🧭

Ευθείες & Κύκλος — Βασικές Κατασκευές

Κάθετες-παράλληλες, απόσταση από ευθεία, κύκλος, μεσοκάθετος

Γιατί με νοιάζει;

Δύο σπίτια θέλουν να μοιραστούν ένα πηγάδι, και το πηγάδι πρέπει να απέχει ακριβώς το ίδιο από τα δύο. Πού μπορεί να σκαφτεί; Και γιατί οι ρόδες είναι κυκλικές και όχι τετράγωνες;

Την απάντηση δίνουν δύο εργαλεία αυτού του κεφαλαίου: η μεσοκάθετος και ο κύκλος. Θα μάθεις επίσης πότε δύο ευθείες είναι κάθετες ή παράλληλες και πώς τις χαράζεις.

Θέσεις ευθειών στο επίπεδο

Δύο ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ του ίδιου επιπέδου είτε τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο είτε είναι παράλληλες (δεν έχουν κανένα κοινό σημείο). Γράφουμε $\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2$ .

Αν οι ευθείες τέμνονται και σχηματίζουν ορθή γωνία ( $90^\circ$ ), λέγονται κάθετες και γράφουμε $\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2$ . Στο σχολείο τις χαράζουμε με τον γνώμονα: η μία πλευρά του πάνω στην ευθεία, η άλλη δείχνει την κάθετη.

Από ένα σημείο εκτός ευθείας περνά μία μόνο κάθετη και μία μόνο παράλληλη προς την ευθεία αυτή.

Απόσταση σημείου από ευθεία

Από σημείο $A$ εκτός ευθείας $\varepsilon$ φέρνουμε το κάθετο τμήμα $AA_0$ προς την $\varepsilon$ . Το μήκος του είναι η απόσταση του σημείου από την ευθεία — είναι το μικρότερο από όλα τα τμήματα που ενώνουν το $A$ με σημεία της $\varepsilon$ . Κάθε άλλο (πλάγιο) τμήμα είναι μεγαλύτερο.

Δύο παράλληλες ευθείες απέχουν παντού το ίδιο: η απόσταση των παραλλήλων είναι το κάθετο τμήμα από οποιοδήποτε σημείο της μίας προς την άλλη.

Μέθοδος: χάραξη κάθετης και παράλληλης

Κάθετη από σημείο $A$ προς ευθεία $\varepsilon$ :

Τοποθετούμε τη μία κάθετη πλευρά του γνώμονα πάνω στην $\varepsilon$ .
Σύρουμε τον γνώμονα κατά μήκος της $\varepsilon$ μέχρι η άλλη κάθετη πλευρά του να περάσει από το $A$ , και χαράζουμε.

Παράλληλη από σημείο $A$ προς ευθεία $\varepsilon$ :

Φέρνουμε από το $A$ την κάθετη $\zeta$ προς την $\varepsilon$ .
Φέρνουμε από το $A$ ευθεία κάθετη στη $\zeta$ . Αυτή είναι παράλληλη στην $\varepsilon$ — δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Παράδειγμα: Δύο παράλληλες ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ απέχουν $3$ cm. (α) Πόσο απέχει ένα σημείο $A$ της $\varepsilon_1$ από την $\varepsilon_2$ ; (β) Ένα σημείο $M$ ανάμεσά τους απέχει $1$ cm από την $\varepsilon_1$ . Πόσο απέχει από την $\varepsilon_2$ ;

(α) Οι παράλληλες απέχουν παντού το ίδιο, άρα κάθε σημείο της $\varepsilon_1$ απέχει $3$ cm από την $\varepsilon_2$ .

(β) Η κάθετη από το $M$ διασχίζει όλη τη «λωρίδα» των $3$ cm: $1$ cm ως την $\varepsilon_1$ και το υπόλοιπο ως την $\varepsilon_2$ . Άρα το $M$ απέχει $3 - 1 = 2$ cm από την $\varepsilon_2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Από ένα σημείο $A$ φέρνουμε προς την ευθεία $\varepsilon$ το κάθετο τμήμα $AK = 4$ cm και ένα πλάγιο τμήμα $A\Lambda$ . Ποιο μπορεί να είναι το μήκος του $A\Lambda$ ;

Δίπλωσε το σχήμα γύρω από τον άξονα και ανακάλυψε ότι τα άκρα $A$ και $A'$ ταυτίζονται — ο άξονας είναι η μεσοκάθετος του $AA'$ και κάθε σημείο του ισαπέχει από τα δύο άκρα!

Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος

Η μεσοκάθετος ενός τμήματος $AB$ είναι η ευθεία που περνά από το μέσο του $AB$ και είναι κάθετη σε αυτό. Κάθε σημείο $M$ της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα $A$ και $B$ — και αντίστροφα, κάθε σημείο που ισαπέχει από τα $A$ και $B$ βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Άνοιξε τον διαβήτη λίγο περισσότερο από το μισό του $AB$ .
Με κέντρο το $A$ γράψε έναν κύκλο, και με την ίδια ακτίνα έναν κύκλο με κέντρο το $B$ .
Οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία $K$ και $\Lambda$ — η ευθεία $K\Lambda$ είναι η μεσοκάθετος!

$M \in \text{μεσοκάθετο του } AB \iff MA = MB$

Κύκλος και τα στοιχεία του

Κύκλος $(O, \rho)$ είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το κέντρο $O$ απόσταση ίση με την ακτίνα $\rho$ .

Χορδή: τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου
Διάμετρος $\delta$ : χορδή που περνά από το κέντρο — η μεγαλύτερη χορδή, με $\delta = 2\rho$
Τόξο: το κομμάτι του κύκλου ανάμεσα σε δύο σημεία του· η διάμετρος τον χωρίζει σε δύο ημικύκλια

Προσοχή στη διάκριση: ο κύκλος είναι μόνο η γραμμή, ενώ ο κυκλικός δίσκος είναι ο κύκλος μαζί με τα εσωτερικά του σημεία.

Ήξερες ότι;

Τα καπάκια των φρεατίων στους δρόμους είναι συνήθως στρογγυλά. Ένα κυκλικό καπάκι δεν μπορεί να πέσει μέσα στην τρύπα του, όπως κι αν το γυρίσεις, γιατί το πλάτος του είναι παντού ίσο με τη διάμετρο. Ένα τετράγωνο καπάκι, αντίθετα, μπορεί να γλιστρήσει μέσα αν το στήσεις λοξά, γιατί η διαγώνιος του τετραγώνου είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του.

Θέση σημείου ως προς κύκλο

Για να δούμε πού βρίσκεται ένα σημείο $M$ σε σχέση με τον κύκλο $(O, \rho)$ , συγκρίνουμε την απόσταση $OM$ με την ακτίνα $\rho$ :

$OM < \rho$ : το $M$ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου.
$OM = \rho$ : το $M$ είναι σημείο του κύκλου.
$OM > \rho$ : το $M$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου.

Προσοχή: η σύγκριση γίνεται πάντα με την ακτίνα, όχι με τη διάμετρο.

Κόλπο μνήμης

Διάμετρος → διπλή ακτίνα: $\delta = 2\rho$ . Και ανάποδα, η ακτίνα είναι η μισή διάμετρος: $\rho = \delta : 2$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένας κύκλος με κέντρο $O$ έχει διάμετρο $14$ cm. Ένα σημείο $M$ απέχει από το $O$ απόσταση $9$ cm. Το $M$ είναι:

Ξετύλιξε τον κυκλικό δίσκο σε λωρίδες και ανακάλυψε γιατί ο κύκλος (η γραμμή) και ο κυκλικός δίσκος (η επιφάνεια) είναι δύο διαφορετικά πράγματα!

Παράδειγμα: Δίνεται τμήμα $AB = 8$ cm και σημείο $M$ της μεσοκαθέτου του με $MA = 5$ cm.

α) Αφού το $M$ ανήκει στη μεσοκάθετο, ισαπέχει από τα άκρα: $MB = MA = 5$ cm.

β) Τα σημεία που απέχουν 5 cm από το $A$ σχηματίζουν τον κύκλο $(A, 5)$ — άρα το $M$ είναι σημείο τομής του κύκλου $(A, 5)$ με τον κύκλο $(B, 5)$ , ακριβώς όπως στην κατασκευή με τον διαβήτη.

γ) Το μέσο $K$ του $AB$ είναι κι αυτό σημείο της μεσοκαθέτου με $KA = KB = 4$ cm.

Άσκηση από την καθημερινότητα: Η ρόδα ενός ποδηλάτου έχει ακτίνα $35$ cm. (α) Πόση είναι η διάμετρός της; (β) Ένα σημείο $K$ πάνω σε ένα σύρμα της ρόδας απέχει $20$ cm από το κέντρο. Είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου της ρόδας; (γ) Πόσο μήκος έχει η μεγαλύτερη χορδή της;

(α) $\delta = 2\rho = 2 \cdot 35 = 70$ cm.

(β) Ναι, αφού $OK = 20 < 35 = \rho$ .

(γ) Η μεγαλύτερη χορδή είναι κάθε διάμετρος: $70$ cm.

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλο με κέντρο $O$ και ακτίνα $\rho = 5$ cm, πόσο είναι το μήκος της μεγαλύτερης χορδής του;

Όταν μια άσκηση λέει «σημείο που ισαπέχει από τα $A$ και $B$ », σκέψου αμέσως μεσοκάθετο· όταν λέει «σημεία που απέχουν σταθερή απόσταση από το $O$ », σκέψου κύκλο. Και στις κατασκευές: μην αλλάζεις το άνοιγμα του διαβήτη ανάμεσα στους δύο κύκλους — ίδια ακτίνα σημαίνει σωστή μεσοκάθετος.

Πρόκληση

Τρία σπίτια $A$ , $B$ , $\Gamma$ δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Πού πρέπει να σκάψουμε ένα πηγάδι $\Pi$ ώστε να απέχει το ίδιο και από τα τρία σπίτια;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Για να είναι $\Pi A = \Pi B$ , το $\Pi$ πρέπει να βρίσκεται στη μεσοκάθετο του $AB$ . Για να είναι $\Pi B = \Pi \Gamma$ , πρέπει να βρίσκεται και στη μεσοκάθετο του $B\Gamma$ .

Χαράζουμε λοιπόν τις δύο μεσοκαθέτους: το $\Pi$ είναι το σημείο τομής τους. Τότε $\Pi A = \Pi B = \Pi \Gamma$ , οπότε το $\Pi$ βρίσκεται αυτόματα και στη μεσοκάθετο του $A\Gamma$ .

Επιπλέον, ο κύκλος με κέντρο $\Pi$ και ακτίνα $\Pi A$ περνά και από τα τρία σπίτια.

Συνηθισμένα λάθη

Διάμετρος αντί για ακτίνα. Αν δίνεται η διάμετρος, η ακτίνα είναι το μισό της: $\delta = 14$ cm → $\rho = 7$ cm.
Πλάγιο τμήμα ως απόσταση. Απόσταση σημείου από ευθεία είναι μόνο το κάθετο τμήμα — το πιο κοντό.
«Στο σχήμα δεν τέμνονται, άρα είναι παράλληλες». Οι ευθείες συνεχίζονται απεριόριστα· αν πλησιάζουν μεταξύ τους, κάπου θα τμηθούν.
Κύκλος ή κυκλικός δίσκος; Ο κύκλος είναι μόνο η γραμμή· ο κυκλικός δίσκος περιέχει και τα εσωτερικά σημεία.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Δύο ευθείες του επιπέδου ή τέμνονται σε ένα σημείο ή είναι παράλληλες· κάθετες όταν σχηματίζουν $90^\circ$ .
Από σημείο εκτός ευθείας περνά μία μόνο κάθετη και μία μόνο παράλληλη προς αυτήν.
Απόσταση σημείου από ευθεία = το κάθετο τμήμα (το μικρότερο)· οι παράλληλες απέχουν παντού το ίδιο.
Μεσοκάθετος του $AB$ : $M$ πάνω της $\iff MA = MB$ .
Κύκλος $(O, \rho)$ : $\delta = 2\rho$ · $OM < \rho$ εσωτερικό, $OM = \rho$ πάνω στον κύκλο, $OM > \rho$ εξωτερικό.

Θέσεις ευθειών στο επίπεδο

Δύο ευθείες

\varepsilon_1

και

\varepsilon_2

του ίδιου επιπέδου είτε τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο είτε είναι παράλληλες (δεν έχουν κανένα κοινό σημείο). Γράφουμε

\varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2

Αν οι ευθείες τέμνονται και σχηματίζουν ορθή γωνία (

90^\circ

), λέγονται κάθετες και γράφουμε

\varepsilon_1 \perp \varepsilon_2

. Στο σχολείο τις χαράζουμε με τον γνώμονα: η μία πλευρά του πάνω στην ευθεία, η άλλη δείχνει την κάθετη.

Από ένα σημείο εκτός ευθείας περνά μία μόνο κάθετη και μία μόνο παράλληλη προς την ευθεία αυτή.

Απόσταση σημείου από ευθεία

Από σημείο

A

εκτός ευθείας

\varepsilon

φέρνουμε το κάθετο τμήμα

AA_0

προς την

\varepsilon

. Το μήκος του είναι η απόσταση του σημείου από την ευθεία — είναι το μικρότερο από όλα τα τμήματα που ενώνουν το

A

με σημεία της

\varepsilon

. Κάθε άλλο (πλάγιο) τμήμα είναι μεγαλύτερο.

Κύκλος και τα στοιχεία του

Κύκλος

(O, \rho)

είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το κέντρο

O

απόσταση ίση με την ακτίνα

\rho

Χορδή: τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου

Διάμετρος

\delta

: χορδή που περνά από το κέντρο — η μεγαλύτερη χορδή, με

\delta = 2\rho

Τόξο: το κομμάτι του κύκλου ανάμεσα σε δύο σημεία του· η διάμετρος τον χωρίζει σε δύο ημικύκλια