📐

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Διατύπωση, αντίστροφο, υπολογισμός αποστάσεων

Τι σημαίνει «τηλεόραση 55 ιντσών»;

Δεν είναι ούτε το πλάτος ούτε το ύψος της: είναι η διαγώνιος της οθόνης. Μια τέτοια οθόνη έχει περίπου $48$ ίντσες πλάτος και $27$ ύψος, και $48^2 + 27^2 = 2304 + 729 = 3033$ , που είναι σχεδόν $55^2 = 3025$ . Το θεώρημα που συνδέει τις τρεις πλευρές είναι πάνω από $2500$ χρόνια παλιό — και το χρησιμοποιούν ακόμη μηχανικοί, οικοδόμοι και προγραμματιστές παιχνιδιών.

Το διασημότερο θεώρημα των Μαθηματικών

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα — είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά. Οι άλλες δύο πλευρές λέγονται κάθετες πλευρές.

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Γεωμετρικά: αν χτίσουμε ένα τετράγωνο πάνω σε κάθε πλευρά, τα εμβαδά των δύο μικρών τετραγώνων μαζί γεμίζουν ακριβώς το μεγάλο τετράγωνο της υποτείνουσας.

Δες τα τετράγωνα στις κάθετες πλευρές να «χωρούν» ακριβώς στο τετράγωνο της υποτείνουσας: α² + β² = γ².

$\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2 \qquad \text{και αντίστροφα} \qquad \alpha^2 = \gamma^2 - \beta^2$

Ήξερες ότι;

Οι Βαβυλώνιοι ήξεραν τέτοιες τριάδες πλευρών πάνω από χίλια χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα: η πήλινη πινακίδα Plimpton 322 (περίπου $1800$ π.Χ.) περιέχει αριθμούς που σχετίζονται με πυθαγόρειες τριάδες. Και για το θεώρημα έχουν βρεθεί εκατοντάδες διαφορετικές αποδείξεις — μία από αυτές τη δημοσίευσε το $1876$ ο Τζέιμς Γκάρφιλντ, που αργότερα έγινε πρόεδρος των ΗΠΑ.

Το αντίστροφο θεώρημα

Ισχύει και η αντίστροφη πορεία: αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, με ορθή τη γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.

Έτσι ελέγχουμε αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο μόνο από τα μήκη του. Οι τριάδες ακεραίων που «δουλεύουν» λέγονται πυθαγόρειες τριάδες: $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ — και όλα τα πολλαπλάσιά τους, όπως $(6, 8, 10)$ και $(9, 12, 15)$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα τρίγωνο έχει πλευρές $7$ , $24$ και $25$ . Τι ισχύει;

Εφαρμογές: υπολογισμός αποστάσεων

Το Πυθαγόρειο είναι το βασικό εργαλείο για ευθύγραμμες αποστάσεις: η διαγώνιος ορθογωνίου, το ύψος που φτάνει μια σκάλα στον τοίχο, η απόσταση που διανύει ένα πλοίο που κινήθηκε βόρεια και μετά ανατολικά.

Η συνταγή είναι πάντα η ίδια: εντόπισε ή κατασκεύασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ώστε η ζητούμενη απόσταση να γίνει πλευρά του, και εφάρμοσε το θεώρημα.

Μέθοδος: υπολογισμός πλευράς με το Πυθαγόρειο

Εντόπισε την ορθή γωνία — ή κατασκεύασε ορθογώνιο τρίγωνο φέρνοντας ένα ύψος.
Ονόμασε την υποτείνουσα (απέναντι από την ορθή): αυτή μπαίνει μόνη της στο ένα μέλος.
Γράψε $\text{υποτείνουσα}^2 = \text{κάθετη}^2 + \text{κάθετη}^2$ και αντικατέστησε.
Αν ζητείται κάθετη, αφαίρεσε· αν ζητείται υποτείνουσα, πρόσθεσε.
Πάρε τη θετική ρίζα και έλεγξε ότι η υποτείνουσα βγήκε η μεγαλύτερη πλευρά.

Άσκηση: Ένα ορθογώνιο πάρκο έχει διαστάσεις $60 \text{ m}$ και $80 \text{ m}$ . Η Μαρία το διασχίζει διαγώνια, ενώ ο Νίκος περπατά κατά μήκος των δύο πλευρών. Πόσα μέτρα γλιτώνει η Μαρία;

Λύση: Η διαγώνιος $\delta$ είναι υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές $60$ και $80$ :

$\delta^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 \Rightarrow \delta = \sqrt{10000} = 100 \text{ m}$

Ο Νίκος περπατά $60 + 80 = 140 \text{ m}$ , η Μαρία μόνο $100 \text{ m}$ . Γλιτώνει $140 - 100 = 40 \text{ m}$ . ✓

Παράδειγμα 2 (σκάλα): Σκάλα μήκους $5$ m ακουμπά σε κατακόρυφο τοίχο, με τη βάση της $1{,}4$ m μακριά από τον τοίχο. Σε ποιο ύψος φτάνει;

Τοίχος και έδαφος σχηματίζουν ορθή γωνία. Η σκάλα είναι η υποτείνουσα ( $5$ m) και ζητείται η κάθετη πλευρά $h$ — άρα αφαιρούμε:

$h^2 = 5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04 \Rightarrow h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8 \text{ m}$

Έλεγχος: $4{,}8^2 = 23{,}04$ ✓, και $4{,}8 < 5$ , όπως πρέπει για κάθετη πλευρά.

Παράδειγμα 3 (τύπου διαγωνίσματος): Ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ έχει $AB = A\Gamma = 13$ cm και βάση $B\Gamma = 10$ cm. Να βρεθούν το ύψος $A\Delta$ προς τη βάση και το εμβαδόν του.

Λύση: Στο ισοσκελές, το ύψος προς τη βάση πέφτει στο μέσο της, άρα $B\Delta = 5$ cm. Το τρίγωνο $AB\Delta$ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα $AB = 13$ :

$A\Delta^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow A\Delta = 12 \text{ cm}$

Εμβαδόν:

$E = \frac{B\Gamma \cdot A\Delta}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 \text{ cm}^2$

Η τριάδα $(5, 12, 13)$ εμφανίστηκε ξανά!

Γρήγορος έλεγχος

Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές $6$ και $8$ . Πόση είναι η υποτείνουσα;

Γρήγορος έλεγχος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα είναι $10$ και η μία κάθετη πλευρά $6$ . Πόση είναι η άλλη κάθετη;

Γρήγορος έλεγχος

Πόση είναι η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά $5$ cm;

Πρόκληση

Μια κασετίνα-κουτί έχει μήκος $12$ cm, πλάτος $4$ cm και ύψος $3$ cm. Χωράει μέσα της, κλεισμένο, ένα μολύβι μήκους $13$ cm; (Η πιο μακριά απόσταση μέσα στο κουτί είναι από μια κάτω γωνία ως την απέναντι πάνω γωνία.)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Βήμα 1 — διαγώνιος της μικρής έδρας: η έδρα $4 \times 3$ στην άκρη του κουτιού είναι ορθογώνιο, άρα η διαγώνιός της $\delta$ δίνει $\delta^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ , δηλαδή $\delta = 5$ cm.

Βήμα 2 — διαγώνιος του κουτιού: το τμήμα $\delta = 5$ και το μήκος $12$ είναι κάθετα, άρα σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα τη διαγώνιο $D$ του κουτιού:

$D^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \Rightarrow D = 13 \text{ cm}$

Απάντηση: Χωράει — ακριβώς! Το Πυθαγόρειο, εφαρμοσμένο δύο φορές, λύνει αποστάσεις και στον χώρο.

Πρώτη κίνηση σε κάθε άσκηση: βρες την υποτείνουσα — είναι απέναντι από την ορθή γωνία. Αν ζητείται κάθετη πλευρά, αφαιρείς: $\alpha^2 = \gamma^2 - \beta^2$ (το συχνότερο λάθος είναι να προσθέσεις). Και μάθε απέξω τις τριάδες $(3, 4, 5)$ και $(5, 12, 13)$ : στο διαγώνισμα αναγνωρίζεις το αποτέλεσμα πριν καν πιάσεις ρίζα.

Συνηθισμένα λάθη

Αντίστροφο με λάθος πλευρά: ο έλεγχος γίνεται πάντα με τη μεγαλύτερη πλευρά στη θέση της υποτείνουσας. Για το $6, 7, 9$ : $36 + 49 = 85 \neq 81$ , άρα δεν είναι ορθογώνιο.
Ρίζα που «σπάει»: $\sqrt{6^2 + 8^2} \neq 6 + 8$ . Κάνε πρώτα την πρόσθεση μέσα στη ρίζα.
Εφαρμογή σε μη ορθογώνιο τρίγωνο: το θεώρημα ισχύει μόνο όταν υπάρχει ορθή γωνία — αλλιώς φέρε ύψος για να τη δημιουργήσεις.
Ανάμεικτες μονάδες: $1{,}2$ m και $50$ cm δεν μπαίνουν μαζί στον τύπο· γίνονται πρώτα $120$ cm και $50$ cm.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σε ορθογώνιο τρίγωνο: $\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2$ , με $\gamma$ την υποτείνουσα (απέναντι από την ορθή, η μεγαλύτερη πλευρά).
Κάθετη πλευρά: $\alpha^2 = \gamma^2 - \beta^2$ .
Αντίστροφο: αν $\gamma^2 = \alpha^2 + \beta^2$ για τη μεγαλύτερη πλευρά $\gamma$ , το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Πυθαγόρειες τριάδες: $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ , $(7, 24, 25)$ και τα πολλαπλάσιά τους.
Διαγώνιος τετραγώνου πλευράς $\alpha$ : $\alpha\sqrt{2}$ · ύψος ισοσκελούς: πέφτει στο μέσο της βάσης.

Το διασημότερο θεώρημα των Μαθηματικών