📏

Μέτρηση Τμημάτων — Απόσταση & Μέσο

Σύγκριση τμημάτων, απόσταση σημείων, μέσο, πρόσθεση και αφαίρεση τμημάτων

Γιατί με νοιάζει;

Θες να κρεμάσεις ένα κάδρο ακριβώς στη μέση ενός τοίχου μήκους $3{,}6$ m. Πού θα βάλεις το καρφί; Στα $1{,}8$ m από τη μία άκρη: στο μέσο του τμήματος.

Σε αυτό το κεφάλαιο μαθαίνεις να μετράς, να συγκρίνεις, να προσθέτεις και να αφαιρείς τμήματα, και να βρίσκεις το μέσο τους.

Πώς μετράμε ένα τμήμα

Για να μετρήσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα διαλέγουμε μια μονάδα μέτρησης και ελέγχουμε πόσες φορές χωράει στο τμήμα. Βασική μονάδα είναι το μέτρο ( $1$ m), με υποδιαιρέσεις το δεκατόμετρο, το εκατοστό ( $1$ m $= 100$ cm) και το χιλιοστό ( $1$ cm $= 10$ mm), και πολλαπλάσιο το χιλιόμετρο ( $1$ km $= 1000$ m).

Το αποτέλεσμα της μέτρησης λέγεται μήκος του τμήματος $AB$ και συμβολίζεται κι αυτό $AB$ .

Δύο τμήματα λέγονται ίσα όταν έχουν το ίδιο μήκος — γράφουμε $AB = \Gamma\Delta$ . Στην πράξη τα συγκρίνουμε με τον διαβήτη: «σηκώνουμε» το ένα τμήμα και το ακουμπάμε πάνω στο άλλο. Αν το ένα περισσεύει, είναι το μεγαλύτερο.

Γρήγορος έλεγχος

Είναι $AB = 4$ cm και $\Gamma\Delta = 35$ mm. Ποιο ισχύει;

Ήξερες ότι;

Όταν ορίστηκε στη Γαλλία, στα τέλη του $18$ ου αιώνα, το μέτρο ήταν το ένα δεκάκις εκατομμυριοστό της απόστασης από τον Βόρειο Πόλο ως τον Ισημερινό. Σήμερα ορίζεται με το φως: είναι η απόσταση που διανύει το φως στο κενό σε $\frac{1}{299792458}$ του δευτερολέπτου.

Κάνε ζουμ ανάμεσα σε δύο χαραγές του χάρακα και δες τι θα ανακαλύψεις: κάθε εκατοστό κρύβει μέσα του δέκα χιλιοστά — όσο μικρότερη μονάδα διαλέγεις, τόσο πιο ακριβής γίνεται η μέτρησή σου.

Απόσταση δύο σημείων

Απόσταση δύο σημείων $A$ και $B$ λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος $AB$ που τα ενώνει.

Γιατί το τμήμα και όχι κάποια άλλη γραμμή; Γιατί από όλες τις γραμμές που ενώνουν το $A$ με το $B$ — καμπύλες, τεθλασμένες, «βόλτες» — το ευθύγραμμο τμήμα είναι η συντομότερη. Σκέψου το μονοπάτι που ανοίγουν οι μαθητές στο γρασίδι κόβοντας δρόμο: πάντα ευθεία!

Κάθε τεθλασμένη γραμμή από το $A$ στο $B$ έχει μήκος μεγαλύτερο από την απόσταση $AB$ .

Γρήγορος έλεγχος

Τι ονομάζουμε απόσταση των σημείων $A$ και $B$ ;

Το μέσο του τμήματος

Μέσο ενός τμήματος $AB$ λέγεται το σημείο $M$ του τμήματος που απέχει εξίσου από τα άκρα του:

$MA = MB$

Κάθε τμήμα έχει ακριβώς ένα μέσο, και αυτό το χωρίζει σε δύο ίσα κομμάτια — καθένα με μήκος το μισό του αρχικού.

Προσοχή: το μέσο πρέπει να είναι σημείο του τμήματος. Ένα σημείο εκτός του $AB$ μπορεί επίσης να ισαπέχει από τα $A$ και $B$ (θα το δεις στη μεσοκάθετο!), αλλά δεν λέγεται μέσο.

Δίπλωσε το τμήμα στο σημείο $M$ σαν να ήταν καθρέφτης και παρατήρησε: αν τα δύο κομμάτια πέφτουν ακριβώς το ένα πάνω στο άλλο, τότε ανακάλυψες το μέσο — τα $MA$ και $MB$ είναι είδωλα το ένα του άλλου.

$MA = MB = \frac{AB}{2}$

Παράδειγμα: Τα σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ είναι συνευθειακά, με το $B$ ανάμεσα στα $A$ και $\Gamma$ . Αν $AB = 3{,}6$ cm και $B\Gamma = 2{,}4$ cm, βρες: (α) το μήκος $A\Gamma$ , (β) την απόσταση του μέσου $M$ του $A\Gamma$ από το $B$ .

(α) Πρόσθεση τμημάτων: αφού το $B$ είναι ανάμεσα στα $A$ και $\Gamma$ :

$A\Gamma = AB + B\Gamma = 3{,}6 + 2{,}4 = 6 \text{ cm}$

(β) Το μέσο $M$ απέχει από το $A$ :

$AM = \frac{A\Gamma}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$

Επειδή $AM = 3 < 3{,}6 = AB$ , το $M$ βρίσκεται ανάμεσα στα $A$ και $B$ . Με αφαίρεση τμημάτων:

$MB = AB - AM = 3{,}6 - 3 = 0{,}6 \text{ cm}$

Μέθοδος: ασκήσεις με συνευθειακά σημεία

Κάνε σχήμα με τα σημεία με τη σωστή σειρά πάνω στην ευθεία.
Γράψε πάνω στο σχήμα τα γνωστά μήκη, όλα στην ίδια μονάδα.
Όταν ένα σημείο είναι ανάμεσα σε δύο άλλα, το μεγάλο τμήμα είναι άθροισμα των μικρών: αν το $B$ είναι ανάμεσα στα $A$ και $\Gamma$ , τότε $A\Gamma = AB + B\Gamma$ .
Για ένα άγνωστο κομμάτι χρησιμοποίησε αφαίρεση: $B\Gamma = A\Gamma - AB$ .
Για το μέσο $M$ ενός τμήματος: κάθε μισό είναι το τμήμα διά $2$ .

Παράδειγμα: Τα σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ βρίσκονται σε μια ευθεία με αυτή τη σειρά, με $A\Gamma = 10$ cm και $AB = 4$ cm. Αν $M$ είναι το μέσο του $B\Gamma$ , βρες το $AM$ .

Λύση: Με αφαίρεση τμημάτων: $B\Gamma = A\Gamma - AB = 10 - 4 = 6$ cm. Το $M$ είναι το μέσο του $B\Gamma$ , άρα $BM = \frac{6}{2} = 3$ cm.

Το $B$ είναι ανάμεσα στα $A$ και $M$ , οπότε με πρόσθεση: $AM = AB + BM = 4 + 3 = 7$ cm.

Έλεγχος: $M\Gamma = 3$ cm και $AM + M\Gamma = 7 + 3 = 10 = A\Gamma$ ✓

Γρήγορος έλεγχος

Τα σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ είναι συνευθειακά, με το $B$ ανάμεσα στα $A$ και $\Gamma$ . Αν $AB = 5$ cm και $A\Gamma = 12$ cm, πόσο είναι το $B\Gamma$ ;

Άσκηση από την καθημερινότητα: Το σπίτι της Άννας $A$ , ο φούρνος $\Phi$ και το σχολείο $\Sigma$ βρίσκονται σε έναν ευθύ δρόμο, με τον φούρνο ανάμεσα. Από το σπίτι ως τον φούρνο είναι $350$ m και από το σπίτι ως το σχολείο $1{,}2$ km. (α) Πόσο απέχει ο φούρνος από το σχολείο; (β) Η Άννα θα συναντήσει μια φίλη της ακριβώς στη μέση της διαδρομής σπίτι–σχολείο. Πόσο θα περπατήσει ως εκεί;

(α) Ίδια μονάδα: $1{,}2 \text{ km} = 1200$ m. Με αφαίρεση τμημάτων: $\Phi\Sigma = 1200 - 350 = 850$ m.

(β) Το μέσο απέχει από το σπίτι $\frac{1200}{2} = 600$ m.

Γρήγορος έλεγχος

Το $M$ είναι το μέσο τμήματος $AB$ με $AB = 8$ cm. Πόσο είναι το μήκος $MB$ ;

Σε κάθε άσκηση με συνευθειακά σημεία, κάνε πρώτα σχήμα και σημείωσε πάνω του τα γνωστά μήκη — έτσι βλέπεις αμέσως αν το ζητούμενο βγαίνει με πρόσθεση ( $A\Gamma = AB + B\Gamma$ όταν το $B$ είναι ανάμεσα) ή με αφαίρεση τμημάτων. Και πριν πάρεις λόγο ή σύγκριση, βεβαιώσου ότι όλα τα μήκη είναι στην ίδια μονάδα!

Πρόκληση

Τα σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ , $\Delta$ βρίσκονται σε μια ευθεία με αυτή τη σειρά. Είναι $A\Delta = 18$ cm, $B\Gamma = 8$ cm και $AB = \Gamma\Delta$ . Αν $M$ είναι το μέσο του $B\Gamma$ , (α) βρες το $AM$ (β) είναι το $M$ και μέσο του $A\Delta$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Είναι $AB + B\Gamma + \Gamma\Delta = A\Delta$ , άρα $AB + \Gamma\Delta = 18 - 8 = 10$ cm. Αφού $AB = \Gamma\Delta$ , το καθένα είναι $10 : 2 = 5$ cm. Επίσης $BM = 8 : 2 = 4$ cm, οπότε $AM = AB + BM = 5 + 4 = 9$ cm.

(β) Το μισό του $A\Delta$ είναι $18 : 2 = 9$ cm $= AM$ , και το $M$ βρίσκεται πάνω στο $A\Delta$ . Άρα ναι, το $M$ είναι και μέσο του $A\Delta$ . (Έλεγχος: $M\Delta = 4 + 5 = 9$ cm.)

Συνηθισμένα λάθη

Σύγκριση χωρίς κοινή μονάδα. $4$ cm $= 40$ mm $> 35$ mm — μη συγκρίνεις σκέτους αριθμούς.
Πρόσθεση αντί για αφαίρεση. Αν ζητείται ένα κομμάτι ενός μεγαλύτερου τμήματος, αφαιρείς. Το σχήμα σου δείχνει ποιο σημείο είναι ανάμεσα.
Μέσο εκτός τμήματος. Ένα σημείο που ισαπέχει από τα $A$ και $B$ δεν είναι μέσο, αν δεν βρίσκεται πάνω στο $AB$ .
Διπλασιασμός αντί για μισό. $MA = \frac{AB}{2}$ · αντίστροφα, αν ξέρεις το $MA$ , τότε $AB = 2 \cdot MA$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μήκος τμήματος: πόσες φορές χωράει μέσα του η μονάδα· ίσα τμήματα έχουν ίδιο μήκος.
Απόσταση δύο σημείων = μήκος του τμήματος που τα ενώνει (η συντομότερη διαδρομή).
Μέσο $M$ του $AB$ : $MA = MB = \frac{AB}{2}$ .
$B$ ανάμεσα στα $A$ και $\Gamma$ : $A\Gamma = AB + B\Gamma$ και $B\Gamma = A\Gamma - AB$ .
Πρώτα σχήμα και κοινή μονάδα, μετά πράξεις.

Πώς μετράμε ένα τμήμα

Για να μετρήσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα διαλέγουμε μια μονάδα μέτρησης και ελέγχουμε πόσες φορές χωράει στο τμήμα. Βασική μονάδα είναι το μέτρο (

1

m), με υποδιαιρέσεις το δεκατόμετρο, το εκατοστό (

1

= 100

cm) και το χιλιοστό (

1

= 10

mm), και πολλαπλάσιο το χιλιόμετρο (

1

= 1000

m).

Το αποτέλεσμα της μέτρησης λέγεται μήκος του τμήματος

AB

και συμβολίζεται κι αυτό

AB

Δύο τμήματα λέγονται ίσα όταν έχουν το ίδιο μήκος — γράφουμε

AB = \Gamma\Delta

. Στην πράξη τα συγκρίνουμε με τον διαβήτη: «σηκώνουμε» το ένα τμήμα και το ακουμπάμε πάνω στο άλλο. Αν το ένα περισσεύει, είναι το μεγαλύτερο.

Απόσταση δύο σημείων

Απόσταση δύο σημείων

A

και

B

λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

AB

που τα ενώνει.

Γιατί το τμήμα και όχι κάποια άλλη γραμμή; Γιατί από όλες τις γραμμές που ενώνουν το

A

με το

B

— καμπύλες, τεθλασμένες, «βόλτες» — το ευθύγραμμο τμήμα είναι η συντομότερη. Σκέψου το μονοπάτι που ανοίγουν οι μαθητές στο γρασίδι κόβοντας δρόμο: πάντα ευθεία!

Κάθε τεθλασμένη γραμμή από το

A

στο

B

έχει μήκος μεγαλύτερο από την απόσταση

AB

Το μέσο του τμήματος

Μέσο ενός τμήματος

AB

λέγεται το σημείο

M

του τμήματος που απέχει εξίσου από τα άκρα του:

MA = MB

Προσοχή: το μέσο πρέπει να είναι σημείο του τμήματος. Ένα σημείο εκτός του

AB

μπορεί επίσης να ισαπέχει από τα

A

και

B

(θα το δεις στη μεσοκάθετο!), αλλά δεν λέγεται μέσο.