💶

Συνολική Δαπάνη & Ελαστικότητα

Κεφ. 2 · §12–14 · Συνολική δαπάνη = συνολικά έσοδα, σχέση με την ελαστικότητα, χρησιμότητα της ελαστικότητας

Γιατί με νοιάζει;

Ένας κινηματογράφος ρίχνει το εισιτήριο 20%. Θα βγάλει περισσότερα ή λιγότερα χρήματα; Κάποιοι λένε «περισσότερα, θα έρθει κόσμος», άλλοι «λιγότερα, αφού πουλάει φθηνότερα». Και οι δύο μπορεί να έχουν δίκιο — ανάλογα με την ελαστικότητα.

Συνολική δαπάνη των καταναλωτών

Αν στην τιμή $P_1$ η ζητούμενη ποσότητα είναι $Q_1$ , η συνολική δαπάνη (ΣΔ) όλων των καταναλωτών για το αγαθό είναι το γινόμενο $P_1 \cdot Q_1$ . Η συνολική δαπάνη των καταναλωτών για ένα αγαθό είναι τα συνολικά έσοδα (συνολική πρόσοδος) όλων των παραγωγών του αγαθού. Στο διάγραμμα φαίνεται ως το εμβαδόν του ορθογωνίου $OP_1AQ_1$ .

$\Sigma\Delta = P \cdot Q = \text{συνολικά έσοδα των παραγωγών}$

Ελαστικότητα ζήτησης και συνολική δαπάνη

Σε κάθε μεταβολή της τιμής η ΣΔ δέχεται δύο αντίθετες επιδράσεις: από τη μεταβολή της τιμής και από την αντίθετη μεταβολή της ποσότητας. Ποια επικρατεί; Αυτή με τη μεγαλύτερη ποσοστιαία μεταβολή:

Ελαστική ζήτηση ( $|E_D| > 1$ ): επικρατεί η μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας. Τιμή ↓ → ΣΔ ↑, τιμή ↑ → ΣΔ ↓.
Ανελαστική ζήτηση ( $|E_D| < 1$ ): επικρατεί η μεταβολή της τιμής. Τιμή ↑ → ΣΔ ↑, τιμή ↓ → ΣΔ ↓.
Μοναδιαία ελαστικότητα ( $|E_D| = 1$ ): οι ποσοστιαίες μεταβολές είναι ίσες, η ΣΔ μένει σταθερή.

Χρησιμότητα της ελαστικότητας

Οι επιχειρήσεις μαθαίνουν αν μπορούν να αυξήσουν την τιμή χωρίς να κινδυνεύουν να μειωθούν τα έσοδά τους. Το κράτος μαθαίνει αν μπορεί να επιβάλει πρόσθετο φόρο χωρίς να μειωθούν τα έσοδά του, πόσο θα μειωθεί η ζητούμενη ποσότητα ή αν μπορεί να βάλει ένα αγαθό σε διατίμηση.

Κόλπο μνήμης

«Ελαστική: η ΣΔ ακολουθεί την ποσότητα. Ανελαστική: η ΣΔ ακολουθεί την τιμή.» Ό,τι κάνει η «δυνατότερη» μεταβλητή, το κάνει και η συνολική δαπάνη.

Γρήγορος έλεγχος

Η ελαστικότητα ζήτησης ενός αγαθού είναι $-0{,}5$ . Αν αυξηθεί η τιμή του, η συνολική δαπάνη των καταναλωτών:

Μέθοδος: ασκήσεις συνολικής δαπάνης

Ποιοτικά: βρες $|E_D|$ και εφάρμοσε τον κανόνα (ελαστική → ΣΔ με την ποσότητα, ανελαστική → ΣΔ με την τιμή).
Νέα ποσότητα από την ελαστικότητα: $\%\Delta Q = E_D \cdot \%\Delta P$ , ή λύσε τον τύπο $E_D = \frac{Q_2 - Q_1}{P_2 - P_1}\cdot\frac{P_1}{Q_1}$ ως προς $Q_2$ .
Ποσοστιαία μεταβολή της ΣΔ: $\dfrac{\Sigma\Delta_2}{\Sigma\Delta_1} = (1 + \%\Delta P)(1 + \%\Delta Q)$ , με τα ποσοστά ως δεκαδικούς (π.χ. $+5\% \to 1{,}05$ ).

$\frac{\Sigma\Delta_2}{\Sigma\Delta_1} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{Q_2}{Q_1}$

Λυμένη άσκηση: Η ζήτηση ενός αγαθού είναι $Q_D = 120 - 10P$ . Να κατασκευαστεί πίνακας για $P = 10, 8, 5, 2$ με τη ΣΔ και την ελαστικότητα σε κάθε μείωση της τιμής.

Λύση:

$P = 10$ : $Q = 20$ , ΣΔ $= 200$ . Από 10 σε 8: $E = \frac{20}{-2}\cdot\frac{10}{20} = -5$ (ελαστική).
$P = 8$ : $Q = 40$ , ΣΔ $= 320$ . Από 8 σε 5: $E = \frac{30}{-3}\cdot\frac{8}{40} = -2$ (ελαστική).
$P = 5$ : $Q = 70$ , ΣΔ $= 350$ . Από 5 σε 2: $E = \frac{30}{-3}\cdot\frac{5}{70} \approx -0{,}71$ (ανελαστική).
$P = 2$ : $Q = 100$ , ΣΔ $= 200$ .

Όσο η ζήτηση είναι ελαστική, η μείωση της τιμής αυξάνει τη ΣΔ (200 → 320 → 350)· όταν γίνεται ανελαστική, την μειώνει (350 → 200).

Λυμένη άσκηση (ποσοστιαία μεταβολή της ΣΔ): Η ελαστικότητα ζήτησης ενός αγαθού είναι $-2$ . Αν η τιμή αυξηθεί κατά 5%, κατά πόσο θα μεταβληθεί η συνολική δαπάνη;

Λύση: $\%\Delta Q = -2 \cdot 5\% = -10\%$ . Άρα

$\frac{\Sigma\Delta_2}{\Sigma\Delta_1} = 1{,}05 \cdot 0{,}90 = 0{,}945$

Η ΣΔ μειώνεται κατά 5,5% — όπως προβλέπει ο κανόνας για ελαστική ζήτηση.

Θέμα τύπου Πανελλαδικών (Θέμα Δ): Στην τιμή των 4 € πωλούνται 10.000 πακέτα ενός προϊόντος την εβδομάδα και η ελαστικότητα ζήτησης είναι $-0{,}5$ . Το κράτος θέλει να μειώσει τη ζητούμενη ποσότητα κατά 10% επιβάλλοντας πρόσθετο φόρο.

(α) Πόση πρέπει να είναι η νέα τιμή και πόσος ο φόρος ανά πακέτο; (β) Πώς μεταβάλλεται η ΣΔ των καταναλωτών;

Λύση:

(α) $-0{,}5 = \dfrac{-10\%}{x} \Rightarrow x = 20\%$ . Νέα τιμή: $P_2 = 4 + 0{,}20 \cdot 4 = 4{,}80$ €. Ο πρόσθετος φόρος είναι 0,80 € ανά πακέτο.

(β) Νέα ποσότητα: $10.000 \cdot 0{,}9 = 9.000$ . ΣΔ πριν: $4 \cdot 10.000 = 40.000$ €· μετά: $4{,}80 \cdot 9.000 = 43.200$ €. Αυξάνεται, γιατί η ζήτηση είναι ανελαστική.

Γρήγορος έλεγχος

Η ελαστικότητα ζήτησης ενός αγαθού είναι $-1{,}5$ . Αν η επιχείρηση μειώσει την τιμή, τα συνολικά της έσοδα:

Λυμένη άσκηση (επιχείρηση και αύξηση τιμής): Στην τιμή των 50 € ζητούνται 2.000 μονάδες και η ελαστικότητα είναι $-0{,}4$ . Η επιχείρηση αυξάνει την τιμή στα 60 €. Να βρεθούν η νέα ζητούμενη ποσότητα και τα νέα έσοδα.

Λύση:

$-0{,}4 = \frac{Q_2 - 2.000}{60 - 50}\cdot\frac{50}{2.000} \Rightarrow Q_2 - 2.000 = -0{,}4 \cdot 10 \cdot 40 = -160$

$Q_2 = 1.840$ μονάδες. Έσοδα: πριν $50 \cdot 2.000 = 100.000$ €, μετά $60 \cdot 1.840 = 110.400$ €. Η αύξηση της τιμής συμφέρει, γιατί η ζήτηση είναι ανελαστική.

Γρήγορος έλεγχος

Για ποιον λόγο ενδιαφέρεται το κράτος να γνωρίζει την ελαστικότητα ζήτησης ενός αγαθού;

Ήξερες ότι;

Ήδη στα τέλη του 17ου αιώνα ο Άγγλος Gregory King παρατήρησε ότι μια κακή σοδειά σιταριού ανεβάζει την τιμή του πολύ περισσότερο από όσο μειώνεται η ποσότητα: κατά την εκτίμησή του, έλλειμμα 1/10 στη σοδειά ανέβαζε την τιμή κατά 3/10. Με ανελαστική ζήτηση, ο αγρότης μπορεί να εισπράξει περισσότερα σε κακή χρονιά!

Πρόκληση

Ένας κινηματογράφος πουλά 400 εισιτήρια την εβδομάδα στα 10 €. Αν μειώσει την τιμή στα 8 €, πουλά 520.

(α) Πόση είναι η ελαστικότητα ζήτησης στο αρχικό σημείο; (β) Συμφέρει τη μείωση; (γ) Πόσα εισιτήρια το λιγότερο θα έπρεπε να πουλά στα 8 €, ώστε η μείωση να συμφέρει;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $E = \dfrac{520 - 400}{8 - 10}\cdot\dfrac{10}{400} = -60 \cdot 0{,}025 = -1{,}5$ (ελαστική).

(β) Έσοδα: $10 \cdot 400 = 4.000$ € → $8 \cdot 520 = 4.160$ €. Αυξάνονται, άρα συμφέρει.

(γ) Θέλουμε $8 \cdot Q > 4.000 \Rightarrow Q > 500$ . Με 500 εισιτήρια τα έσοδα μένουν ίδια (μοναδιαία «αντιστάθμιση»), άρα χρειάζονται περισσότερα από 500.

Συνηθισμένα λάθη

Νομίζεις ότι «αύξηση τιμής = αύξηση εσόδων» πάντα. Ισχύει μόνο αν η ζήτηση είναι ανελαστική.
Προσθέτεις ποσοστά αντί να τα πολλαπλασιάζεις: $+5\%$ και $-10\%$ δεν κάνουν $-5\%$ , αλλά $1{,}05 \cdot 0{,}9 = 0{,}945$ , δηλαδή $-5{,}5\%$ .
Ξεχνάς ότι η ΣΔ των καταναλωτών ταυτίζεται με τα συνολικά έσοδα των παραγωγών.
Στον φόρο δίνεις ως απάντηση το ποσοστό (20%) αντί για το ποσό ανά μονάδα (0,80 €).

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\Sigma\Delta = P \cdot Q$ = συνολικά έσοδα των παραγωγών (εμβαδόν ορθογωνίου).
Ελαστική: ΣΔ ακολουθεί την ποσότητα· ανελαστική: ακολουθεί την τιμή· μοναδιαία: σταθερή.
$\%\Delta Q = E_D \cdot \%\Delta P$ και $\frac{\Sigma\Delta_2}{\Sigma\Delta_1} = \frac{P_2}{P_1}\cdot\frac{Q_2}{Q_1}$ .
Η ελαστικότητα χρησιμεύει σε επιχειρήσεις (τιμολόγηση) και στο κράτος (φόροι, διατίμηση).

Συνολική δαπάνη των καταναλωτών

Αν στην τιμή

P_1

η ζητούμενη ποσότητα είναι

Q_1

, η συνολική δαπάνη (ΣΔ) όλων των καταναλωτών για το αγαθό είναι το γινόμενο

P_1 \cdot Q_1

. Η συνολική δαπάνη των καταναλωτών για ένα αγαθό είναι τα συνολικά έσοδα (συνολική πρόσοδος) όλων των παραγωγών του αγαθού. Στο διάγραμμα φαίνεται ως το εμβαδόν του ορθογωνίου

OP_1AQ_1

Ελαστικότητα ζήτησης και συνολική δαπάνη

Ελαστική ζήτηση (

|E_D| > 1

): επικρατεί η μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας. Τιμή ↓ → ΣΔ ↑, τιμή ↑ → ΣΔ ↓.

Ανελαστική ζήτηση (

|E_D| < 1

): επικρατεί η μεταβολή της τιμής. Τιμή ↑ → ΣΔ ↑, τιμή ↓ → ΣΔ ↓.

Μοναδιαία ελαστικότητα (

|E_D| = 1

): οι ποσοστιαίες μεταβολές είναι ίσες, η ΣΔ μένει σταθερή.

Χρησιμότητα της ελαστικότητας