🎈

Νόμοι των Αερίων

Ιδανικό αέριο, νόμοι Boyle, Charles, Gay-Lussac & τα διαγράμματά τους

Γιατί φουσκώνει το σακουλάκι με τα πατατάκια στο αεροπλάνο;

Ανοίγεις την τσάντα σου στο αεροπλάνο και τα κλειστά σακουλάκια με πατατάκια έχουν φουσκώσει σαν μπαλόνια. Στην καμπίνα η πίεση είναι χαμηλότερη από του εδάφους, οπότε ο αέρας μέσα στο σακουλάκι διαστέλλεται. Τρεις απλοί νόμοι — και μία εξίσωση που τους ενώνει — προβλέπουν ακριβώς πόσο: από τα λάστιχα του αυτοκινήτου ως τις φιάλες των δυτών.

Το ιδανικό αέριο και τα καταστατικά μεγέθη

Η κατάσταση μιας ποσότητας αερίου περιγράφεται από τρία καταστατικά μεγέθη: την πίεση $p$ , τον όγκο $V$ και την απόλυτη θερμοκρασία $T$ σε Kelvin ( $T = \theta + 273$ , με $\theta$ σε $^{\circ}C$ ).

Ιδανικό αέριο ονομάζουμε το πρότυπο αέριο που υπακούει με ακρίβεια στους νόμους των αερίων σε οποιεσδήποτε συνθήκες. Τα πραγματικά αέρια συμπεριφέρονται σχεδόν ιδανικά σε χαμηλές πιέσεις και συνηθισμένες θερμοκρασίες — γι' αυτό το μοντέλο δουλεύει τόσο καλά!

Όταν ένα από τα τρία μεγέθη μένει σταθερό, η μεταβολή λέγεται ισόθερμη ( $T$ σταθ.), ισόχωρη ( $V$ σταθ.) ή ισοβαρής ( $p$ σταθ.).

Σπρώξε το έμβολο και παρακολούθησε τα p, V, T: στην ισόθερμη συμπίεση, όσο μικραίνει ο όγκος τόσο ανεβαίνει η πίεση — θα ανακαλύψεις ότι το γινόμενο pV μένει σταθερό!

Οι τρεις νόμοι των αερίων

Νόμος του Boyle (ισόθερμη): σε σταθερή θερμοκρασία, πίεση και όγκος είναι αντιστρόφως ανάλογα. Στο διάγραμμα p–V η ισόθερμη είναι υπερβολή.
Νόμος του Charles (ισόχωρη): σε σταθερό όγκο, η πίεση είναι ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας — ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων στο p–T.
Νόμος του Gay-Lussac (ισοβαρής): σε σταθερή πίεση, ο όγκος είναι ανάλογος της απόλυτης θερμοκρασίας — ευθεία από την αρχή των αξόνων στο V–T.

Οι ευθείες των διαγραμμάτων p–T και V–T, προεκτεινόμενες, τέμνουν τον άξονα των θερμοκρασιών στο απόλυτο μηδέν ( $-273\ ^{\circ}C$ , δηλαδή $0\ K$ ). Προσοχή: όλοι οι νόμοι ισχύουν για σταθερή ποσότητα αερίου.

Τα διαγράμματα των τριών νόμων

Κάθε νόμος παριστάνεται σε τρία διαγράμματα. Για σταθερή ποσότητα αερίου:

Ισόθερμη ( $T$ σταθ.): στο $p\text{–}V$ υπερβολή· στα $p\text{–}T$ και $V\text{–}T$ ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στον άξονα $T$ . Ισόθερμες σε μεγαλύτερη θερμοκρασία βρίσκονται πιο μακριά από τους άξονες στο $p\text{–}V$ .
Ισόχωρη ( $V$ σταθ.): στο $p\text{–}T$ ευθεία που περνά από την αρχή· στο $p\text{–}V$ κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα.
Ισοβαρής ( $p$ σταθ.): στο $V\text{–}T$ ευθεία που περνά από την αρχή· στο $p\text{–}V$ οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα.

Στα διαγράμματα με θερμοκρασία σε $^{\circ}\text{C}$ ( $p\text{–}\theta$ , $V\text{–}\theta$ ) οι ευθείες δεν περνούν από την αρχή: η προέκτασή τους τέμνει τον άξονα στους $-273 \ ^{\circ}\text{C}$ . Αυτή η γραφική διαπίστωση οδήγησε στην ιδέα του απόλυτου μηδενός.

$pV = \sigma\tau\alpha\theta. \quad (T\ \sigma\tau\alpha\theta.), \qquad \frac{p}{T} = \sigma\tau\alpha\theta. \quad (V\ \sigma\tau\alpha\theta.), \qquad \frac{V}{T} = \sigma\tau\alpha\theta. \quad (p\ \sigma\tau\alpha\theta.)$

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο θερμαίνεται ισόχωρα από $27 \ ^{\circ}\text{C}$ σε $327 \ ^{\circ}\text{C}$ . Η πίεσή του:

Γρήγορος έλεγχος

Σε διάγραμμα $V\text{–}T$ ( $T$ σε Kelvin) μια ισοβαρής μεταβολή σταθερής ποσότητας ιδανικού αερίου παριστάνεται με:

Ήξερες ότι;

Προεκτείνοντας τις ευθείες του διαγράμματος $V\text{–}\theta$ , οι φυσικοί του 19ου αιώνα κατάλαβαν ότι πρέπει να υπάρχει μια κατώτατη θερμοκρασία, περίπου $-273 \ ^{\circ}\text{C}$ , πολύ πριν μπορέσει κανείς να την πλησιάσει. Το απόλυτο μηδέν ( $-273{,}15 \ ^{\circ}\text{C}$ ) δεν το έχει φτάσει κανείς, αλλά στα εργαστήρια έχουν ψύξει άτομα σε θερμοκρασίες μικρότερες από ένα δισεκατομμυριοστό του kelvin.

Μέθοδος: ασκήσεις νόμων των αερίων

Ονόμασε τις καταστάσεις (Α, Β, Γ, …) και γράψε για καθεμιά τα $p$ , $V$ , $T$ — γνωστά και άγνωστα.
Μετάτρεψε όλες τις θερμοκρασίες σε Kelvin: $T = \theta + 273$ .
Για κάθε μεταβολή εντόπισε ποιο μέγεθος μένει σταθερό και διάλεξε νόμο: Boyle ( $T$ σταθ.), Charles ( $V$ σταθ.), Gay-Lussac ( $p$ σταθ.) — ή τον συνδυαστικό νόμο όταν αλλάζουν και τα τρία.
Στους λόγους (π.χ. $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ ) αρκούν ίδιες μονάδες στα δύο μέλη (π.χ. L με L). Στην $pV = nRT$ με $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ όμως υποχρεωτικά S.I.: $p$ σε Pa, $V$ σε $\text{m}^3$ ( $1 \ \text{L} = 10^{-3} \ \text{m}^3$ ).
Αν ζητείται ποσότητα ( $n$ , μάζα $m$ , αριθμός μορίων $N$ ), λύσε την $pV = nRT$ ως προς $n$ και μετά $m = nM$ , $N = nN_A$ .
Επαλήθευσε με τον συνδυαστικό νόμο ή σχεδίασε τη μεταβολή στο $p\text{–}V$ .

Παράδειγμα (Gay-Lussac): Μπαλόνι περιέχει $2 \ \text{L}$ αέρα στους $27 \ ^{\circ}\text{C}$ . Θερμαίνεται στον ήλιο στους $87 \ ^{\circ}\text{C}$ με σταθερή πίεση. Πόσος γίνεται ο όγκος του;

Λύση: Σε Kelvin: $T_1 = 300 \ \text{K}$ , $T_2 = 360 \ \text{K}$ . Ισοβαρής:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \Rightarrow V_2 = 2 \cdot \frac{360}{300} = 2{,}4 \ \text{L}$

Αύξηση $20\%$ — όσο αυξήθηκε η απόλυτη θερμοκρασία ( $300 \to 360 \ \text{K}$ ), όχι όσο η θερμοκρασία σε $^{\circ}\text{C}$ ( $27 \to 87$ , δηλαδή σχεδόν $3$ φορές). ✔

Άσκηση (τύπου Πανελληνίων): Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε δοχείο με έμβολο σε κατάσταση $p_1 = 2 \cdot 10^5\ Pa$ , $V_1 = 3\ L$ , $T_1 = 300\ K$ . (α) Θερμαίνεται ισόχωρα μέχρι $T_2 = 600\ K$ . (β) Στη συνέχεια εκτονώνεται ισόθερμα μέχρι όγκο $V_3 = 12\ L$ . Να βρεθούν οι πιέσεις $p_2$ και $p_3$ .

Λύση:

(α) Ισόχωρη, νόμος του Charles: $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \Rightarrow p_2 = p_1\frac{T_2}{T_1} = 2 \cdot 10^5 \cdot \frac{600}{300} = 4 \cdot 10^5\ Pa$ .

(β) Ισόθερμη, νόμος του Boyle: $p_2V_2 = p_3V_3 \Rightarrow p_3 = \frac{p_2V_2}{V_3} = \frac{4 \cdot 10^5 \cdot 3}{12} = 10^5\ Pa$ .

Επαλήθευση με τον συνδυαστικό νόμο (όγκοι σε L): $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 3}{300} = 2 \cdot 10^3$ και $\frac{p_3V_3}{T_3} = \frac{10^5 \cdot 12}{600} = 2 \cdot 10^3$ — ταυτίζονται!

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο συμπιέζεται ισόθερμα στο μισό του αρχικού του όγκου. Τι θα συμβεί στην πίεσή του;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Το λάστιχο ενός αυτοκινήτου φουσκώνεται το πρωί σε πίεση $2{,}2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ στους $7 \ ^{\circ}\text{C}$ . Μετά από ταξίδι ο αέρας μέσα του έχει θερμοκρασία $42 \ ^{\circ}\text{C}$ . Ο όγκος του λάστιχου θεωρείται σταθερός.

Δεδομένα: $p_1 = 2{,}2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $T_1 = 280 \ \text{K}$ , $T_2 = 315 \ \text{K}$ , $V$ σταθερός.

Ζητούμενα: α) η πίεση μετά το ταξίδι, β) η μέγιστη θερμοκρασία (σε $^{\circ}\text{C}$ ) αν το λάστιχο αντέχει ως $2{,}7 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , γ) η μορφή της μεταβολής στα διαγράμματα $p\text{–}T$ και $p\text{–}V$ .

Λύση:

α) Ισόχωρη (Charles): $p_2 = p_1\frac{T_2}{T_1} = 2{,}2 \times 10^5 \cdot \frac{315}{280} = 2{,}475 \times 10^5 \ \text{Pa}$ .

β) $T_{max} = T_1\frac{p_{max}}{p_1} = 280 \cdot \frac{2{,}7}{2{,}2} \approx 343{,}6 \ \text{K}$ , δηλαδή περίπου $70{,}6 \ ^{\circ}\text{C}$ .

γ) Στο $p\text{–}T$ : τμήμα ευθείας που, προεκτεινόμενο, περνά από την αρχή των αξόνων. Στο $p\text{–}V$ : κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα προς τα πάνω.

Απάντηση: α) $\approx 2{,}48 \times 10^5 \ \text{Pa}$ β) $\approx 70{,}6 \ ^{\circ}\text{C}$ γ) ευθεία από την αρχή στο $p\text{–}T$ , κατακόρυφο τμήμα στο $p\text{–}V$ — γι' αυτό η πίεση των ελαστικών ελέγχεται «κρύα»

Στους νόμους των αερίων η θερμοκρασία μπαίνει ΠΑΝΤΑ σε Kelvin ( $T = \theta + 273$ ) — ποτέ σε βαθμούς Κελσίου! Πριν εφαρμόσεις νόμο, γράψε ποιο μέγεθος μένει σταθερό και σχεδίασε τη μεταβολή στο διάγραμμα p–V: η σωστή εικόνα είναι το μισό της λύσης.

Πρόκληση

Κλείνεις με το δάχτυλο το άκρο μιας σύριγγας που περιέχει $10 \ \text{mL}$ αέρα σε ατμοσφαιρική πίεση $10^5 \ \text{Pa}$ , και τραβάς αργά το έμβολο μέχρι τα $30 \ \text{mL}$ (η θερμοκρασία μένει σταθερή). Το έμβολο έχει εμβαδόν $2 \ \text{cm}^2$ και θεωρείται αβαρές και χωρίς τριβές. Πόση δύναμη χρειάζεται για να κρατάς το έμβολο σε αυτή τη θέση;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ισόθερμη (Boyle): $p_2 = p_1\frac{V_1}{V_2} = 10^5 \cdot \frac{10}{30} \approx 3{,}33 \times 10^4 \ \text{Pa}$ .

Στο έμβολο η ατμόσφαιρα σπρώχνει προς τα μέσα με $p_0A$ και ο αραιωμένος αέρας προς τα έξω με $p_2A$ . Για ισορροπία πρέπει να ασκείς προς τα έξω:

$F = (p_0 - p_2)A = (10^5 - 3{,}33 \times 10^4) \cdot 2 \times 10^{-4} \approx 13{,}3 \ \text{N}$

Περίπου όσο το βάρος σώματος $1{,}3 \ \text{kg}$ — γι' αυτό μόλις αφήσεις το έμβολο «ρουφιέται» πίσω.

Συνηθισμένα λάθη

Θερμοκρασία σε $^{\circ}\text{C}$ : «από $20$ σε $40 \ ^{\circ}\text{C}$ διπλασιάζεται η θερμοκρασία» — λάθος: από $293$ σε $313 \ \text{K}$ η αύξηση είναι μόλις $\approx 7\%$ . Διόρθωση: μετατροπή σε K πριν από κάθε νόμο.
Νόμος του Boyle όταν αλλάζει η ποσότητα (διαρροή ή προσθήκη αερίου): οι τρεις νόμοι ισχύουν μόνο για σταθερό $n$ . Διόρθωση: γράψε $pV = nRT$ χωριστά για κάθε κατάσταση.
Λάθος σχήμα διαγράμματος: η ισόθερμη είναι υπερβολή μόνο στο $p\text{–}V$ · στα $p\text{–}T$ και $V\text{–}T$ είναι ευθεία παράλληλη σε άξονα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Καταστατικά μεγέθη: $p$ , $V$ και απόλυτη θερμοκρασία $T = \theta + 273$ — πάντα σε Kelvin
Boyle: $pV = \sigma\tau\alpha\theta.$ (ισόθερμη, υπερβολή στο $p\text{–}V$ )
Charles: $\frac{p}{T} = \sigma\tau\alpha\theta.$ (ισόχωρη)· Gay-Lussac: $\frac{V}{T} = \sigma\tau\alpha\theta.$ (ισοβαρής)
Οι νόμοι ισχύουν για σταθερή ποσότητα ιδανικού αερίου
Στα διαγράμματα $p\text{–}\theta$ και $V\text{–}\theta$ οι ευθείες τέμνουν τον άξονα στους $-273 \ ^{\circ}\text{C}$ (απόλυτο μηδέν)

Το ιδανικό αέριο και τα καταστατικά μεγέθη

Η κατάσταση μιας ποσότητας αερίου περιγράφεται από τρία καταστατικά μεγέθη: την πίεση

p

, τον όγκο

V

και την απόλυτη θερμοκρασία

T

σε Kelvin (

T = \theta + 273

, με

\theta

σε

^{\circ}C

Όταν ένα από τα τρία μεγέθη μένει σταθερό, η μεταβολή λέγεται ισόθερμη (

T

σταθ.), ισόχωρη (

V

σταθ.) ή ισοβαρής (

p

σταθ.).