✖️

Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 2x2

Αντικατάσταση, αντίθετοι συντελεστές, τομή ευθειών

Κεφάλια και πόδια

Σε μια φάρμα μετράς $35$ κεφάλια και $94$ πόδια· υπάρχουν μόνο κότες και κουνέλια. Πόσα είναι από το καθένα; Έχεις δύο άγνωστους και δύο πληροφορίες — αυτό είναι ένα σύστημα. Θα λύσεις αυτόν τον γρίφο στο τέλος, στην Πρόκληση.

Η γραμμική εξίσωση και το σύστημα

Η εξίσωση $\alpha x + \beta y = \gamma$ (με $\alpha, \beta$ όχι και τα δύο μηδέν) λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Έχει άπειρες λύσεις — ζεύγη $(x, y)$ — και η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία.

Ένα γραμμικό σύστημα 2x2 είναι δύο τέτοιες εξισώσεις μαζί:

$\begin{cases} \alpha x + \beta y = \gamma \\ \alpha' x + \beta' y = \gamma' \end{cases}$

Λύση του συστήματος είναι το ζεύγος $(x, y)$ που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα.

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο ζεύγος είναι λύση της εξίσωσης $2x + 3y = 12$ ;

Κάθε γραμμική εξίσωση είναι μια ευθεία — η λύση του συστήματος είναι το σημείο όπου οι δύο ευθείες συναντιούνται.

Γεωμετρική ερμηνεία: τι κάνουν οι δύο ευθείες;

Τέμνονται σε ένα σημείο → το σύστημα έχει μοναδική λύση (τις συντεταγμένες του σημείου τομής)
Είναι παράλληλες → καμία κοινή λύση, το σύστημα είναι αδύνατο
Συμπίπτουν → άπειρες κοινές λύσεις, το σύστημα είναι αόριστο

Η άλγεβρα και η γεωμετρία λένε την ίδια ιστορία με διαφορετική γλώσσα!

Κόλπο μνήμης

Δύο ευθείες στο επίπεδο μπορούν να κάνουν μόνο τρία πράγματα. Σκέψου τα σύμβολα: Χ (τέμνονται → μία λύση), // (παράλληλες → καμία λύση), = (η μία πάνω στην άλλη → άπειρες λύσεις).

Μέθοδος της αντικατάστασης

Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (διαλέγουμε αυτόν με συντελεστή $1$ ή $-1$ , αν υπάρχει)
Αντικαθιστούμε την έκφραση στην άλλη εξίσωση → προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο
Τη λύνουμε και επιστρέφουμε για να βρούμε και τον δεύτερο άγνωστο

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε ένας άγνωστος να αποκτήσει αντίθετους συντελεστές (π.χ. $3y$ και $-3y$ )
Προσθέτουμε κατά μέλη — ο άγνωστος αυτός εξαφανίζεται
Λύνουμε την εξίσωση που μένει και βρίσκουμε τον άλλο άγνωστο με αντικατάσταση

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3, \; y = 2$

Παράδειγμα (τύπου εξετάσεων): Να λυθεί το σύστημα $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$

Με αντίθετους συντελεστές: πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση με $3$ :

$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 9x - 3y = 21 \end{cases}$

Προσθέτουμε κατά μέλη: $11x = 33 \Rightarrow x = 3$ .

Αντικαθιστούμε στη $3x - y = 7$ : $9 - y = 7 \Rightarrow y = 2$ .

Επαλήθευση: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ ✓ και $3 \cdot 3 - 2 = 7$ ✓. Λύση: $(x, y) = (3, 2)$ — το σημείο όπου τέμνονται οι δύο ευθείες.

Παράδειγμα 2 (αντικατάσταση): Να λυθεί το σύστημα $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + y = 10 \end{cases}$

Στην πρώτη εξίσωση το $x$ έχει συντελεστή $1$ , οπότε λύνουμε ως προς $x$ : $x = 1 + 2y$ .

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη:

$3(1 + 2y) + y = 10 \Rightarrow 3 + 6y + y = 10 \Rightarrow 7y = 7 \Rightarrow y = 1$

Επιστρέφουμε: $x = 1 + 2 \cdot 1 = 3$ .

Επαλήθευση: $3 - 2 = 1$ ✓ και $9 + 1 = 10$ ✓. Λύση: $(x, y) = (3, 1)$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η λύση του συστήματος $\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}$ ;

Μέθοδος: πρόβλημα με σύστημα

Δύο άγνωστοι: όρισε με σαφήνεια τι είναι το $x$ και τι το $y$ (με μονάδες).
Δύο εξισώσεις: κάθε πληροφορία της εκφώνησης γίνεται μία εξίσωση.
Λύση: αντικατάσταση (αν κάποιος συντελεστής είναι $\pm 1$ ) ή αντίθετοι συντελεστές.
Έλεγχος: επαλήθευσε και τις δύο εξισώσεις και έλεγξε ότι οι τιμές έχουν νόημα στην ιστορία.

Παράδειγμα 3 (καθημερινό πρόβλημα): Στην καντίνα, $2$ τοστ και $3$ χυμοί κοστίζουν $8{,}5$ €, ενώ $3$ τοστ και $1$ χυμός κοστίζουν $7{,}5$ €. Πόσο κοστίζει το καθένα;

Έστω $x$ € η τιμή του τοστ και $y$ € του χυμού:

$\begin{cases} 2x + 3y = 8{,}5 \\ 3x + y = 7{,}5 \end{cases}$

Από τη δεύτερη: $y = 7{,}5 - 3x$ . Αντικατάσταση στην πρώτη:

$2x + 3(7{,}5 - 3x) = 8{,}5 \Rightarrow 2x + 22{,}5 - 9x = 8{,}5 \Rightarrow -7x = -14 \Rightarrow x = 2$

Άρα $y = 7{,}5 - 6 = 1{,}5$ . Το τοστ κοστίζει $2$ € και ο χυμός $1{,}5$ €.

Έλεγχος: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 1{,}5 = 4 + 4{,}5 = 8{,}5$ ✓ και $3 \cdot 2 + 1{,}5 = 7{,}5$ ✓

Ήξερες ότι;

Ο γρίφος με τα κεφάλια και τα πόδια είναι πανάρχαιος. Υπάρχει στο κινεζικό βιβλίο μαθηματικών «Sunzi Suanjing», γραμμένο πριν από περίπου $1.500$ – $1.700$ χρόνια, με φασιανούς αντί για κότες και με τα ίδια νούμερα: $35$ κεφάλια και $94$ πόδια.

Παράδειγμα 4 (με κλάσματα και αόριστο σύστημα): (α) Να λυθεί το $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \\ x - y = 3 \end{cases}$ (β) Τι συμβαίνει με το $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}$ ;

(α) Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με το ΕΚΠ $6$ : $3x + 2y = 24$ . Από τη δεύτερη $x = y + 3$ , άρα

$3(y + 3) + 2y = 24 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3, \quad x = 6$

Έλεγχος: $\frac{6}{2} + \frac{3}{3} = 3 + 1 = 4$ ✓ και $6 - 3 = 3$ ✓

(β) Η δεύτερη εξίσωση είναι η πρώτη επί $2$ — είναι η ίδια ευθεία. Οι ευθείες συμπίπτουν και το σύστημα είναι αόριστο: λύση κάθε ζεύγος $(x, 2x - 3)$ , π.χ. $(0, -3)$ , $(1, -1)$ , $(2, 1)$ .

Γρήγορος έλεγχος

Τι ισχύει για το σύστημα $\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Τι ισχύει για το σύστημα $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}$ ;

Στις εξετάσεις, η επαλήθευση στις ΔΥΟ αρχικές εξισώσεις παίρνει 10 δευτερόλεπτα και πιάνει σχεδόν όλα τα λάθη πράξεων. Διάλεξε μέθοδο έξυπνα: αν κάποιος άγνωστος έχει συντελεστή $1$ ή $-1$ , η αντικατάσταση είναι γρηγορότερη· αλλιώς, αντίθετοι συντελεστές.

Πρόκληση

(α) Σε μια φάρμα με κότες και κουνέλια μετράμε $35$ κεφάλια και $94$ πόδια. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα κουνέλια; (β) Θα μπορούσαμε να μετρήσουμε $35$ κεφάλια και $95$ πόδια;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) Έστω $x$ οι κότες και $y$ τα κουνέλια. Κάθε ζώο έχει ένα κεφάλι· η κότα έχει $2$ πόδια και το κουνέλι $4$ :

$\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases}$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με $-2$ και προσθέτουμε κατά μέλη: $2y = 94 - 70 = 24$ , άρα $y = 12$ και $x = 35 - 12 = 23$ .

Απάντηση: $23$ κότες και $12$ κουνέλια. Επαλήθευση: $23 + 12 = 35$ ✓, $46 + 48 = 94$ ✓.

Έξυπνη ματιά: αν όλα τα ζώα σήκωναν δύο πόδια, θα έμεναν $94 - 70 = 24$ πόδια στο έδαφος — μόνο τα κουνέλια πατάνε ακόμη, με $2$ πόδια το καθένα. Άρα $24 : 2 = 12$ κουνέλια. Είναι ακριβώς η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών, με λόγια!

(β) Με $94 \to 95$ βγαίνει $2y = 95 - 70 = 25$ , άρα $y = 12{,}5$ . Το σύστημα έχει λύση, αλλά όχι αποδεκτή: δεν υπάρχει μισό κουνέλι. Στα προβλήματα ελέγχεις πάντα αν η λύση έχει νόημα.

Συνηθισμένα λάθη

Πολλαπλασιασμός μόνο ενός μέλους: όταν πολλαπλασιάζεις εξίσωση με $3$ , πολλαπλασιάζεις όλους τους όρους και των δύο μελών.
Αφαίρεση κατά μέλη με χαμένα πρόσημα: $(2x + 3y) - (2x - y) = 4y$ , όχι $2y$ . Αν μπερδεύεσαι, πολλαπλασίασε με $-1$ και πρόσθεσε.
Μισή λύση: η λύση συστήματος είναι ζεύγος — δεν σταματάς στο $x$ .
Αντικατάσταση στην ίδια εξίσωση: αν λύσεις την πρώτη ως προς $x$ και αντικαταστήσεις πάλι στην πρώτη, καταλήγεις σε $0 = 0$ . Αντικαθιστάς στην άλλη.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γραμμική εξίσωση $\alpha x + \beta y = \gamma$ : άπειρες λύσεις, γραφική παράσταση ευθεία.
Λύση συστήματος: το ζεύγος $(x, y)$ που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.
Μέθοδοι: αντικατάσταση (συντελεστής $\pm 1$ ) · αντίθετοι συντελεστές (πρόσθεση κατά μέλη).
Ευθείες που τέμνονται: μοναδική λύση · παράλληλες: αδύνατο · συμπίπτουν: αόριστο.
Επαλήθευση και στις δύο αρχικές εξισώσεις.

Η γραμμική εξίσωση και το σύστημα

Η εξίσωση

\alpha x + \beta y = \gamma

(με

\alpha, \beta

όχι και τα δύο μηδέν) λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Έχει άπειρες λύσεις — ζεύγη

(x, y)

— και η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία.

Ένα γραμμικό σύστημα 2x2 είναι δύο τέτοιες εξισώσεις μαζί:

\begin{cases} \alpha x + \beta y = \gamma \\ \alpha' x + \beta' y = \gamma' \end{cases}

Λύση του συστήματος είναι το ζεύγος

(x, y)

που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα.

Μέθοδος της αντικατάστασης

Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (διαλέγουμε αυτόν με συντελεστή

1

-1

, αν υπάρχει)

Αντικαθιστούμε την έκφραση στην άλλη εξίσωση → προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο

Τη λύνουμε και επιστρέφουμε για να βρούμε και τον δεύτερο άγνωστο

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε ένας άγνωστος να αποκτήσει αντίθετους συντελεστές (π.χ.

3y

και

-3y

)

Προσθέτουμε κατά μέλη — ο άγνωστος αυτός εξαφανίζεται

Λύνουμε την εξίσωση που μένει και βρίσκουμε τον άλλο άγνωστο με αντικατάσταση