🎯

Τιμή & Ποσότητα Ισορροπίας

Κεφ. 5 · §1–3 · Έννοια της αγοράς, πλεόνασμα και έλλειμμα, αλγεβρικός προσδιορισμός, γραμμική συνάρτηση από δύο σημεία

Γιατί με νοιάζει;

Ο πωλητής θέλει όσο το δυνατόν ακριβότερα, ο αγοραστής όσο το δυνατόν φθηνότερα. Κι όμως, κάθε πρωί στη λαϊκή οι ντομάτες πουλιούνται σε μια τιμή που «βγαίνει» μόνη της. Πώς συμφωνούν δύο πλευρές με αντίθετα συμφέροντα; Η απάντηση είναι η ισορροπία — η καρδιά κάθε Θέματος Γ και Δ.

Η αγορά και οι δύο πλευρές της

Η αγορά με την ευρεία έννοια περιλαμβάνει όλα εκείνα τα μέσα με τα οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί μια αγοραπωλησία και όλους τους σχετικούς χώρους. Συμμετέχουν δύο μέρη: όσοι προσφέρουν αγαθά (επιχειρήσεις), με επιδίωξη το μέγιστο κέρδος, και όσοι ζητούν (καταναλωτές), με επιδίωξη τη μέγιστη χρησιμότητα. Οι επιδιώξεις τους είναι αντίθετες — κι όμως σε μια αγοραπωλησία απαραίτητη προϋπόθεση είναι η ικανοποίηση και των δύο.

Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

Τιμή ισορροπίας είναι η τιμή στην οποία η ζητούμενη ποσότητα είναι ίση με την προσφερόμενη ποσότητα, είναι, δηλαδή, η τιμή που εξισορροπεί τις δυνάμεις της προσφοράς και της ζήτησης.

Όταν η ζητούμενη ποσότητα είναι μεγαλύτερη από την προσφερόμενη, παρουσιάζεται έλλειμμα ή υπερβάλλουσα ζήτηση (σε τιμές κάτω από την τιμή ισορροπίας).
Όταν η ζητούμενη ποσότητα είναι μικρότερη από την προσφερόμενη, παρουσιάζεται πλεόνασμα ή πλεονάζουσα προσφορά (σε τιμές πάνω από την τιμή ισορροπίας).

Πώς η αγορά οδηγείται στην ισορροπία: με πλεόνασμα, οι παραγωγοί μειώνουν την τιμή για να μη συσσωρεύουν αποθέματα· η ζητούμενη ποσότητα αυξάνεται, η προσφερόμενη μειώνεται, και το πλεόνασμα μικραίνει μέχρι να μηδενιστεί. Με έλλειμμα, καταναλωτές που δε «βρίσκουν» το προϊόν είναι διατεθειμένοι να πληρώσουν περισσότερο· η τιμή ανεβαίνει και το έλλειμμα μηδενίζεται. Στο διάγραμμα, η ισορροπία είναι το σημείο τομής των καμπυλών ζήτησης και προσφοράς.

Μετατόπισε ζήτηση και προσφορά και δες πώς αλλάζουν η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας.

Αλγεβρικός προσδιορισμός

Με $Q_D = \alpha + \beta P$ και $Q_S = \gamma + \delta P$ , στην ισορροπία $Q_D = Q_S$ . Λύνουμε ως προς $P$ και βρίσκουμε την τιμή ισορροπίας $P_0$ · την αντικαθιστούμε σε μία από τις δύο συναρτήσεις και βρίσκουμε την ποσότητα ισορροπίας $Q_0$ — ουσιαστικά λύνουμε ένα γραμμικό σύστημα.

Γραμμική συνάρτηση από δύο σημεία: αν ξέρεις δύο σημεία $(P_1, Q_1)$ και $(P_2, Q_2)$ μιας γραμμικής συνάρτησης (ζήτησης ή προσφοράς), τη βρίσκεις από τη σχέση που ακολουθεί.

$Q_D = Q_S \;\Longrightarrow\; \alpha + \beta P = \gamma + \delta P \;\Longrightarrow\; P_0 = \frac{\alpha - \gamma}{\delta - \beta}$

$\frac{Q - Q_1}{P - P_1} = \frac{Q_2 - Q_1}{P_2 - P_1}$

Κόλπο μνήμης

«Πάνω από την ισορροπία — Πλεόνασμα» (δύο Π). Κάτω από την ισορροπία — έλλειμμα, γιατί τα φθηνά «ελλείπουν» από τα ράφια.

Μέθοδος: ασκήσεις ισορροπίας

Γράψε $Q_D = Q_S$ και λύσε ως προς $P$ → $P_0$ .
Αντικατάστησε στη ζήτηση και στην προσφορά (έλεγχος) → $Q_0$ .
Σε άλλη τιμή $P$ : υπολόγισε $Q_D$ και $Q_S$ . Αν $Q_S > Q_D$ → πλεόνασμα $Q_S - Q_D$ · αν $Q_D > Q_S$ → έλλειμμα $Q_D - Q_S$ .
Αν δίνονται σημεία αντί για συναρτήσεις, βρες πρώτα τις συναρτήσεις από δύο σημεία.

Λυμένη άσκηση: Δίνονται $Q_D = 300 - 5P$ και $Q_S = -60 + 7P$ . (α) Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας. (β) Τι συμβαίνει στις τιμές 35 € και 20 €;

Λύση:

(α) $300 - 5P = -60 + 7P \Rightarrow 360 = 12P \Rightarrow P_0 = 30$ €. $Q_0 = 300 - 150 = 150$ (έλεγχος: $-60 + 210 = 150$ ✓).

(β) Στα 35 €: $Q_D = 125$ , $Q_S = 185$ → πλεόνασμα 60 μονάδων, πιέσεις για μείωση της τιμής. Στα 20 €: $Q_D = 200$ , $Q_S = 80$ → έλλειμμα 120 μονάδων, πιέσεις για αύξηση της τιμής.

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια τιμή μεγαλύτερη από την τιμή ισορροπίας, στην αγορά ενός αγαθού υπάρχει:

Λυμένη άσκηση (συνάρτηση από δύο σημεία): Στην τιμή 10 € ζητούνται 80 μονάδες και στην τιμή 15 € 60 μονάδες. Αν η ζήτηση είναι γραμμική, να βρεθεί η συνάρτησή της.

Λύση:

$\frac{Q - 80}{P - 10} = \frac{60 - 80}{15 - 10} = -4 \Rightarrow Q - 80 = -4P + 40 \Rightarrow Q_D = 120 - 4P$

Έλεγχος: $P = 15$ → $120 - 60 = 60$ ✓.

Γρήγορος έλεγχος

Με $Q_D = 280 - 2P$ και $Q_S = 100 + 1{,}6P$ , η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας είναι:

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Δ — ελαστικότητες και ισορροπία): Για ένα αγαθό με γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς, στην τιμή των 8 € η ζητούμενη ποσότητα είναι 300 μονάδες και η προσφερόμενη 200. Όταν η τιμή μεταβάλλεται από τα 8 € προς την τιμή ισορροπίας, η ελαστικότητα ζήτησης είναι $-0{,}4$ και η ελαστικότητα προσφοράς $0{,}4$ . (α) Να βρεθούν οι συναρτήσεις. (β) Το σημείο ισορροπίας. (γ) Σε ποια τιμή το πλεόνασμα είναι 200 μονάδες;

Λύση:

(α) Σε γραμμική συνάρτηση $\Delta Q/\Delta P$ είναι ο συντελεστής της τιμής. Ζήτηση: $-0{,}4 = \beta \cdot \frac{8}{300} \Rightarrow \beta = -15$ , άρα $Q_D = 300 - 15(P - 8) = 420 - 15P$ . Προσφορά: $0{,}4 = \delta \cdot \frac{8}{200} \Rightarrow \delta = 10$ , άρα $Q_S = 200 + 10(P - 8) = 120 + 10P$ .

(β) $420 - 15P = 120 + 10P \Rightarrow 25P = 300 \Rightarrow P_0 = 12$ €, $Q_0 = 240$ .

(γ) $Q_S - Q_D = (120 + 10P) - (420 - 15P) = 25P - 300 = 200 \Rightarrow P = 20$ €.

Ήξερες ότι;

Το «αόρατο χέρι» του Adam Smith (1776) είναι η πιο διάσημη μεταφορά της Οικονομικής: κάθε άτομο επιδιώκει το δικό του συμφέρον και, χωρίς να το σχεδιάζει κανείς, οι τιμές κινούνται προς το σημείο όπου τα σχέδια αγοραστών και πωλητών συμπίπτουν. Αυτό ακριβώς κάνουν το πλεόνασμα και το έλλειμμα στη θεωρία της ισορροπίας.

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια τιμή η ζητούμενη ποσότητα είναι 35 μονάδες και η προσφερόμενη 10 μονάδες. Στην αγορά υπάρχει:

Πρόκληση

Η ζήτηση ενός αγαθού είναι $Q_D = 3.600/P$ και η προσφορά $Q_S = 50 + P$ . Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$\dfrac{3.600}{P} = 50 + P \Rightarrow P^2 + 50P - 3.600 = 0$ . Διακρίνουσα: $2.500 + 14.400 = 16.900 = 130^2$ , άρα $P = \dfrac{-50 + 130}{2} = 40$ (η αρνητική ρίζα $-90$ απορρίπτεται). $Q_0 = 50 + 40 = 90$ (έλεγχος: $3.600/40 = 90$ ✓). Εδώ η ισορροπία λύνεται με εξίσωση δευτέρου βαθμού· η συνολική δαπάνη είναι σταθερή, 3.600 €, σε κάθε σημείο της ζήτησης.

Συνηθισμένα λάθη

Μπερδεύεις πλεόνασμα και έλλειμμα: πάνω από την ισορροπία πλεόνασμα, κάτω έλλειμμα.
Βρίσκεις τη $P_0$ και ξεχνάς να υπολογίσεις την $Q_0$ — ή δεν κάνεις έλεγχο και στις δύο συναρτήσεις.
Γράφεις πλεόνασμα $Q_D - Q_S$ (αρνητικό). Πλεόνασμα $= Q_S - Q_D$ , έλλειμμα $= Q_D - Q_S$ .
Στη συνάρτηση από δύο σημεία αντιστρέφεις τον λόγο $\frac{\Delta Q}{\Delta P}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Τιμή ισορροπίας: η τιμή όπου $Q_D = Q_S$ — εξισορροπεί προσφορά και ζήτηση.
$P > P_0$ : πλεόνασμα (πλεονάζουσα προσφορά) → η τιμή πέφτει· $P < P_0$ : έλλειμμα (υπερβάλλουσα ζήτηση) → η τιμή ανεβαίνει.
Αλγεβρικά: $\alpha + \beta P = \gamma + \delta P$ , μετά αντικατάσταση για την $Q_0$ .
Γραμμική συνάρτηση από δύο σημεία: $\frac{Q - Q_1}{P - P_1} = \frac{Q_2 - Q_1}{P_2 - P_1}$ .

Η αγορά και οι δύο πλευρές της

Τιμή και ποσότητα ισορροπίας

Όταν η ζητούμενη ποσότητα είναι μεγαλύτερη από την προσφερόμενη, παρουσιάζεται έλλειμμα ή υπερβάλλουσα ζήτηση (σε τιμές κάτω από την τιμή ισορροπίας).

Όταν η ζητούμενη ποσότητα είναι μικρότερη από την προσφερόμενη, παρουσιάζεται πλεόνασμα ή πλεονάζουσα προσφορά (σε τιμές πάνω από την τιμή ισορροπίας).

Αλγεβρικός προσδιορισμός

Με

Q_D = \alpha + \beta P

και

Q_S = \gamma + \delta P

, στην ισορροπία

Q_D = Q_S

. Λύνουμε ως προς

P

και βρίσκουμε την τιμή ισορροπίας

P_0

· την αντικαθιστούμε σε μία από τις δύο συναρτήσεις και βρίσκουμε την ποσότητα ισορροπίας

Q_0

— ουσιαστικά λύνουμε ένα γραμμικό σύστημα.

Γραμμική συνάρτηση από δύο σημεία: αν ξέρεις δύο σημεία

(P_1, Q_1)

και

(P_2, Q_2)

μιας γραμμικής συνάρτησης (ζήτησης ή προσφοράς), τη βρίσκεις από τη σχέση που ακολουθεί.