⭕

Σχετικές Θέσεις Δύο Κύκλων

Διάκεντρος, $R+\rho$ και $R-\rho$: πέντε θέσεις, κοινή χορδή, σημείο επαφής

Γιατί μια έκλειψη Ηλίου μπορεί να αφήσει «δαχτυλίδι» φωτός;

Σε μια έκλειψη Ηλίου βλέπουμε δύο δίσκους στον ουρανό — του Ήλιου και της Σελήνης — να πλησιάζουν, να επικαλύπτονται και να απομακρύνονται. Κάθε φάση είναι μια σχετική θέση δύο κύκλων: χωριστοί, «φιλιούνται», τέμνονται, ή ο ένας χωράει ολόκληρος μέσα στον άλλο. Όταν ο δίσκος της Σελήνης φαίνεται λίγο μικρότερος και μπαίνει ολόκληρος μέσα στον ηλιακό, μένει γύρω του ένα λαμπερό δαχτυλίδι — η δακτυλιοειδής έκλειψη. Όλα κρίνονται από έναν αριθμό: την απόσταση των κέντρων.

Δύο κύκλοι: πέντε σχετικές θέσεις (§3.16)

Για δύο κύκλους $(K, R)$ και $(\Lambda, \rho)$ με $R > \rho$ , όλα κρίνονται από τη διάκεντρο $d = K\Lambda$ :

$d > R + \rho$ : ο καθένας εξωτερικός του άλλου — κανένα κοινό σημείο
$d = R + \rho$ : εφάπτονται εξωτερικά — ένα κοινό σημείο πάνω στη διάκεντρο
$R - \rho < d < R + \rho$ : τέμνονται — δύο κοινά σημεία
$d = R - \rho$ : εφάπτονται εσωτερικά — ένα κοινό σημείο
$d < R - \rho$ : ο μικρός εσωτερικός του μεγάλου — κανένα κοινό σημείο

Όταν δύο κύκλοι τέμνονται, η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους. Όταν εφάπτονται, το σημείο επαφής βρίσκεται πάνω στη διάκεντρο και η κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό είναι κάθετη σε αυτήν.

Απόδειξη θεωρίας (η διάκεντρος και η κοινή χορδή): Οι κύκλοι $(K, R)$ και $(\Lambda, \rho)$ τέμνονται στα σημεία $A$ και $B$ . Να αποδείξετε ότι η διάκεντρος $K\Lambda$ είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής $AB$ .

Σχήμα: Δύο κύκλοι που επικαλύπτονται· η κοινή χορδή $AB$ κατακόρυφη, η διάκεντρος $K\Lambda$ οριζόντια, και τα δύο τμήματα διασταυρώνονται.

Δεδομένα: $KA = KB = R$ , $\Lambda A = \Lambda B = \rho$ .

Ζητούμενο: η $K\Lambda$ είναι μεσοκάθετος της $AB$ .

Απόδειξη: Το $K$ ισαπέχει από τα $A, B$ (ακτίνες του πρώτου κύκλου), άρα ανήκει στη μεσοκάθετο της $AB$ . Το ίδιο και το $\Lambda$ (ακτίνες του δεύτερου κύκλου). Τα $K, \Lambda$ είναι διαφορετικά σημεία της μεσοκαθέτου, άρα η ευθεία $K\Lambda$ είναι η μεσοκάθετος της $AB$ . ✔

Συνέπεια: όταν οι κύκλοι εφάπτονται, τα δύο σημεία τομής «συγχωνεύονται» σε ένα, που βρίσκεται πάνω στη διάκεντρο· η κοινή εφαπτομένη εκεί είναι κάθετη στη διάκεντρο, αφού είναι κάθετη και στις δύο ακτίνες.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες $R = 8$ και $\rho = 3$ και διάκεντρο $d = 4$ . Ποια είναι η σχετική τους θέση;

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου έναν άξονα με δύο «σταθμούς», το $R - \rho$ και το $R + \rho$ , και δες πού πέφτει η διάκεντρος $d$ :

πάνω σε σταθμό → οι κύκλοι εφάπτονται (εσωτερικά στο $R - \rho$ , εξωτερικά στο $R + \rho$ )
ανάμεσα στους σταθμούς → τέμνονται
έξω από τους σταθμούς → δεν συναντιούνται (πριν από το $R - \rho$ ο ένας είναι μέσα στον άλλο, μετά το $R + \rho$ ο ένας έξω από τον άλλο)

Ήξερες ότι;

Τα διαγράμματα με κύκλους που τέμνονται, για να δείχνουμε λογικές σχέσεις («όλα τα τετράγωνα είναι ρόμβοι»), τα ξέρεις ως διαγράμματα Venn, από τον John Venn (1880). Όμως ο Λέοναρντ Όιλερ τα χρησιμοποιούσε ήδη έναν αιώνα νωρίτερα, στα «Γράμματα σε μια Γερμανίδα πριγκίπισσα» (1768): κύκλος μέσα σε κύκλο για το «όλα», χωριστοί κύκλοι για το «κανένα», κύκλοι που τέμνονται για το «μερικά».

Μέθοδος: ασκήσεις με δύο κύκλους

Υπολόγισε τα $R + \rho$ και $|R - \rho|$ και τοποθέτησε τη διάκεντρο $d$ πάνω στον «άξονα»: εξωτερικοί, εφαπτόμενοι εξωτερικά, τεμνόμενοι, εφαπτόμενοι εσωτερικά, ο ένας μέσα στον άλλο.
Για παράμετρο (άγνωστη ακτίνα ή διάκεντρο), γράψε τη συνθήκη ως ανίσωση ή εξίσωση — π.χ. τέμνονται $\iff |R - \rho| < d < R + \rho$ .
Κοινή χορδή: η διάκεντρος είναι μεσοκάθετός της· δούλεψε στα ορθογώνια τρίγωνα με υποτείνουσες τις ακτίνες.
Εφαπτόμενοι κύκλοι: το σημείο επαφής είναι πάνω στη διάκεντρο, οπότε $d = R + \rho$ (εξωτερικά) ή $d = |R - \rho|$ (εσωτερικά).

Παράδειγμα (άγνωστη ακτίνα): Οι κύκλοι $(K, 5)$ και $(\Lambda, \rho)$ έχουν διάκεντρο $K\Lambda = 8$ . Για ποιες τιμές του $\rho$ α) τέμνονται, β) εφάπτονται;

Λύση: α) Τέμνονται όταν $|5 - \rho| < 8 < 5 + \rho$ .

Από $8 < 5 + \rho$ : $\rho > 3$ .
Από $|5 - \rho| < 8$ : $-8 < 5 - \rho < 8$ , δηλαδή $-3 < \rho < 13$ · με $\rho > 0$ μένει $\rho < 13$ .

Άρα τέμνονται για $3 < \rho < 13$ .

β) Εξωτερική επαφή: $5 + \rho = 8 \Rightarrow \rho = 3$ . Εσωτερική επαφή: $|5 - \rho| = 8$ , δηλαδή $\rho = 13$ (το $\rho = -3$ απορρίπτεται) — τότε ο $(K, 5)$ βρίσκεται μέσα στον $(\Lambda, 13)$ και τον αγγίζει.

Έλεγχος: για $\rho = 3$ είναι $d = 8 = R + \rho$ ✔· για $\rho = 13$ είναι $d = 8 = 13 - 5$ ✔.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες $R = 7$ και $\rho = 3$ , και διάκεντρο $d = 10$ . Ποια είναι η σχετική τους θέση;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Οι κύκλοι $(K, R)$ και $(\Lambda, \rho)$ τέμνονται στα σημεία $A$ και $B$ .

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $KA\Lambda$ και $KB\Lambda$ είναι ίσα.

β) Να αποδείξετε ότι η $K\Lambda$ διχοτομεί τις γωνίες $\hat{AKB}$ και $\hat{A\Lambda B}$ .

γ) Αν $M$ είναι το σημείο τομής της $K\Lambda$ με την $AB$ , να αποδείξετε ότι $MA = MB$ .

Σχήμα: Δύο κύκλοι που επικαλύπτονται, με κέντρα $K$ (αριστερά) και $\Lambda$ (δεξιά). Τα σημεία τομής $A$ (πάνω) και $B$ (κάτω) ενώνονται με τα δύο κέντρα, σχηματίζοντας τον «χαρταετό» $AKB\Lambda$ με διαγωνίους $K\Lambda$ και $AB$ .

Δεδομένα: $KA = KB = R$ , $\Lambda A = \Lambda B = \rho$ .

Ζητούμενο: α) $KA\Lambda = KB\Lambda$ , β) $\hat{AK\Lambda} = \hat{BK\Lambda}$ και $\hat{A\Lambda K} = \hat{B\Lambda K}$ , γ) $MA = MB$ .

Απόδειξη: α) Τα τρίγωνα $KA\Lambda$ και $KB\Lambda$ έχουν $KA = KB$ (ακτίνες του πρώτου κύκλου), $\Lambda A = \Lambda B$ (ακτίνες του δεύτερου) και $K\Lambda$ κοινή. Από το Π-Π-Π είναι ίσα. ✔

β) Από την ισότητα, $\hat{AK\Lambda} = \hat{BK\Lambda}$ (απέναντι από τις ίσες $\Lambda A, \Lambda B$ ) και $\hat{A\Lambda K} = \hat{B\Lambda K}$ (απέναντι από τις ίσες $KA, KB$ ). ✔

γ) Τα τρίγωνα $KMA$ και $KMB$ έχουν $KA = KB$ , $KM$ κοινή και $\hat{AKM} = \hat{BKM}$ (ερώτημα β). Από το Π-Γ-Π είναι ίσα, άρα $MA = MB$ . ✔ Επιπλέον $\hat{KMA} = \hat{KMB} = 90^\circ$ — ξαναβρίσκουμε ότι η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής.

Παράδειγμα (μήκος κοινής χορδής): Οι κύκλοι $(K, 13)$ και $(\Lambda, 15)$ έχουν διάκεντρο $K\Lambda = 14$ . α) Να δείξετε ότι τέμνονται. β) Να βρείτε το μήκος της κοινής χορδής $AB$ .

Λύση: α) $|15 - 13| = 2 < 14 < 28 = 13 + 15$ , άρα τέμνονται. ✔

β) Η $K\Lambda$ είναι μεσοκάθετος της $AB$ · έστω $M$ το κοινό τους σημείο, $KM = x$ και $M\Lambda = 14 - x$ (το $M$ είναι ανάμεσα στα κέντρα). Στα ορθογώνια τρίγωνα $KMA$ και $\Lambda MA$ η $MA$ είναι κοινή κάθετη πλευρά:

$MA^2 = 13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2$

$169 - x^2 = 225 - 196 + 28x - x^2 \Rightarrow 169 = 29 + 28x \Rightarrow x = 5$

Τότε $MA^2 = 169 - 25 = 144$ , $MA = 12$ και $AB = 2 \cdot 12 = 24$ .

Έλεγχος: $M\Lambda = 9$ και $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ ✔.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Ο ένας έχει ακτίνα $6$ και η διάκεντρος είναι $10$ . Πόση είναι η ακτίνα του άλλου;

Πρόκληση

Ο ιμάντας. Δύο τροχαλίες-κύκλοι $(K, 4)$ και $(\Lambda, 1)$ εφάπτονται εξωτερικά. Ένας τεντωμένος ιμάντας ακολουθεί μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους, που τους αγγίζει στα σημεία $A$ και $B$ αντίστοιχα. Πόσο είναι το ευθύγραμμο κομμάτι $AB$ του ιμάντα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αφού οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, $K\Lambda = R + \rho = 4 + 1 = 5$ .

Οι ακτίνες στα σημεία επαφής είναι κάθετες στην εφαπτομένη: $KA \perp AB$ και $\Lambda B \perp AB$ . Άρα $KA \parallel \Lambda B$ και το $AB\Lambda K$ είναι ορθογώνιο τραπέζιο.
Φέρνουμε από το $\Lambda$ παράλληλη προς την $AB$ , που τέμνει την $KA$ στο $H$ . Το $AB\Lambda H$ είναι ορθογώνιο, άρα $H\Lambda = AB$ και $AH = B\Lambda = 1$ , οπότε $KH = 4 - 1 = 3$ .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $KH\Lambda$ ( $\hat{H} = 90^\circ$ ): $H\Lambda^2 = K\Lambda^2 - KH^2 = 25 - 9 = 16$ , άρα $AB = H\Lambda = 4$ .

Η «στροφή»: η βοηθητική παράλληλη μετατρέπει το τραπέζιο σε ορθογώνιο + ορθογώνιο τρίγωνο. Γενικά, για κύκλους που εφάπτονται εξωτερικά, $AB^2 = (R + \rho)^2 - (R - \rho)^2 = 4R\rho$ , δηλαδή $AB = 2\sqrt{R\rho}$ — εδώ $2\sqrt{4 \cdot 1} = 4$ .

Συνηθισμένα λάθη

Μισός έλεγχος σε δύο κύκλους. Το $d < R + \rho$ δεν αρκεί για να τέμνονται. Διόρθωση: έλεγξε τη διπλή ανισότητα $R - \rho < d < R + \rho$ .
Αρνητική διαφορά. Με άγνωστη ακτίνα γράψε $|R - \rho|$ · αλλιώς χάνεις την περίπτωση όπου ο «άλλος» κύκλος είναι ο μεγαλύτερος.
Διάκεντρος ή διάμετρος; Η διάκεντρος είναι η απόσταση των κέντρων, όχι κάποιο μήκος πάνω σε κύκλο.
Κοινή χορδή χωρίς καθετότητα. Η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής — γράψε το και αιτιολόγησέ το (τα κέντρα ισαπέχουν από τα άκρα της).

Σύνοψη — τι κρατάμε

Όλα κρίνονται από τη διάκεντρο $d$ σε σύγκριση με τα $R + \rho$ και $|R - \rho|$ .
$d > R + \rho$ : εξωτερικοί· $d = R + \rho$ : εφάπτονται εξωτερικά· $|R - \rho| < d < R + \rho$ : τέμνονται.
$d = |R - \rho|$ : εφάπτονται εσωτερικά· $d < |R - \rho|$ : ο ένας μέσα στον άλλο.
Τεμνόμενοι κύκλοι: η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής.
Εφαπτόμενοι κύκλοι: το σημείο επαφής βρίσκεται πάνω στη διάκεντρο.

Δύο κύκλοι: πέντε σχετικές θέσεις (§3.16)

Για δύο κύκλους

(K, R)

και

(\Lambda, \rho)

με

R > \rho

, όλα κρίνονται από τη διάκεντρο

d = K\Lambda

d > R + \rho

: ο καθένας εξωτερικός του άλλου — κανένα κοινό σημείο

d = R + \rho

: εφάπτονται εξωτερικά — ένα κοινό σημείο πάνω στη διάκεντρο

R - \rho < d < R + \rho

: τέμνονται — δύο κοινά σημεία

d = R - \rho

: εφάπτονται εσωτερικά — ένα κοινό σημείο

d < R - \rho

: ο μικρός εσωτερικός του μεγάλου — κανένα κοινό σημείο