🎡

Ομαλή Κυκλική Κίνηση

Περίοδος, συχνότητα, γραμμική & γωνιακή ταχύτητα

Γιατί με νοιάζει;

Η Γη κάνει μία περιστροφή γύρω από τον άξονά της σε $24$ ώρες. Ένας κάτοικος του Ισημερινού όμως «ταξιδεύει» με περίπου $1670 \ \text{km/h}$ , ενώ εσύ στην Αθήνα με περίπου $1300 \ \text{km/h}$ — κι ας κάνετε και οι δύο τον γύρο στον ίδιο χρόνο. Πώς γίνεται; Η απάντηση κρύβεται στη διαφορά ανάμεσα στη γωνιακή και στη γραμμική ταχύτητα, τα δύο βασικά εργαλεία αυτού του κεφαλαίου.

Περίοδος και συχνότητα

Ένα σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση (ΟΚΚ) όταν κινείται σε κυκλική τροχιά και το μέτρο της ταχύτητάς του μένει σταθερό. Ο τροχός του λούνα παρκ, ο δορυφόρος γύρω από τη Γη, το ρολόι στον τοίχο — όλα ΟΚΚ.

Επειδή η κίνηση επαναλαμβάνεται, την περιγράφουμε με δύο «δίδυμα» μεγέθη:

Περίοδος $T$ : ο χρόνος για μία πλήρη περιφορά, σε δευτερόλεπτα
Συχνότητα $f$ : πόσες περιφορές γίνονται σε ένα δευτερόλεπτο, με μονάδα το Hertz ( $1 \ \text{Hz} = 1 \ \text{περιφορά/s}$ )

Αν σε χρόνο $t$ γίνονται $N$ περιφορές, τότε $f = \frac{N}{t}$ και $T = \frac{t}{N}$ . Τα δύο μεγέθη είναι αντίστροφα:

$f = \frac{1}{T}$

Γρήγορη περιστροφή σημαίνει μικρό $T$ και μεγάλο $f$ — το ένα «κατεβαίνει» όσο το άλλο «ανεβαίνει».

Γραμμική και γωνιακή ταχύτητα

Σε μία περίοδο το σώμα διανύει μήκος κύκλου $2\pi r$ , άρα το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας είναι:

$\upsilon = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi f r$

Η διεύθυνσή της είναι πάντα εφαπτόμενη στην τροχιά — γι' αυτό όταν σπάει το νήμα, η πέτρα φεύγει εφαπτομενικά, όχι «προς τα έξω»!

Η γωνιακή ταχύτητα $\omega$ μετράει πόσο γρήγορα «σαρώνεται» η γωνία. Σε μία περίοδο διαγράφεται γωνία $2\pi \ \text{rad}$ :

$\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

με μονάδα το $1 \ \text{rad/s}$ . Οι δύο ταχύτητες δένονται με τη χρυσή σχέση:

$\upsilon = \omega r$

Στον ίδιο δίσκο όλα τα σημεία έχουν το ίδιο $\omega$ , αλλά τα εξωτερικά τρέχουν με μεγαλύτερο $\upsilon$ — μεγαλύτερη ακτίνα, μεγαλύτερος κύκλος στον ίδιο χρόνο.

Ρύθμισε την ταχύτητα περιστροφής και κοίτα τα διανύσματα: η ταχύτητα μένει πάντα εφαπτόμενη, ενώ η επιτάχυνση δείχνει διαρκώς στο κέντρο — θα ανακαλύψεις γιατί ένα σώμα με σταθερό μέτρο ταχύτητας μπορεί να επιταχύνεται!

$f = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \qquad \upsilon = \frac{2\pi r}{T} = \omega r$

Παράδειγμα (ανεμιστήρας οροφής): Τα πτερύγια ανεμιστήρα οροφής έχουν μήκος $r = 0{,}6 \ \text{m}$ και περιστρέφονται ομαλά κάνοντας $300$ στροφές το λεπτό. Να βρεθούν τα $f$ , $T$ , $\omega$ και η ταχύτητα $\upsilon$ της άκρης ενός πτερυγίου και ενός σημείου στη μέση του.

Λύση: Μετατροπή σε Hz: $f = \frac{300}{60 \ \text{s}} = 5 \ \text{Hz}$ , άρα $T = \frac{1}{f} = 0{,}2 \ \text{s}$ .

Γωνιακή ταχύτητα: $\omega = 2\pi f = 10\pi \ \text{rad/s} \approx 31{,}4 \ \text{rad/s}$ — ίδια για όλα τα σημεία του πτερυγίου.

Άκρη ( $r = 0{,}6 \ \text{m}$ ): $\upsilon = \omega r = 10\pi \cdot 0{,}6 = 6\pi \approx 18{,}8 \ \text{m/s}$ .

Μέση ( $r' = 0{,}3 \ \text{m}$ ): $\upsilon' = \omega r' = 3\pi \approx 9{,}4 \ \text{m/s}$ .

Μισή ακτίνα → μισή γραμμική ταχύτητα, ενώ η $\omega$ δεν αλλάζει. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σημεία Α και Β του ίδιου περιστρεφόμενου δίσκου απέχουν από τον άξονα $r_A = 0{,}1 \ \text{m}$ και $r_B = 0{,}3 \ \text{m}$ . Ο λόγος $\frac{\upsilon_A}{\upsilon_B}$ των γραμμικών ταχυτήτων τους είναι:

Κόλπο μνήμης

Σκέψου ένα καρουζέλ. Όλα τα αλογάκια κάνουν τον γύρο στον ίδιο χρόνο, άρα έχουν κοινά $T$ , $f$ και $\omega$ . Το εξωτερικό αλογάκιο όμως διαγράφει μεγαλύτερο κύκλο, άρα τρέχει πιο γρήγορα: $\upsilon = \omega r$ . «Ίδια $\omega$ , μεγαλύτερο $r$ → μεγαλύτερη $\upsilon$ .»

Γρήγορος έλεγχος

Δίσκος περιστρέφεται ομαλά. Το σημείο Β απέχει από τον άξονα διπλάσια απόσταση από το σημείο Α. Σε σύγκριση με το Α, το Β έχει:

Μέθοδος: ασκήσεις κινηματικής της ΟΚΚ

Μετάτρεψε τα δεδομένα σε S.I.: στροφές ανά λεπτό $\div 60$ → Hz, εκατοστά → μέτρα, ώρες → δευτερόλεπτα.
Βρες $f$ και $T$ από $f = \frac{N}{t}$ και $T = \frac{1}{f}$ .
Υπολόγισε $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$ — κράτα το $\pi$ συμβολικά.
Γραμμική ταχύτητα $\upsilon = \omega r$ , με $r$ την απόσταση του συγκεκριμένου σημείου από τον άξονα.
Σύγκριση σημείων: στον ίδιο δίσκο κοινή η $\omega$ · σε σημεία που συνδέει ιμάντας ή αλυσίδα χωρίς ολίσθηση κοινή η $\upsilon$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε ομαλή κυκλική κίνηση διπλασιάζουμε την περίοδο $T$ κρατώντας την ακτίνα σταθερή. Η γραμμική ταχύτητα $\upsilon$ :

Παράδειγμα (δείκτες ρολογιού): Ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού έχει μήκος $12 \ \text{cm}$ και ο ωροδείκτης $8 \ \text{cm}$ . Να βρεθούν η περίοδος, η γωνιακή ταχύτητα και η ταχύτητα της άκρης κάθε δείκτη, καθώς και ο λόγος των ταχυτήτων των άκρων τους.

Λύση: Λεπτοδείκτης: $T_\lambda = 1 \ \text{h} = 3600 \ \text{s}$ , άρα $\omega_\lambda = \frac{2\pi}{3600} = \frac{\pi}{1800} \ \text{rad/s} \approx 1{,}75 \times 10^{-3} \ \text{rad/s}$ και

$\upsilon_\lambda = \omega_\lambda r_\lambda = \frac{\pi}{1800} \cdot 0{,}12 \approx 2{,}1 \times 10^{-4} \ \text{m/s}$

Ωροδείκτης: $T_\omega = 12 \ \text{h} = 43\,200 \ \text{s}$ , άρα $\omega_\omega = \frac{\pi}{21\,600} \ \text{rad/s}$ και $\upsilon_\omega = \frac{\pi}{21\,600} \cdot 0{,}08 \approx 1{,}2 \times 10^{-5} \ \text{m/s}$ .

Λόγος: $\frac{\upsilon_\lambda}{\upsilon_\omega} = \frac{r_\lambda / T_\lambda}{r_\omega / T_\omega} = \frac{0{,}12 \cdot 43\,200}{0{,}08 \cdot 3600} = 18$ . Ο λεπτοδείκτης γυρίζει $12$ φορές πιο γρήγορα και είναι $1{,}5$ φορά μακρύτερος: $12 \cdot 1{,}5 = 18$ ✔

Γρήγορος έλεγχος

Τροχός εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση κάνοντας $120$ στροφές το λεπτό. Η περίοδός του είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δύο τροχαλίες με ακτίνες $r_1 = 0{,}1 \ \text{m}$ και $r_2 = 0{,}3 \ \text{m}$ συνδέονται με ιμάντα που δεν γλιστράει. Η μικρή τροχαλία περιστρέφεται ομαλά με συχνότητα $f_1 = 6 \ \text{Hz}$ .

Δεδομένα: $r_1 = 0{,}1 \ \text{m}$ , $r_2 = 0{,}3 \ \text{m}$ , $f_1 = 6 \ \text{Hz}$ .

Ζητούμενα: α) η ταχύτητα του ιμάντα, β) η συχνότητα και η περίοδος της μεγάλης τροχαλίας, γ) οι γωνιακές ταχύτητες των δύο τροχαλιών, δ) η ταχύτητα ενός σημείου της μεγάλης τροχαλίας που απέχει $0{,}15 \ \text{m}$ από τον άξονά της.

Λύση:

α) Τα σημεία της περιφέρειας της μικρής τροχαλίας κινούνται με την ταχύτητα του ιμάντα:

$\upsilon = 2\pi f_1 r_1 = 2\pi \cdot 6 \cdot 0{,}1 = 1{,}2\pi \approx 3{,}8 \ \text{m/s}$

β) Ο ιμάντας δεν γλιστράει, άρα και η περιφέρεια της μεγάλης τροχαλίας έχει την ίδια $\upsilon$ :

$f_2 = \frac{\upsilon}{2\pi r_2} = \frac{1{,}2\pi}{0{,}6\pi} = 2 \ \text{Hz}, \qquad T_2 = \frac{1}{f_2} = 0{,}5 \ \text{s}$

γ) $\omega_1 = 2\pi f_1 = 12\pi \ \text{rad/s}$ και $\omega_2 = 2\pi f_2 = 4\pi \ \text{rad/s}$ . Τριπλάσια ακτίνα → τριπλάσια μικρότερη γωνιακή ταχύτητα.

δ) Στην ίδια τροχαλία κοινή είναι η $\omega_2$ : $\upsilon' = \omega_2 r' = 4\pi \cdot 0{,}15 = 0{,}6\pi \approx 1{,}9 \ \text{m/s}$ .

Απάντηση: α) $1{,}2\pi \approx 3{,}8 \ \text{m/s}$ β) $2 \ \text{Hz}$ , $0{,}5 \ \text{s}$ γ) $12\pi$ και $4\pi \ \text{rad/s}$ δ) $0{,}6\pi \approx 1{,}9 \ \text{m/s}$

Ήξερες ότι;

Τα άστρα νετρονίων που λέγονται πάλσαρ περιστρέφονται απίστευτα γρήγορα. Ο ταχύτερος γνωστός, ο PSR J1748−2446ad, κάνει περίπου $716$ περιστροφές κάθε δευτερόλεπτο: συχνότητα $716 \ \text{Hz}$ και περίοδος μικρότερη από $1{,}4 \ \text{ms}$ — για ένα σώμα με μάζα μεγαλύτερη από του Ήλιου!

Πρόκληση

Στις $12{:}00$ ο λεπτοδείκτης και ο ωροδείκτης ενός ρολογιού συμπίπτουν. Μετά από πόσο χρόνο θα ξανασυμπέσουν για πρώτη φορά;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Οι γωνιακές ταχύτητες είναι $\omega_\lambda = \frac{2\pi}{1 \ \text{h}}$ και $\omega_\omega = \frac{2\pi}{12 \ \text{h}}$ . Ο λεπτοδείκτης «κερδίζει» γωνία με ρυθμό $\omega_\lambda - \omega_\omega$ και ξαναπιάνει τον ωροδείκτη όταν τον έχει προσπεράσει κατά έναν ολόκληρο κύκλο ( $2\pi$ ):

$(\omega_\lambda - \omega_\omega)t = 2\pi \Rightarrow \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{12}\right)t = 1 \Rightarrow \frac{11}{12}t = 1 \ \text{h}$

$t = \frac{12}{11} \ \text{h} \approx 1 \ \text{h} \ 5 \ \text{min} \ 27 \ \text{s}$

Όχι στη μία ακριβώς, όπως θα έλεγε κανείς βιαστικά: στη μία ο ωροδείκτης έχει ήδη προχωρήσει στο «1».

Συνηθισμένα λάθη

Στροφές ανά λεπτό αντί για Hz: οι $120$ στροφές το λεπτό είναι $2 \ \text{Hz}$ , όχι $120 \ \text{Hz}$ . Διαίρεσε πάντα με το $60$ πριν από κάθε τύπο.
Σύγχυση $T$ και $f$ : μεγαλύτερη περίοδος σημαίνει πιο αργή περιστροφή. Έλεγξε ότι $T \cdot f = 1$ .
Ίδια $\upsilon$ σε όλο τον δίσκο: κοινή είναι η $\omega$ · η $\upsilon = \omega r$ μεγαλώνει με την απόσταση από τον άξονα. Κοινή $\upsilon$ έχουν μόνο σημεία που συνδέει ιμάντας ή αλυσίδα.
Μοίρες αντί για ακτίνια: στο $\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ η γωνία μπαίνει σε rad — ένας κύκλος είναι $2\pi \ \text{rad}$ , όχι $360$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

ΟΚΚ: κυκλική τροχιά με σταθερό μέτρο ταχύτητας
$f = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}$ , με $f$ σε Hz και $T$ σε s
$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$ σε rad/s και $\upsilon = \frac{2\pi r}{T} = \omega r$
Η $\vec{\upsilon}$ είναι πάντα εφαπτόμενη στην τροχιά
Ίδιος δίσκος → κοινή $\omega$ · ιμάντας/αλυσίδα → κοινή $\upsilon$

Περίοδος και συχνότητα

Επειδή η κίνηση επαναλαμβάνεται, την περιγράφουμε με δύο «δίδυμα» μεγέθη:

Περίοδος

T

: ο χρόνος για μία πλήρη περιφορά, σε δευτερόλεπτα

Συχνότητα

f

: πόσες περιφορές γίνονται σε ένα δευτερόλεπτο, με μονάδα το Hertz (

1 \ \text{Hz} = 1 \ \text{περιφορά/s}

)

Αν σε χρόνο

t

γίνονται

N

περιφορές, τότε

f = \frac{N}{t}

και

T = \frac{t}{N}

. Τα δύο μεγέθη είναι αντίστροφα:

f = \frac{1}{T}

Γρήγορη περιστροφή σημαίνει μικρό

T

και μεγάλο

f

— το ένα «κατεβαίνει» όσο το άλλο «ανεβαίνει».