🔥

Εσωτερική Ενέργεια & 1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου, Q = ΔU + W, σύμβαση προσήμων

Γιατί με νοιάζει;

Φουσκώνεις γρήγορα το λάστιχο του ποδηλάτου και η τρόμπα ζεσταίνεται στο κάτω μέρος της. Κανείς δεν την ακούμπησε σε φωτιά! Το έργο που έδωσαν τα χέρια σου στον αέρα αύξησε την εσωτερική του ενέργεια — και μαζί τη θερμοκρασία του. Θερμότητα και έργο είναι δύο «πόρτες» από τις οποίες μπαίνει ή βγαίνει ενέργεια σε ένα αέριο, και ο 1ος θερμοδυναμικός νόμος είναι το λογιστικό βιβλίο τους.

Εσωτερική ενέργεια και 1ος θερμοδυναμικός νόμος

Η εσωτερική ενέργεια $U$ ιδανικού αερίου οφείλεται στην κινητική ενέργεια των μορίων του και εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία — για μονατομικό αέριο $U = \frac{3}{2}nRT$ .

Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος είναι η αρχή διατήρησης της ενέργειας για το αέριο: η θερμότητα $Q$ που απορροφά μοιράζεται σε μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας $\Delta U$ και σε έργο $W$ προς το περιβάλλον.

Σύμβαση προσήμων: $Q > 0$ όταν το αέριο απορροφά θερμότητα, $W > 0$ όταν το αέριο εκτονώνεται (παράγει έργο), $\Delta U > 0$ όταν η θερμοκρασία του αυξάνεται.

Ο 1ος νόμος ως αρχή διατήρησης της ενέργειας

Ο 1ος θερμοδυναμικός νόμος $Q = \Delta U + W$ δεν είναι νέα αρχή: είναι η διατήρηση της ενέργειας για ένα θερμοδυναμικό σύστημα. Η ενέργεια που μπαίνει ως θερμότητα είτε μένει στο αέριο ως εσωτερική ενέργεια είτε φεύγει ως έργο προς το περιβάλλον.

Μια βασική διαφορά ανάμεσα στα τρία μεγέθη:

Η $\Delta U$ εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση — για ιδανικό αέριο μόνο από τη $\Delta T$ . Η $U$ είναι καταστατικό μέγεθος.
Το $W$ και η $Q$ εξαρτώνται από τη διαδρομή: ανάμεσα στις ίδιες δύο καταστάσεις, διαφορετικές μεταβολές δίνουν διαφορετικό έργο (άλλο εμβαδόν στο $p\text{–}V$ ) και διαφορετική θερμότητα.

Για μονατομικό ιδανικό αέριο, λόγω της $pV = nRT$ , η εσωτερική ενέργεια γράφεται και $U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV$ .

$Q = \Delta U + W, \quad \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$

Κόλπο μνήμης

Διάβασε τον 1ο νόμο σαν τραπεζικό λογαριασμό. Η θερμότητα $Q$ είναι η κατάθεση, η $\Delta U$ ό,τι μένει στον λογαριασμό και το $W$ ό,τι ξόδεψε το αέριο σπρώχνοντας το περιβάλλον: $Q = \Delta U + W$ . Αρνητικό $Q$ σημαίνει ανάληψη (το αέριο δίνει θερμότητα)· αρνητικό $W$ σημαίνει ότι «πλήρωσε» κάποιος άλλος (συμπίεση).

Μέθοδος: εφαρμογή του 1ου νόμου

Όρισε το σύστημα (το αέριο) και γράψε τη σύμβαση: $Q > 0$ απορρόφηση, $W > 0$ εκτόνωση, $\Delta U > 0$ θέρμανση.
Υπολόγισε όποια δύο από τα $Q$ , $\Delta U$ , $W$ μπορείς: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ (μονατομικό), $W$ από το $p\text{–}V$ .
Βρες το τρίτο από τον νόμο $Q = \Delta U + W$ .
Ερμήνευσε τα πρόσημα: π.χ. $Q < 0$ σημαίνει ότι το αέριο αποβάλλει θερμότητα.

Παράδειγμα: Μονατομικό ιδανικό αέριο ( $n = 1 \ \text{mol}$ ) απορροφά θερμότητα $500 \ \text{J}$ και παράγει έργο $200 \ \text{J}$ . Πόση είναι η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας και της θερμοκρασίας του; ( $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ )

Λύση: $\Delta U = Q - W = 500 - 200 = 300 \ \text{J}$ .

Από $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ : $\Delta T = \frac{2 \cdot 300}{3 \cdot 1 \cdot 8{,}314} \approx 24 \ \text{K}$ .

Από τα $500 \ \text{J}$ που μπήκαν, τα $300$ «έμειναν» στο αέριο (θερμάνθηκε) και τα $200$ «ξοδεύτηκαν» σπρώχνοντας το έμβολο. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο συμπιέζεται αδιαβατικά (χωρίς ανταλλαγή θερμότητας). Η εσωτερική του ενέργεια:

Άσκηση (δύο διαδρομές): Ποσότητα αερίου πηγαίνει από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β με δύο διαφορετικούς τρόπους. Με τον πρώτο απορροφά $800 \ \text{J}$ και παράγει έργο $300 \ \text{J}$ . Με τον δεύτερο παράγει έργο $100 \ \text{J}$ . Πόση θερμότητα απορροφά στον δεύτερο τρόπο;

Λύση: Πρώτος τρόπος: $\Delta U_{AB} = Q_1 - W_1 = 800 - 300 = 500 \ \text{J}$ .

Η $\Delta U$ εξαρτάται μόνο από τις καταστάσεις Α και Β, άρα είναι ίδια και στον δεύτερο τρόπο:

$Q_2 = \Delta U_{AB} + W_2 = 500 + 100 = 600 \ \text{J}$

Διαφορετική διαδρομή → διαφορετικά $Q$ και $W$ , αλλά ίδια $\Delta U$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια κυκλική μεταβολή ιδανικού αερίου, η συνολική μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: $n = 2 \ \text{mol}$ μονατομικού ιδανικού αερίου βρίσκονται σε κατάσταση Α με $T_A = 300 \ \text{K}$ . Με κάποια αντιστρεπτή μεταβολή φτάνουν στην κατάσταση Β με $T_B = 400 \ \text{K}$ , απορροφώντας θερμότητα $4000 \ \text{J}$ .

Δεδομένα: $n = 2 \ \text{mol}$ , $R = \frac{25}{3} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ , $T_A = 300 \ \text{K}$ , $T_B = 400 \ \text{K}$ , $Q = 4000 \ \text{J}$ .

Ζητούμενα: α) η εσωτερική ενέργεια στην Α, β) η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας, γ) το έργο — εκτονώθηκε ή συμπιέστηκε το αέριο; δ) αν η μεταβολή ήταν ισόχωρη, πόση θερμότητα θα χρειαζόταν;

Λύση:

α) $U_A = \frac{3}{2}nRT_A = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{25}{3} \cdot 300 = 7500 \ \text{J}$ .

β) $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = 25 \cdot 100 = 2500 \ \text{J}$ .

γ) $W = Q - \Delta U = 4000 - 2500 = 1500 \ \text{J} > 0$ : το αέριο εκτονώθηκε.

δ) Ισόχωρη: $W = 0$ , άρα $Q' = \Delta U = 2500 \ \text{J}$ — ίδια $\Delta U$ (ίδιες θερμοκρασίες), λιγότερη θερμότητα.

Απάντηση: α) $7500 \ \text{J}$ β) $2500 \ \text{J}$ γ) $1500 \ \text{J}$ , εκτόνωση δ) $2500 \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο δεν ανταλλάσσει ούτε θερμότητα ούτε έργο με το περιβάλλον. Τι ισχύει για τη θερμοκρασία του;

Ήξερες ότι;

Ο Julius Robert Mayer, γιατρός σε πλοίο που ταξίδευε στην Ιάβα το 1840, παρατήρησε ότι το φλεβικό αίμα των ναυτών στους τροπικούς ήταν πιο ανοιχτόχρωμο — ο οργανισμός χρειαζόταν να «καίει» λιγότερο οξυγόνο για να μένει ζεστός. Η παρατήρηση τον οδήγησε το 1842 σε μία από τις πρώτες διατυπώσεις της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

Πρόκληση

Θερμικά μονωμένο δοχείο χωρίζεται με διάφραγμα σε δύο ίσα μέρη των $2 \ \text{L}$ . Το ένα περιέχει ιδανικό αέριο σε πίεση $2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , το άλλο είναι κενό. Σπάμε το διάφραγμα. Πόση είναι η τελική πίεση; Πώς γίνεται το αέριο να εκτονώθηκε χωρίς να παράγει έργο;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Το αέριο εκτονώνεται στο κενό: δεν σπρώχνει κανένα έμβολο ούτε άλλο αέριο, άρα $W = 0$ . Το δοχείο είναι μονωμένο, άρα $Q = 0$ . Από τον 1ο νόμο $\Delta U = 0$ , οπότε η θερμοκρασία μένει ίδια.

Με ίδια $T$ και διπλάσιο όγκο: $p_{\tau\varepsilon\lambda} = p\frac{V}{2V} = 10^5 \ \text{Pa}$ .

Έργο παράγεται μόνο όταν το αέριο ασκεί δύναμη σε κάτι που μετακινείται. Εδώ δεν υπάρχει τίποτα να σπρώξει. Η μεταβολή είναι και μη αντιστρεπτή — το αέριο δεν θα ξαναμαζευτεί ποτέ μόνο του στο μισό δοχείο.

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσημο έργου: στη συμπίεση $W < 0$ (το αέριο δέχεται έργο). Διόρθωση: $W > 0$ μόνο όταν ο όγκος αυξάνεται.
Λίτρα στο $p\Delta V$ : $10^5 \ \text{Pa} \cdot 2 \ \text{L}$ δεν κάνει $2 \cdot 10^5 \ \text{J}$ αλλά $200 \ \text{J}$ . Διόρθωση: $V$ πάντα σε $\text{m}^3$ .
«Θερμότητα = αύξηση θερμοκρασίας»: η θερμότητα που απορροφά ένα αέριο μπορεί να γίνει και έργο· η θερμοκρασία ανεβαίνει μόνο αν $\Delta U > 0$ .
Ίδια $Q$ σε κάθε διαδρομή: ανάμεσα στις ίδιες καταστάσεις ίδια είναι μόνο η $\Delta U$ · τα $Q$ και $W$ αλλάζουν με τη διαδρομή.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου: εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία — για μονατομικό $U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV$
1ος θερμοδυναμικός νόμος: $Q = \Delta U + W$ — η διατήρηση της ενέργειας για το αέριο
Σύμβαση: $Q > 0$ απορρόφηση, $W > 0$ εκτόνωση, $\Delta U > 0$ θέρμανση
Η $\Delta U$ εξαρτάται μόνο από αρχική και τελική κατάσταση· $Q$ και $W$ από τη διαδρομή
Σε κύκλο $\Delta U = 0$ , άρα $Q_{o\lambda} = W_{o\lambda}$

🔥

Εσωτερική Ενέργεια & 1ος Θερμοδυναμικός Νόμος

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου, Q = ΔU + W, σύμβαση προσήμων

Γιατί με νοιάζει;

Εσωτερική ενέργεια και 1ος θερμοδυναμικός νόμος

Ο 1ος νόμος ως αρχή διατήρησης της ενέργειας

Μια βασική διαφορά ανάμεσα στα τρία μεγέθη:

Η $\Delta U$ εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση — για ιδανικό αέριο μόνο από τη $\Delta T$ . Η $U$ είναι καταστατικό μέγεθος.
Το $W$ και η $Q$ εξαρτώνται από τη διαδρομή: ανάμεσα στις ίδιες δύο καταστάσεις, διαφορετικές μεταβολές δίνουν διαφορετικό έργο (άλλο εμβαδόν στο $p\text{–}V$ ) και διαφορετική θερμότητα.

Για μονατομικό ιδανικό αέριο, λόγω της $pV = nRT$ , η εσωτερική ενέργεια γράφεται και $U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV$ .

$Q = \Delta U + W, \quad \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: εφαρμογή του 1ου νόμου

Όρισε το σύστημα (το αέριο) και γράψε τη σύμβαση: $Q > 0$ απορρόφηση, $W > 0$ εκτόνωση, $\Delta U > 0$ θέρμανση.
Υπολόγισε όποια δύο από τα $Q$ , $\Delta U$ , $W$ μπορείς: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ (μονατομικό), $W$ από το $p\text{–}V$ .
Βρες το τρίτο από τον νόμο $Q = \Delta U + W$ .
Ερμήνευσε τα πρόσημα: π.χ. $Q < 0$ σημαίνει ότι το αέριο αποβάλλει θερμότητα.

Λύση: $\Delta U = Q - W = 500 - 200 = 300 \ \text{J}$ .

Από $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ : $\Delta T = \frac{2 \cdot 300}{3 \cdot 1 \cdot 8{,}314} \approx 24 \ \text{K}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο συμπιέζεται αδιαβατικά (χωρίς ανταλλαγή θερμότητας). Η εσωτερική του ενέργεια:

Λύση: Πρώτος τρόπος: $\Delta U_{AB} = Q_1 - W_1 = 800 - 300 = 500 \ \text{J}$ .

Η $\Delta U$ εξαρτάται μόνο από τις καταστάσεις Α και Β, άρα είναι ίδια και στον δεύτερο τρόπο:

$Q_2 = \Delta U_{AB} + W_2 = 500 + 100 = 600 \ \text{J}$

Διαφορετική διαδρομή → διαφορετικά $Q$ και $W$ , αλλά ίδια $\Delta U$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια κυκλική μεταβολή ιδανικού αερίου, η συνολική μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι:

Δεδομένα: $n = 2 \ \text{mol}$ , $R = \frac{25}{3} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ , $T_A = 300 \ \text{K}$ , $T_B = 400 \ \text{K}$ , $Q = 4000 \ \text{J}$ .

Λύση:

α) $U_A = \frac{3}{2}nRT_A = \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot \frac{25}{3} \cdot 300 = 7500 \ \text{J}$ .

β) $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = 25 \cdot 100 = 2500 \ \text{J}$ .

γ) $W = Q - \Delta U = 4000 - 2500 = 1500 \ \text{J} > 0$ : το αέριο εκτονώθηκε.

δ) Ισόχωρη: $W = 0$ , άρα $Q' = \Delta U = 2500 \ \text{J}$ — ίδια $\Delta U$ (ίδιες θερμοκρασίες), λιγότερη θερμότητα.

Απάντηση: α) $7500 \ \text{J}$ β) $2500 \ \text{J}$ γ) $1500 \ \text{J}$ , εκτόνωση δ) $2500 \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο δεν ανταλλάσσει ούτε θερμότητα ούτε έργο με το περιβάλλον. Τι ισχύει για τη θερμοκρασία του;

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Με ίδια $T$ και διπλάσιο όγκο: $p_{\tau\varepsilon\lambda} = p\frac{V}{2V} = 10^5 \ \text{Pa}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσημο έργου: στη συμπίεση $W < 0$ (το αέριο δέχεται έργο). Διόρθωση: $W > 0$ μόνο όταν ο όγκος αυξάνεται.
Λίτρα στο $p\Delta V$ : $10^5 \ \text{Pa} \cdot 2 \ \text{L}$ δεν κάνει $2 \cdot 10^5 \ \text{J}$ αλλά $200 \ \text{J}$ . Διόρθωση: $V$ πάντα σε $\text{m}^3$ .
«Θερμότητα = αύξηση θερμοκρασίας»: η θερμότητα που απορροφά ένα αέριο μπορεί να γίνει και έργο· η θερμοκρασία ανεβαίνει μόνο αν $\Delta U > 0$ .
Ίδια $Q$ σε κάθε διαδρομή: ανάμεσα στις ίδιες καταστάσεις ίδια είναι μόνο η $\Delta U$ · τα $Q$ και $W$ αλλάζουν με τη διαδρομή.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου: εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία — για μονατομικό $U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV$
1ος θερμοδυναμικός νόμος: $Q = \Delta U + W$ — η διατήρηση της ενέργειας για το αέριο
Σύμβαση: $Q > 0$ απορρόφηση, $W > 0$ εκτόνωση, $\Delta U > 0$ θέρμανση
Η $\Delta U$ εξαρτάται μόνο από αρχική και τελική κατάσταση· $Q$ και $W$ από τη διαδρομή
Σε κύκλο $\Delta U = 0$ , άρα $Q_{o\lambda} = W_{o\lambda}$