λύση: Κάθε πλευρά του «μεσοτριγώνου» ενώνει μέσα δύο πλευρών, άρα ισούται με το μισό της απέναντι πλευράς του αρχικού:

$\Delta E = \frac{B\Gamma}{2} = 5, \qquad EZ = \frac{AB}{2} = 3, \qquad Z\Delta = \frac{A\Gamma}{2} = 4$

Περίμετρος: $5 + 3 + 4 = 12$ — ακριβώς η μισή περίμετρος του $AB\Gamma$ ( $24/2$ ). Μπόνους παρατήρηση: το $\Delta E Z$ έχει πλευρές $3, 4, 5$ , άρα είναι ορθογώνιο — όπως και το αρχικό $6, 8, 10$ . Το μεσοτρίγωνο είναι πάντα «μικρογραφία» του αρχικού σε κλίμακα $1:2$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ τα $\Delta, E$ είναι μέσα των $AB, A\Gamma$ και $B\Gamma = 14$ . Τι ισχύει για το $\Delta E$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δίνεται τυχαίο κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ και $K, \Lambda, M, N$ τα μέσα των πλευρών $AB, B\Gamma, \Gamma\Delta, \Delta A$ αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι το $K\Lambda MN$ είναι παραλληλόγραμμο.

β) Αν οι διαγώνιοι του $AB\Gamma\Delta$ είναι ίσες, να αποδείξετε ότι το $K\Lambda MN$ είναι ρόμβος.

Σχήμα: Ένα «στραβό» τετράπλευρο με τις διαγωνίους $A\Gamma$ και $B\Delta$ σχεδιασμένες. Τα τέσσερα μέσα των πλευρών ενώνονται διαδοχικά και σχηματίζουν ένα εσωτερικό τετράπλευρο $K\Lambda MN$ .

Δεδομένα: $K, \Lambda, M, N$ μέσα των $AB, B\Gamma, \Gamma\Delta, \Delta A$ .

Ζητούμενο: α) $K\Lambda MN$ παραλληλόγραμμο, β) ρόμβος όταν $A\Gamma = B\Delta$ .

Απόδειξη: α) Φέρνουμε τη διαγώνιο $A\Gamma$ .

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ : $K, \Lambda$ μέσα των $AB, B\Gamma$ , άρα $K\Lambda \parallel A\Gamma$ και $K\Lambda = \frac{A\Gamma}{2}$
Στο τρίγωνο $A\Delta\Gamma$ : $N, M$ μέσα των $A\Delta, \Delta\Gamma$ , άρα $NM \parallel A\Gamma$ και $NM = \frac{A\Gamma}{2}$

Επομένως $K\Lambda$ και $NM$ είναι ίσα και παράλληλα, οπότε το $K\Lambda MN$ είναι παραλληλόγραμμο. ✔

β) Ομοίως, στο τρίγωνο $AB\Delta$ : $KN = \frac{B\Delta}{2}$ . Αν $A\Gamma = B\Delta$ , τότε $K\Lambda = KN$ : το παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος. ✔

Πόρισμα: η περίμετρος του $K\Lambda MN$ είναι $2 \cdot \frac{A\Gamma}{2} + 2 \cdot \frac{B\Delta}{2} = A\Gamma + B\Delta$ , δηλαδή ίση με το άθροισμα των διαγωνίων του αρχικού.

Ήξερες ότι;

Το αποτέλεσμα ότι τα μέσα των πλευρών οποιουδήποτε τετραπλεύρου σχηματίζουν παραλληλόγραμμο λέγεται θεώρημα του Βαρινιόν, από τον Γάλλο μαθηματικό Pierre Varignon (1654–1722). Δημοσιεύτηκε μετά τον θάνατό του, το 1731. Και ισχύει ακόμη και για μη κυρτά τετράπλευρα — η απόδειξη με τις διαγωνίους δουλεύει ακριβώς ίδια.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα κυρτό τετράπλευρο έχει διαγωνίους $10$ και $14$ . Πόση είναι η περίμετρος του τετραπλεύρου που σχηματίζουν τα μέσα των πλευρών του;

Γρήγορος έλεγχος

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ το $M$ είναι μέσο της $AB$ και η παράλληλη από το $M$ προς τη $B\Gamma$ τέμνει την $A\Gamma$ στο $N$ . Αν $A\Gamma = 12$ και $MN = 5$ , τι ισχύει;

Παράδειγμα (το αντίστροφο σε δράση): Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ τα $\Delta$ και $E$ είναι τα μέσα των $AB$ και $A\Gamma$ , και $Z$ τυχαίο σημείο της $B\Gamma$ . Να αποδείξετε ότι το τμήμα $\Delta E$ διχοτομεί το $AZ$ .

Σχήμα: Το $\Delta E$ «κόβει» οριζόντια το τρίγωνο· το $AZ$ κατεβαίνει από την κορυφή σε ένα σημείο της βάσης και τέμνει το $\Delta E$ σε ένα σημείο $K$ .

Απόδειξη: Από το θεώρημα των μέσων, $\Delta E \parallel B\Gamma$ . Στο τρίγωνο $ABZ$ το $\Delta$ είναι μέσο της $AB$ και η ευθεία $\Delta E$ είναι παράλληλη προς τη $BZ$ (που βρίσκεται πάνω στη $B\Gamma$ ). Από το αντίστροφο του θεωρήματος, η $\Delta E$ περνά από το μέσο της $AZ$ : $AK = KZ$ . ✔

Το ίδιο ισχύει για κάθε σημείο $Z$ της βάσης: το τμήμα των μέσων μοιράζει στη μέση κάθε τμήμα από την κορυφή $A$ προς τη $B\Gamma$ .

Μόλις η εκφώνηση αναφέρει δύο μέσα, το θεώρημα των μέσων είναι σχεδόν σίγουρα το ζητούμενο εργαλείο — και μην ξεχνάς ότι παραδίδει πακέτο: μήκος ΚΑΙ παραλληλία. Με ένα μέσο + μία παραλληλία, σκέψου το αντίστροφο: θα σου χαρίσει το δεύτερο μέσο.

Πρόκληση

Το μυστηριώδες ένα τρίτο. Σε τρίγωνο $AB\Gamma$ έστω $M$ το μέσο της $B\Gamma$ και $\Delta$ το μέσο της διαμέσου $AM$ . Η ευθεία $B\Delta$ τέμνει την $A\Gamma$ στο $E$ . Να αποδείξετε ότι $AE = \frac{A\Gamma}{3}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Κανένα γνωστό μέσο δεν βρίσκεται πάνω στην $A\Gamma$ — η «στροφή» είναι να φτιάξεις ένα: έστω $N$ το μέσο του $E\Gamma$ .

Στο τρίγωνο $BE\Gamma$ : το $M$ είναι μέσο της $B\Gamma$ και το $N$ μέσο της $E\Gamma$ , άρα από το θεώρημα των μέσων $MN \parallel BE$ , δηλαδή $MN \parallel \Delta E$ .
Στο τρίγωνο $AMN$ : το $\Delta$ είναι μέσο της $AM$ και $\Delta E \parallel MN$ . Από το αντίστροφο του θεωρήματος, η $\Delta E$ περνά από το μέσο της $AN$ — άρα το $E$ είναι μέσο της $AN$ : $AE = EN$ .
Επομένως $AE = EN = N\Gamma$ , και τα τρία ίσα κομμάτια γεμίζουν την $A\Gamma$ : $AE = \frac{A\Gamma}{3}$ . ✔

Μπόνους: αφού $MN = \frac{BE}{2}$ και $\Delta E = \frac{MN}{2}$ , προκύπτει $\Delta E = \frac{BE}{4}$ , δηλαδή $B\Delta = \frac{3}{4}BE$ .

Συνηθισμένα λάθη

Μόνο το μήκος. Το θεώρημα δίνει $\Delta E = \frac{B\Gamma}{2}$ και $\Delta E \parallel B\Gamma$ — η παραλληλία συχνά χρειάζεται στο επόμενο ερώτημα.
Θεώρημα με ένα μόνο μέσο. Αν μόνο το ένα άκρο είναι μέσο, χρειάζεσαι και παραλληλία για να εφαρμόσεις το αντίστροφο. Διόρθωση: έλεγξε ότι ισχύουν οι υποθέσεις.
Μέσα σε τετράπλευρο χωρίς διαγώνιο. Το θεώρημα εφαρμόζεται σε τρίγωνα. Διόρθωση: φέρε πρώτα μια διαγώνιο, ώστε τα μέσα να γίνουν μέσα πλευρών τριγώνων.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θεώρημα μέσων: $\Delta, E$ μέσα των $AB, A\Gamma \Rightarrow \Delta E \parallel B\Gamma$ και $\Delta E = \frac{B\Gamma}{2}$ .
Αντίστροφο: παράλληλη από το μέσο μιας πλευράς προς άλλη πλευρά περνά από το μέσο της τρίτης.
Τα μέσα των πλευρών κάθε τετραπλεύρου σχηματίζουν παραλληλόγραμμο με περίμετρο $A\Gamma + B\Delta$ .
Παράλληλες που ορίζουν ίσα τμήματα σε μία τέμνουσα ορίζουν ίσα τμήματα σε κάθε τέμνουσα.
Μέσα σε τετράπλευρο: φέρε διαγώνιο και εφάρμοσε το θεώρημα στα δύο τρίγωνα.

Το θεώρημα των μέσων (§5.6)

Ένα από τα πιο «εργατικά» θεωρήματα της Α΄ Λυκείου:

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Αν

\Delta, E

είναι τα μέσα των

AB, A\Gamma

στο τρίγωνο

AB\Gamma

, τότε

\Delta E \parallel B\Gamma

και

\Delta E = \frac{B\Gamma}{2}

. Η απόδειξη είναι ένα όμορφο τέχνασμα: προεκτείνουμε το

\Delta E

κατά ίσο τμήμα

EZ

. Το τετράπλευρο

A\Delta\Gamma Z

έχει διαγωνίους που διχοτομούνται (το

E

είναι μέσο και των δύο), άρα είναι παραλληλόγραμμο — από εκεί προκύπτει ότι και το

B\Delta Z\Gamma

είναι παραλληλόγραμμο, οπότε

\Delta Z = B\Gamma

και

\Delta Z \parallel B\Gamma

, με το

\Delta E

να είναι ακριβώς το μισό του

\Delta Z

Και το αντίστροφο, εξίσου χρήσιμο:

Αν από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς άλλη πλευρά, αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.