🎯

Εξισώσεις β΄ βαθμού

Επίλυση με παραγοντοποίηση, διακρίνουσα και τύπος ριζών

Πότε θα ξαναπέσει η μπάλα;

Όταν σουτάρεις μια μπάλα, η τροχιά της (αν αγνοήσεις την αντίσταση του αέρα) είναι μια παραβολή. Για να βρεις πότε η μπάλα φτάνει σε ορισμένο ύψος ή πότε ακουμπά το έδαφος, λύνεις μια εξίσωση με $x^2$ . Τέτοιες εξισώσεις λύνουν μηχανικοί για γέφυρες και προγραμματιστές για τη φυσική των video games. Εδώ μαθαίνεις τον τύπο που τις λύνει όλες.

Η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$

Εξίσωση δευτέρου βαθμού μ' έναν άγνωστο λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ με $\alpha \neq 0$ . Οι λύσεις της λέγονται και ρίζες.

Επίλυση με παραγοντοποίηση

Στηρίζεται στην ιδιότητα: αν ένα γινόμενο είναι μηδέν, τότε τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν.

$x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0 \Rightarrow x = 0 \;\text{ή}\; x = 5$

Προσοχή: η ιδιότητα δουλεύει μόνο όταν το δεύτερο μέλος είναι 0 — γι' αυτό φέρνουμε πρώτα όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.

Παράδειγμα (ελλιπείς εξισώσεις): Να λυθούν (α) $x^2 - 9 = 0$ , (β) $3x^2 - 12x = 0$ , (γ) $x^2 + 4 = 0$ , (δ) $(x - 1)^2 = 16$ .

(α) Διαφορά τετραγώνων: $(x - 3)(x + 3) = 0$ , άρα $x = 3$ ή $x = -3$ .

(β) Κοινός παράγοντας: $3x(x - 4) = 0$ , άρα $x = 0$ ή $x = 4$ .

(γ) $x^2 = -4$ : κανένα τετράγωνο δεν είναι αρνητικό, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

(δ) Ο αριθμός $x - 1$ έχει τετράγωνο $16$ , άρα $x - 1 = 4$ ή $x - 1 = -4$ , δηλαδή $x = 5$ ή $x = -3$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης $x^2 = 25$ ;

Παίξε με τα α, β, γ της $y = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$: οι ρίζες της εξίσωσης είναι τα σημεία όπου η παραβολή τέμνει τον άξονα $x'x$.

Η διακρίνουσα

Όταν η παραγοντοποίηση δεν είναι προφανής, υπολογίζουμε τη διακρίνουσα $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ . Το πρόσημό της «προβλέπει» πόσες ρίζες υπάρχουν:

$\Delta > 0$ : δύο άνισες πραγματικές ρίζες (η παραβολή τέμνει τον άξονα σε 2 σημεία)
$\Delta = 0$ : μία διπλή ρίζα $x = -\frac{\beta}{2\alpha}$ (η παραβολή ακουμπά τον άξονα)
$\Delta < 0$ : καμία πραγματική ρίζα (η παραβολή δεν φτάνει ποτέ τον άξονα)

$\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma \qquad x_{1,2} = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \quad (\Delta \geq 0)$

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου την παραβολή $y = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ και τον άξονα $x'x$ . Η διακρίνουσα σου λέει πόσες φορές συναντιούνται:

$\Delta > 0$ : η παραβολή κόβει τον άξονα σε δύο σημεία → δύο ρίζες.
$\Delta = 0$ : τον ακουμπά σε ένα σημείο → μία διπλή ρίζα.
$\Delta < 0$ : δεν τον αγγίζει καθόλου → καμία πραγματική ρίζα.

Μέθοδος: επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού

Φέρε τη μορφή $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ : απαλοιφή παρονομαστών και παρενθέσεων, όλοι οι όροι στο πρώτο μέλος.
Αν λείπει ο σταθερός όρος ( $\gamma = 0$ ): κοινός παράγοντας $x$ .
Αν λείπει ο όρος με $x$ ( $\beta = 0$ ): διαφορά τετραγώνων ή $x^2 = \kappa$ .
Αλλιώς: γράψε $\alpha, \beta, \gamma$ με τα πρόσημά τους, υπολόγισε $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ και εφάρμοσε τον τύπο.
Επαλήθευσε τουλάχιστον μία ρίζα στην αρχική εξίσωση.

Λυμένο παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Να λυθεί η εξίσωση $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Λύση: Εδώ $\alpha = 2$ , $\beta = -5$ , $\gamma = 2$ .

$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0$

Άρα υπάρχουν δύο ρίζες:

$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

δηλαδή $x_1 = \frac{8}{4} = 2$ και $x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Επαλήθευση για $x = 2$ : $2 \cdot 4 - 10 + 2 = 0$ ✓

Παράδειγμα 2 (χρειάζεται πρώτα τακτοποίηση): Να λυθεί η $x(x - 3) = 2(x + 7)$ .

Βγάζουμε τις παρενθέσεις και φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος:

$x^2 - 3x = 2x + 14 \Rightarrow x^2 - 5x - 14 = 0$

$\alpha = 1$ , $\beta = -5$ , $\gamma = -14$ :

$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \qquad x = \frac{5 \pm 9}{2}$

Άρα $x = 7$ ή $x = -2$ .

Επαλήθευση: για $x = 7$ : $7 \cdot 4 = 28$ και $2 \cdot 14 = 28$ ✓ · για $x = -2$ : $(-2)(-5) = 10$ και $2 \cdot 5 = 10$ ✓

Παράδειγμα 3 (τύπου διαγωνίσματος, με κλάσματα): Να λυθούν (α) $\frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} = \frac{1}{6}$ και (β) $x^2 - 2x + 5 = 0$ .

(α) Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ $6$ : $3x^2 - 2x = 1 \Rightarrow 3x^2 - 2x - 1 = 0$ .

$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \qquad x = \frac{2 \pm 4}{6}$

Άρα $x = 1$ ή $x = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ .

(β) $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$ , άρα η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (αδύνατη).

Ήξερες ότι;

Οι Βαβυλώνιοι έλυναν προβλήματα που σήμερα γράφουμε ως εξισώσεις δευτέρου βαθμού πριν από σχεδόν $4.000$ χρόνια, σε πήλινες πινακίδες — χωρίς γράμματα και χωρίς αρνητικούς αριθμούς! Περιέγραφαν τη λύση με λόγια, ως σειρά βημάτων, που ισοδυναμεί με τη «συμπλήρωση τετραγώνου»: την ιδέα από την οποία βγαίνει ο σημερινός τύπος.

Γρήγορος έλεγχος

Τι ισχύει για την εξίσωση $x^2 - 4x + 4 = 0$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης $2x^2 + 3x - 2 = 0$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Τι ισχύει για την εξίσωση $x^2 + 9 = 0$ ;

Πριν αγγίξεις τον τύπο: φέρε την εξίσωση στη μορφή $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ και γράψε καθαρά τα $\alpha, \beta, \gamma$ με τα πρόσημά τους — το $\beta = -5$ που γίνεται $-(-5) = +5$ είναι το πιο συχνό λάθος. Και αν δεις τριώνυμο που σπάει εύκολα (άθροισμα–γινόμενο), η παραγοντοποίηση είναι γρηγορότερη από τη διακρίνουσα. Έλεγχος Vieta στο τέλος: $x_1 + x_2 = -\frac{\beta}{\alpha}$ και $x_1 \cdot x_2 = \frac{\gamma}{\alpha}$ .

Πρόκληση

Βρες τον θετικό αριθμό που, αν του αφαιρέσεις $1$ , γίνεται ίσος με τον αντίστροφό του.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Έστω $x > 0$ ο αριθμός. Η εκφώνηση λέει:

$x - 1 = \frac{1}{x}$

Πολλαπλασιάζουμε με $x$ (επιτρέπεται, αφού $x \neq 0$ ): $x^2 - x = 1 \Rightarrow x^2 - x - 1 = 0$ .

Εδώ $\alpha = 1$ , $\beta = -1$ , $\gamma = -1$ , άρα $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 > 0$ και

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Η $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ είναι αρνητική ( $\sqrt{5} > 1$ ), άρα απορρίπτεται. Ο αριθμός είναι

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$

Έλεγχος: $1{,}618 - 1 = 0{,}618$ και $\frac{1}{1{,}618} \approx 0{,}618$ ✓. Αυτός ο αριθμός έχει και όνομα: είναι η περίφημη χρυσή τομή $\varphi$ !

Συνηθισμένα λάθη

Διαίρεση με $x$ : από $x^2 = 5x$ δεν γράφουμε « $x = 5$ » — χάνεται η ρίζα $x = 0$ . Σωστά: $x(x - 5) = 0$ .
Γινόμενο ίσο με αριθμό $\neq 0$ : από $x(x - 1) = 6$ δεν βγαίνει « $x = 6$ ή $x - 1 = 6$ ». Φέρε πρώτα τη μορφή $x^2 - x - 6 = 0$ .
Μισή λύση στο $x^2 = 9$ : είναι $x = \pm 3$ , δύο λύσεις.
Κλασματική γραμμή: στον τύπο ριζών το $2\alpha$ διαιρεί όλο τον αριθμητή $-\beta \pm \sqrt{\Delta}$ , όχι μόνο τη ρίζα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Μορφή: $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$ με $\alpha \neq 0$ .
Ελλιπείς: κοινός παράγοντας ( $\gamma = 0$ ) ή διαφορά τετραγώνων/ $x^2 = \kappa$ ( $\beta = 0$ ) · $A \cdot B = 0 \iff A = 0$ ή $B = 0$ .
$\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$ : $\Delta > 0$ δύο ρίζες, $\Delta = 0$ διπλή, $\Delta < 0$ καμία.
$x_{1,2} = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$ .
Πρώτα όλα στο πρώτο μέλος, μετά επίλυση, στο τέλος επαλήθευση.

Η εξίσωση

\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0

Εξίσωση δευτέρου βαθμού μ' έναν άγνωστο λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής

\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0

με

\alpha \neq 0

. Οι λύσεις της λέγονται και ρίζες.

Επίλυση με παραγοντοποίηση

Στηρίζεται στην ιδιότητα: αν ένα γινόμενο είναι μηδέν, τότε τουλάχιστον ένας παράγοντας είναι μηδέν.

x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0 \Rightarrow x = 0 \;\text{ή}\; x = 5

Εξισώσεις β΄ βαθμού

Πότε θα ξαναπέσει η μπάλα;

Η εξίσωση αx2+βx+γ=0\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0αx2+βx+γ=0

Επίλυση με παραγοντοποίηση

Η διακρίνουσα

Μέθοδος: επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού

Εξισώσεις β΄ βαθμού

Πότε θα ξαναπέσει η μπάλα;

Η εξίσωση αx2+βx+γ=0\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0αx2+βx+γ=0

Επίλυση με παραγοντοποίηση

Η διακρίνουσα

Μέθοδος: επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού

Η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$

Η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$