🧮

Ελαστικότητα Ζήτησης ως προς την Τιμή

Κεφ. 2 · §8–11 · Ελαστικότητα σημείου και τόξου, ελαστική/ανελαστική ζήτηση, ειδικές περιπτώσεις

Γιατί με νοιάζει;

Γιατί τα πρατήρια μπορούν να ανεβάσουν την τιμή της βενζίνης και να συνεχίσουν να πουλάνε, ενώ ένα σουβλατζίδικο που ακριβαίνει χάνει πελάτες στο επόμενο τετράγωνο; Η απάντηση είναι ένας αριθμός: η ελαστικότητα. Είναι ο πιο συχνός υπολογισμός του Θέματος Γ.

Ορισμός

Μια ίδια ποσοστιαία αύξηση της τιμής (π.χ. 10%) δεν έχει το ίδιο αποτέλεσμα σε όλα τα αγαθά: η ζητούμενη ποσότητα του ενός μπορεί να πέσει 5%, του άλλου 20%.

Ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής ονομάζεται ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή. Είναι το μέτρο του βαθμού ανταπόκρισης ή αντίδρασης των καταναλωτών στις μεταβολές της τιμής, όλων των άλλων παραγόντων σταθερών (ceteris paribus).

Επειδή τιμή και ζητούμενη ποσότητα κινούνται αντίθετα (νόμος της ζήτησης), η αριθμητική τιμή της ελαστικότητας ζήτησης είναι αρνητική. Η ελαστικότητα διαφέρει μεταξύ αγαθών και γενικά δεν είναι σταθερή ούτε για το ίδιο αγαθό σε όλο το μήκος της καμπύλης.

$E_D = \frac{\dfrac{\Delta Q}{Q_1}\cdot 100}{\dfrac{\Delta P}{P_1}\cdot 100} = \frac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot\frac{P_1}{Q_1}$

Ελαστικότητα σημείου και ελαστικότητα τόξου

Ο παραπάνω τύπος δίνει την ελαστικότητα στο σημείο $(P_1, Q_1)$ από το οποίο ξεκινά η μεταβολή. Για τα σημεία Α και Β μιας καμπύλης:

από το Α στο Β: $E_{A} = \dfrac{Q_B - Q_A}{P_B - P_A}\cdot\dfrac{P_A}{Q_A}$ ,
από το Β στο Α: $E_{B} = \dfrac{Q_A - Q_B}{P_A - P_B}\cdot\dfrac{P_B}{Q_B}$ .

Ο λόγος $\Delta Q / \Delta P$ είναι ο ίδιος, αλλά διαφέρει ο λόγος $P/Q$ — άρα οι δύο ελαστικότητες διαφέρουν.

Αν το τόξο ΑΒ είναι μικρό, υπολογίζουμε την ελαστικότητα στο μέσο Μ του τόξου, με $P_M = \frac{P_A + P_B}{2}$ και $Q_M = \frac{Q_A + Q_B}{2}$ . Προκύπτει η ελαστικότητα τόξου ή τοξοειδής ελαστικότητα. Η απόλυτη τιμή της βρίσκεται ανάμεσα στις απόλυτες τιμές των ελαστικοτήτων των δύο άκρων.

$E_{AB} = \frac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot\frac{P_A + P_B}{Q_A + Q_B}$

Ελαστική, ανελαστική ζήτηση και ειδικές περιπτώσεις

Για ευκολία χρησιμοποιούμε την απόλυτη τιμή και τη συγκρίνουμε με τη μονάδα:

$|E_D| > 1$ : ελαστική ζήτηση — η ποσοστιαία μεταβολή της ποσότητας είναι μεγαλύτερη από της τιμής.
$|E_D| < 1$ : ανελαστική ζήτηση — η ποσοστιαία μεταβολή της ποσότητας είναι μικρότερη από της τιμής.

Ειδικές περιπτώσεις:

$E_D = 0$ σε όλα τα σημεία: τελείως ανελαστική ζήτηση· καμπύλη κάθετη στον άξονα των ποσοτήτων (π.χ. απαραίτητα φάρμακα).
Ελαστικότητα που τείνει στο άπειρο: καμπύλη παράλληλη στον άξονα των ποσοτήτων· στην ίδια τιμή ζητούν οποιαδήποτε ποσότητα (ισχύει μόνο για περιορισμένα όρια ποσοτήτων).
Καμπύλη ισοσκελής υπερβολή: $|E_D| = 1$ σε όλο το μήκος της.
Ευθεία καμπύλη ζήτησης που τέμνει τον άξονα των τιμών στο Α και των ποσοτήτων στο Β: στο μέσο Μ του ΑΒ $|E_D| = 1$ · στο τμήμα ΜΑ ελαστική, με $|E_D|$ που αυξάνεται προς το Α (στο Α, όπου $Q = 0$ , η ελαστικότητα είναι άπειρη)· στο τμήμα ΜΒ ανελαστική, με $|E_D|$ που μειώνεται προς το Β (στο Β, όπου $P = 0$ , η ελαστικότητα είναι μηδέν).

Κόλπο μνήμης

Ελαστική = «Εύκολα αντιδρώ» ( $|E_D| > 1$ ). Στην ευθεία ζήτηση σκέψου μια τσουλήθρα: ψηλά (ακριβά, λίγα κομμάτια) η ζήτηση είναι ελαστική, χαμηλά (φθηνά, πολλά κομμάτια) ανελαστική, και στη μέση ακριβώς μονάδα.

Μέθοδος: υπολογισμός ελαστικότητας ζήτησης

Εντόπισε το αρχικό σημείο $(P_1, Q_1)$ : από πού ξεκινά η μεταβολή;
Υπολόγισε $\Delta Q = Q_2 - Q_1$ και $\Delta P = P_2 - P_1$ με τα πρόσημά τους (τελική μείον αρχική).
Ελαστικότητα σημείου: $\frac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot\frac{P_1}{Q_1}$ . Αν ζητείται ελαστικότητα τόξου, βάλε αθροίσματα $\frac{P_A + P_B}{Q_A + Q_B}$ .
Χαρακτήρισε με την απόλυτη τιμή: $>1$ ελαστική, $<1$ ανελαστική, $=1$ μοναδιαία.

Λυμένη άσκηση: Όταν η τιμή ενός αγαθού μειώνεται από 10 € σε 8 €, η ζητούμενη ποσότητα αυξάνεται από 50 σε 60 μονάδες. Να βρεθούν (α) η ελαστικότητα στο Α (10, 50), (β) στο Β (8, 60), (γ) η ελαστικότητα τόξου.

Λύση:

(α) $E_A = \dfrac{60-50}{8-10}\cdot\dfrac{10}{50} = (-5)(0{,}2) = -1$ : μοναδιαία.

(β) $E_B = \dfrac{50-60}{10-8}\cdot\dfrac{8}{60} = (-5)\cdot\dfrac{8}{60} \approx -0{,}67$ : ανελαστική.

(γ) $E_{AB} = (-5)\cdot\dfrac{10+8}{50+60} = (-5)\cdot\dfrac{18}{110} \approx -0{,}82$ .

Επιβεβαίωση: $|E_A| = 1 > |E_{AB}| \approx 0{,}82 > |E_B| \approx 0{,}67$ — η ελαστικότητα τόξου βρίσκεται ανάμεσα.

Γρήγορος έλεγχος

Η τιμή ενός αγαθού αυξάνεται από 20 € σε 25 € και η ζητούμενη ποσότητα μειώνεται από 100 σε 80 μονάδες. Η ελαστικότητα ζήτησης στο αρχικό σημείο είναι:

Λυμένη άσκηση (γραμμική συνάρτηση): Δίνεται $Q_D = 240 - 3P$ . Να βρεθεί η ελαστικότητα όταν η τιμή (α) αυξάνεται από 40 σε 50, (β) μειώνεται από 50 σε 40, (γ) η ελαστικότητα τόξου.

Λύση: Για $P = 40$ : $Q = 120$ · για $P = 50$ : $Q = 90$ . Σε γραμμική συνάρτηση $\frac{\Delta Q}{\Delta P} = \beta = -3$ πάντα.

(α) $E = -3 \cdot \dfrac{40}{120} = -1$ .

(β) $E = -3 \cdot \dfrac{50}{90} \approx -1{,}67$ (ελαστική).

(γ) $E_{AB} = -3 \cdot \dfrac{90}{210} \approx -1{,}29$ .

Παρατήρησε: η ευθεία τέμνει τους άξονες στα $P = 80$ και $Q = 240$ . Το σημείο (40, 120) είναι το μέσο της — γι' αυτό εκεί $|E| = 1$ .

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Γ — συμπλήρωση πίνακα): Για τα σημεία μιας καμπύλης ζήτησης δίνονται: Α ( $P = 20$ , $Q = 100$ ), Β ( $P = 25$ , $Q = ;$ ), Γ ( $P = ;$ , $Q = 49$ ). Η ελαστικότητα από το Α στο Β είναι $-1{,}2$ και από το Β στο Γ είναι $-1{,}5$ . Να συμπληρωθεί ο πίνακας.

Λύση:

Α → Β (αρχικό σημείο Α): $-1{,}2 = \dfrac{Q_B - 100}{25 - 20}\cdot\dfrac{20}{100} \Rightarrow Q_B - 100 = -1{,}2 \cdot 25 = -30 \Rightarrow Q_B = 70$ .
Β → Γ (αρχικό σημείο Β): $-1{,}5 = \dfrac{49 - 70}{P_\Gamma - 25}\cdot\dfrac{25}{70} = \dfrac{-7{,}5}{P_\Gamma - 25} \Rightarrow P_\Gamma - 25 = 5 \Rightarrow P_\Gamma = 30$ .

Απάντηση: $Q_B = 70$ , $P_\Gamma = 30$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια ευθύγραμμη καμπύλη ζήτησης, στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος μεταξύ των δύο αξόνων η ελαστικότητα ζήτησης είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Αν η καμπύλη ζήτησης ενός αγαθού είναι ισοσκελής υπερβολή, η ελαστικότητα ζήτησης:

Ήξερες ότι;

Την έννοια της ελαστικότητας της ζήτησης εισήγαγε ο Alfred Marshall στις «Αρχές της Οικονομικής» (1890). Διάλεξε τη λέξη από τη Φυσική: όπως ένα λάστιχο «τεντώνει» λίγο ή πολύ όταν το τραβάς, έτσι και η ζητούμενη ποσότητα «τεντώνει» λίγο ή πολύ όταν αλλάζει η τιμή.

Πρόκληση

Να αποδείξεις ότι όταν η ζήτηση είναι $Q = A/P$ , η ελαστικότητα τόξου μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων είναι $-1$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Για $P_1$ , $P_2$ : $Q_1 = \dfrac{A}{P_1}$ , $Q_2 = \dfrac{A}{P_2}$ .

$Q_2 - Q_1 = \frac{A(P_1 - P_2)}{P_1 P_2}, \qquad Q_1 + Q_2 = \frac{A(P_1 + P_2)}{P_1 P_2}$

Άρα

$E_{AB} = \frac{Q_2 - Q_1}{P_2 - P_1}\cdot\frac{P_1 + P_2}{Q_1 + Q_2} = \frac{A(P_1 - P_2)}{P_1 P_2 (P_2 - P_1)}\cdot\frac{(P_1 + P_2) P_1 P_2}{A(P_1 + P_2)} = -1$

Όλα απλοποιούνται και μένει ο λόγος $\frac{P_1 - P_2}{P_2 - P_1} = -1$ . Αυτή είναι η απόδειξη που υπονοεί το βιβλίο.

Συνηθισμένα λάθη

Βάζεις στον τύπο σημείου τις τελικές τιμές $P_2$ , $Q_2$ αντί για τις αρχικές. Η σειρά (από πού προς πού) αλλάζει το αποτέλεσμα.
Ξεχνάς το αρνητικό πρόσημο της ελαστικότητας ζήτησης.
Ταυτίζεις κλίση με ελαστικότητα. Σε ευθεία η κλίση είναι σταθερή, η ελαστικότητα αλλάζει σε κάθε σημείο.
Στον τύπο τόξου βάζεις διαφορές αντί για αθροίσματα $P_A + P_B$ και $Q_A + Q_B$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$E_D = \dfrac{\%\Delta Q}{\%\Delta P} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot\dfrac{P_1}{Q_1}$ , αρνητική· μετρά την αντίδραση των καταναλωτών στις μεταβολές της τιμής.
Τόξου: $E_{AB} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot\dfrac{P_A + P_B}{Q_A + Q_B}$ , με απόλυτη τιμή ανάμεσα στις ελαστικότητες των άκρων.
$|E_D| > 1$ ελαστική, $< 1$ ανελαστική.
Κάθετη καμπύλη: 0· οριζόντια: άπειρη· υπερβολή: 1 παντού· ευθεία: 1 στο μέσο, ελαστική πάνω, ανελαστική κάτω.

Ορισμός

Ελαστικότητα σημείου και ελαστικότητα τόξου

Ο παραπάνω τύπος δίνει την ελαστικότητα στο σημείο

(P_1, Q_1)

από το οποίο ξεκινά η μεταβολή. Για τα σημεία Α και Β μιας καμπύλης:

από το Α στο Β:

E_{A} = \dfrac{Q_B - Q_A}{P_B - P_A}\cdot\dfrac{P_A}{Q_A}

από το Β στο Α:

E_{B} = \dfrac{Q_A - Q_B}{P_A - P_B}\cdot\dfrac{P_B}{Q_B}

Ο λόγος

\Delta Q / \Delta P

είναι ο ίδιος, αλλά διαφέρει ο λόγος

P/Q

— άρα οι δύο ελαστικότητες διαφέρουν.

Αν το τόξο ΑΒ είναι μικρό, υπολογίζουμε την ελαστικότητα στο μέσο Μ του τόξου, με

P_M = \frac{P_A + P_B}{2}

και

Q_M = \frac{Q_A + Q_B}{2}

. Προκύπτει η ελαστικότητα τόξου ή τοξοειδής ελαστικότητα. Η απόλυτη τιμή της βρίσκεται ανάμεσα στις απόλυτες τιμές των ελαστικοτήτων των δύο άκρων.

Ελαστική, ανελαστική ζήτηση και ειδικές περιπτώσεις

Για ευκολία χρησιμοποιούμε την απόλυτη τιμή και τη συγκρίνουμε με τη μονάδα:

|E_D| > 1

: ελαστική ζήτηση — η ποσοστιαία μεταβολή της ποσότητας είναι μεγαλύτερη από της τιμής.

|E_D| < 1

: ανελαστική ζήτηση — η ποσοστιαία μεταβολή της ποσότητας είναι μικρότερη από της τιμής.

Ειδικές περιπτώσεις:

E_D = 0

σε όλα τα σημεία: τελείως ανελαστική ζήτηση· καμπύλη κάθετη στον άξονα των ποσοτήτων (π.χ. απαραίτητα φάρμακα).

Ελαστικότητα που τείνει στο άπειρο: καμπύλη παράλληλη στον άξονα των ποσοτήτων· στην ίδια τιμή ζητούν οποιαδήποτε ποσότητα (ισχύει μόνο για περιορισμένα όρια ποσοτήτων).

Καμπύλη ισοσκελής υπερβολή:

|E_D| = 1

σε όλο το μήκος της.

Ευθεία καμπύλη ζήτησης που τέμνει τον άξονα των τιμών στο Α και των ποσοτήτων στο Β: στο μέσο Μ του ΑΒ

|E_D| = 1

· στο τμήμα ΜΑ ελαστική, με

|E_D|

που αυξάνεται προς το Α (στο Α, όπου

Q = 0

, η ελαστικότητα είναι άπειρη)· στο τμήμα ΜΒ ανελαστική, με

|E_D|

που μειώνεται προς το Β (στο Β, όπου

P = 0

, η ελαστικότητα είναι μηδέν).