🧪

Καταστατική Εξίσωση των Ιδανικών Αερίων

pV = nRT, n = m/M = N/N_A, συνδυαστικός νόμος

Γιατί με νοιάζει;

Πόσα μόρια αέρα βάζεις στα πνευμόνια σου με μια ήσυχη ανάσα μισού λίτρου; Η απάντηση είναι περίπου $10^{22}$ — δέκα χιλιάδες δισεκατομμύρια δισεκατομμύρια. Για να το υπολογίσεις χρειάζεσαι μία μόνο εξίσωση, που ενώνει πίεση, όγκο, θερμοκρασία και ποσότητα του αερίου: την καταστατική εξίσωση.

Η καταστατική εξίσωση

Οι τρεις νόμοι ενώνονται σε μία σχέση που συνδέει όλα τα καταστατικά μεγέθη με την ποσότητα του αερίου: $pV = nRT$ , όπου $n$ ο αριθμός των mol και $R = 8{,}314\ J/(mol \cdot K)$ η παγκόσμια σταθερά των αερίων.

Την ποσότητα τη βρίσκεις από $n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$ ( $m$ η μάζα, $M$ η γραμμομοριακή μάζα, $N$ ο αριθμός των μορίων).

Για σταθερή ποσότητα αερίου που μεταβαίνει από την κατάσταση (1) στην κατάσταση (2) προκύπτει ο «συνδυαστικός νόμος» $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$ — το εργαλείο που λύνει τις περισσότερες ασκήσεις του κεφαλαίου!

Από τους τρεις νόμους στην καταστατική εξίσωση

Ποσότητα αερίου πηγαίνει από την κατάσταση 1 ( $p_1, V_1, T_1$ ) στην κατάσταση 2 ( $p_2, V_2, T_2$ ) μέσω μιας ενδιάμεσης κατάστασης Γ:

Ισόθερμα ( $T_1$ σταθ.) από το 1 στη Γ, με όγκο $V_2$ : $p_1V_1 = p_\Gamma V_2$ .
Ισόχωρα ( $V_2$ σταθ.) από τη Γ στο 2: $\frac{p_\Gamma}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ .

Απαλείφοντας την $p_\Gamma$ :

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2} \quad \Rightarrow \quad \frac{pV}{T} = \sigma\tau\alpha\theta.$

Η σταθερά είναι ανάλογη της ποσότητας του αερίου: $\frac{pV}{T} = nR$ . Άρα $pV = nRT$ . Για $1 \ \text{mol}$ σε κανονικές συνθήκες ( $p = 1 \ \text{atm} \approx 1{,}013 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $T = 273 \ \text{K}$ ) κάθε ιδανικό αέριο καταλαμβάνει περίπου $22{,}4 \ \text{L}$ . Με $n = \frac{m}{M}$ προκύπτει και η πυκνότητα του αερίου: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT}$ .

$pV = nRT, \quad \frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}, \quad n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$

Κόλπο μνήμης

Μην αποστηθίζεις τρεις νόμους — κράτα μόνο την $pV = nRT$ και «σβήσε» ό,τι μένει σταθερό. Σταθερή $T$ → $pV$ σταθερό (Boyle). Σταθερός $V$ → $\frac{p}{T}$ σταθερό (Charles). Σταθερή $p$ → $\frac{V}{T}$ σταθερό (Gay-Lussac). Μία εξίσωση, τρεις νόμοι.

Παράδειγμα: Δοχείο όγκου $V = 8{,}314 \ \text{L}$ περιέχει οξυγόνο ( $M = 32 \ \text{g/mol}$ ) σε πίεση $p = 4 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ και θερμοκρασία $\theta = 127 \ ^{\circ}\text{C}$ . Να βρεθούν ο αριθμός των mol, η μάζα και ο αριθμός των μορίων του αερίου. Δίνονται $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ , $N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23} \ \text{mol}^{-1}$ .

Λύση: Μετατροπές σε S.I.: $V = 8{,}314 \cdot 10^{-3} \ \text{m}^3$ και $T = 127 + 273 = 400 \ \text{K}$ .

Από την καταστατική εξίσωση:

$n = \frac{pV}{RT} = \frac{4 \cdot 10^5 \cdot 8{,}314 \cdot 10^{-3}}{8{,}314 \cdot 400} = \frac{400}{400} = 1 \ \text{mol}$

Μάζα: $m = nM = 1 \cdot 32 = 32 \ \text{g}$ . Αριθμός μορίων: $N = nN_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}$ μόρια.

Πρόσεξε ότι τα λίτρα έγιναν $\text{m}^3$ πριν μπουν στον τύπο — με $V$ σε L το αποτέλεσμα θα έβγαινε χίλιες φορές μεγαλύτερο. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Για να χρησιμοποιήσεις την $pV = nRT$ με $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ , σε ποιες μονάδες πρέπει να είναι η πίεση και ο όγκος;

Μέθοδος: ασκήσεις με την καταστατική εξίσωση

Όλα σε S.I.: $p$ σε Pa, $V$ σε $\text{m}^3$ ( $1 \ \text{L} = 10^{-3} \ \text{m}^3$ ), $T$ σε K, $M$ σε kg/mol όταν ζητείται μάζα σε kg.
Σταθερή ποσότητα και αλλαγή κατάστασης: συνδυαστικός νόμος $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$ (εδώ αρκούν ίδιες μονάδες στα δύο μέλη).
Ζητείται ποσότητα: $n = \frac{pV}{RT}$ , μετά $m = nM$ και $N = nN_A$ .
Αλλάζει η ποσότητα (διαρροή, γέμισμα): γράψε $pV = nRT$ χωριστά για κάθε κατάσταση και σύγκρινε τα $n$ .

Άσκηση (φιάλη που αδειάζει): Φιάλη οξυγόνου όγκου $20 \ \text{L}$ περιέχει οξυγόνο ( $M = 32 \ \text{g/mol}$ ) σε πίεση $1{,}5 \times 10^6 \ \text{Pa}$ και θερμοκρασία $300 \ \text{K}$ . Μετά από χρήση η πίεση πέφτει στα $5 \times 10^5 \ \text{Pa}$ στην ίδια θερμοκρασία. Πόση μάζα οξυγόνου καταναλώθηκε; ( $R = \frac{25}{3} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ )

Λύση: $RT = \frac{25}{3} \cdot 300 = 2500 \ \text{J/mol}$ και $V = 2 \times 10^{-2} \ \text{m}^3$ .

$n_1 = \frac{p_1V}{RT} = \frac{3 \times 10^4}{2500} = 12 \ \text{mol}, \qquad n_2 = \frac{10^4}{2500} = 4 \ \text{mol}$

Καταναλώθηκαν $8 \ \text{mol}$ , δηλαδή $8 \cdot 32 = 256 \ \text{g}$ . Εδώ ο νόμος του Boyle δεν εφαρμόζεται — η ποσότητα άλλαξε. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε σταθερή πίεση διπλασιάζεται η απόλυτη θερμοκρασία ενός ιδανικού αερίου. Η πυκνότητά του:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση Α. Θερμαίνεται ισοβαρώς μέχρι την κατάσταση Β και στη συνέχεια ψύχεται ισόχωρα μέχρι την κατάσταση Γ.

Δεδομένα: $p_A = 10^5 \ \text{Pa}$ , $V_A = 2 \cdot 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $T_A = 300 \ \text{K}$ , $V_B = 6 \cdot 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $T_\Gamma = 300 \ \text{K}$ , $R = \frac{25}{3} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ .

Ζητούμενο: (α) η $T_B$ , (β) η $p_\Gamma$ , (γ) ο αριθμός mol $n$ , (δ) να δειχθεί ότι οι καταστάσεις Α και Γ βρίσκονται στην ίδια ισόθερμη.

Λύση:

(α) Ισοβαρής ΑΒ (Gay-Lussac): $\frac{V_A}{T_A} = \frac{V_B}{T_B} \Rightarrow T_B = T_A \frac{V_B}{V_A} = 300 \cdot \frac{6}{2} = 900 \ \text{K}$ .

(β) Ισόχωρη ΒΓ (Charles), με $p_B = p_A = 10^5 \ \text{Pa}$ : $\frac{p_B}{T_B} = \frac{p_\Gamma}{T_\Gamma} \Rightarrow p_\Gamma = 10^5 \cdot \frac{300}{900} = \frac{1}{3} \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ .

(γ) Καταστατική εξίσωση στην Α: $n = \frac{p_AV_A}{RT_A} = \frac{10^5 \cdot 2 \cdot 10^{-3}}{\frac{25}{3} \cdot 300} = \frac{200}{2500} = 0{,}08 \ \text{mol}$ .

(δ) $p_AV_A = 10^5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 200 \ \text{J}$ και $p_\Gamma V_\Gamma = \frac{1}{3} \cdot 10^5 \cdot 6 \cdot 10^{-3} = 200 \ \text{J}$ . Ίσα γινόμενα $pV$ για την ίδια ποσότητα αερίου σημαίνουν ίδια θερμοκρασία — ίδια ισόθερμη.

Απάντηση: $T_B = 900 \ \text{K}$ , $p_\Gamma = \frac{1}{3} \cdot 10^5 \ \text{Pa} \approx 3{,}3 \cdot 10^4 \ \text{Pa}$ , $n = 0{,}08 \ \text{mol}$ . Στο $p\text{–}V$ η ΑΒ είναι οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα και η ΒΓ κατακόρυφο προς τα κάτω.

Γρήγορος έλεγχος

Ένα mol οποιουδήποτε ιδανικού αερίου σε κανονικές συνθήκες ( $1 \ \text{atm}$ , $273 \ \text{K}$ ) καταλαμβάνει όγκο περίπου:

Γρήγορος έλεγχος

Ποσότητα ιδανικού αερίου υποβάλλεται σε μεταβολή όπου διπλασιάζονται και η πίεση και η απόλυτη θερμοκρασία. Ο όγκος:

Ήξερες ότι;

Από το 2019, με την αναθεώρηση του Διεθνούς Συστήματος Μονάδων, ο αριθμός Avogadro ορίζεται ακριβώς ως $N_A = 6{,}022\,140\,76 \times 10^{23} \ \text{mol}^{-1}$ . Το mol δεν ορίζεται πια μέσω της μάζας του άνθρακα-12, αλλά ως ακριβώς αυτός ο αριθμός οντοτήτων.

Πρόκληση

α) Σακουλάκι με πατατάκια σφραγίζεται στο εργοστάσιο με αέρα όγκου $1{,}2 \ \text{L}$ , σε πίεση $1{,}0 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ και θερμοκρασία $27 \ ^{\circ}\text{C}$ . Στην καμπίνα του αεροπλάνου η πίεση είναι $0{,}8 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ και η θερμοκρασία $17 \ ^{\circ}\text{C}$ . Πόσος γίνεται ο όγκος του αέρα, αν το σακουλάκι αντέξει;

β) Δύτης σε βάθος $20 \ \text{m}$ αφήνει φυσαλίδα αέρα όγκου $2 \ \text{cm}^3$ . Πόσος θα είναι ο όγκος της στην επιφάνεια, αν η θερμοκρασία μένει σταθερή; (Ατμοσφαιρική πίεση $10^5 \ \text{Pa}$ , $\rho_{\nu\varepsilon\rho} = 1000 \ \text{kg/m}^3$ , $g = 10 \ \text{m/s}^2$ .)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Σε Kelvin: $T_1 = 300 \ \text{K}$ , $T_2 = 290 \ \text{K}$ . Συνδυαστικός νόμος για σταθερή ποσότητα:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} = 1{,}2 \cdot \frac{1{,}0}{0{,}8} \cdot \frac{290}{300} = 1{,}5 \cdot \frac{290}{300} = 1{,}45 \ \text{L}$

Η πτώση πίεσης τον μεγαλώνει, η ψύξη τον μικραίνει λίγο — κερδίζει η πίεση.

β) Πίεση στο βάθος: $p_1 = p_{\alpha\tau\mu} + \rho gh = 10^5 + 1000 \cdot 10 \cdot 20 = 3 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ . Ισόθερμη (Boyle):

$V_2 = V_1 \frac{p_1}{p_2} = 2 \cdot \frac{3 \cdot 10^5}{10^5} = 6 \ \text{cm}^3$

Ο όγκος τριπλασιάζεται! Γι' αυτό οι δύτες μαθαίνουν να μην κρατούν ποτέ την αναπνοή τους όταν ανεβαίνουν: ο αέρας στους πνεύμονες διαστέλλεται με τον ίδιο τρόπο.

Συνηθισμένα λάθη

Λίτρα στην $pV = nRT$ : με $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ ο όγκος μπαίνει σε $\text{m}^3$ . Διόρθωση: $1 \ \text{L} = 10^{-3} \ \text{m}^3$ .
Γραμμάρια με kg: αν $M = 32 \ \text{g/mol}$ , τότε $m = nM$ βγαίνει σε g — πρόσεξε τις μονάδες στο αποτέλεσμα.
Συνδυαστικός νόμος όταν αλλάζει η ποσότητα: ισχύει μόνο για σταθερό $n$ · αλλιώς γράψε $pV = nRT$ για κάθε κατάσταση.
Θερμοκρασία σε $^{\circ}\text{C}$ : στην $pV = nRT$ η $T$ είναι πάντα σε K.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Καταστατική εξίσωση: $pV = nRT$ σε S.I., με $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$
Ποσότητα: $n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$
Συνδυαστικός νόμος για σταθερή ποσότητα: $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$
Πυκνότητα αερίου: $\rho = \frac{pM}{RT}$
$1 \ \text{mol}$ ιδανικού αερίου σε κανονικές συνθήκες: $\approx 22{,}4 \ \text{L}$

🧪

Καταστατική Εξίσωση των Ιδανικών Αερίων

pV = nRT, n = m/M = N/N_A, συνδυαστικός νόμος

Γιατί με νοιάζει;

Η καταστατική εξίσωση

Την ποσότητα τη βρίσκεις από $n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$ ( $m$ η μάζα, $M$ η γραμμομοριακή μάζα, $N$ ο αριθμός των μορίων).

Από τους τρεις νόμους στην καταστατική εξίσωση

Ισόθερμα ( $T_1$ σταθ.) από το 1 στη Γ, με όγκο $V_2$ : $p_1V_1 = p_\Gamma V_2$ .
Ισόχωρα ( $V_2$ σταθ.) από τη Γ στο 2: $\frac{p_\Gamma}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ .

Απαλείφοντας την $p_\Gamma$ :

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2} \quad \Rightarrow \quad \frac{pV}{T} = \sigma\tau\alpha\theta.$

$pV = nRT, \quad \frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}, \quad n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$

Κόλπο μνήμης

Λύση: Μετατροπές σε S.I.: $V = 8{,}314 \cdot 10^{-3} \ \text{m}^3$ και $T = 127 + 273 = 400 \ \text{K}$ .

Από την καταστατική εξίσωση:

$n = \frac{pV}{RT} = \frac{4 \cdot 10^5 \cdot 8{,}314 \cdot 10^{-3}}{8{,}314 \cdot 400} = \frac{400}{400} = 1 \ \text{mol}$

Μάζα: $m = nM = 1 \cdot 32 = 32 \ \text{g}$ . Αριθμός μορίων: $N = nN_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}$ μόρια.

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: ασκήσεις με την καταστατική εξίσωση

Όλα σε S.I.: $p$ σε Pa, $V$ σε $\text{m}^3$ ( $1 \ \text{L} = 10^{-3} \ \text{m}^3$ ), $T$ σε K, $M$ σε kg/mol όταν ζητείται μάζα σε kg.
Σταθερή ποσότητα και αλλαγή κατάστασης: συνδυαστικός νόμος $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$ (εδώ αρκούν ίδιες μονάδες στα δύο μέλη).
Ζητείται ποσότητα: $n = \frac{pV}{RT}$ , μετά $m = nM$ και $N = nN_A$ .
Αλλάζει η ποσότητα (διαρροή, γέμισμα): γράψε $pV = nRT$ χωριστά για κάθε κατάσταση και σύγκρινε τα $n$ .

Λύση: $RT = \frac{25}{3} \cdot 300 = 2500 \ \text{J/mol}$ και $V = 2 \times 10^{-2} \ \text{m}^3$ .

$n_1 = \frac{p_1V}{RT} = \frac{3 \times 10^4}{2500} = 12 \ \text{mol}, \qquad n_2 = \frac{10^4}{2500} = 4 \ \text{mol}$

Γρήγορος έλεγχος

Σε σταθερή πίεση διπλασιάζεται η απόλυτη θερμοκρασία ενός ιδανικού αερίου. Η πυκνότητά του:

Λύση:

(α) Ισοβαρής ΑΒ (Gay-Lussac): $\frac{V_A}{T_A} = \frac{V_B}{T_B} \Rightarrow T_B = T_A \frac{V_B}{V_A} = 300 \cdot \frac{6}{2} = 900 \ \text{K}$ .

(γ) Καταστατική εξίσωση στην Α: $n = \frac{p_AV_A}{RT_A} = \frac{10^5 \cdot 2 \cdot 10^{-3}}{\frac{25}{3} \cdot 300} = \frac{200}{2500} = 0{,}08 \ \text{mol}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα mol οποιουδήποτε ιδανικού αερίου σε κανονικές συνθήκες ( $1 \ \text{atm}$ , $273 \ \text{K}$ ) καταλαμβάνει όγκο περίπου:

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Σε Kelvin: $T_1 = 300 \ \text{K}$ , $T_2 = 290 \ \text{K}$ . Συνδυαστικός νόμος για σταθερή ποσότητα:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} = 1{,}2 \cdot \frac{1{,}0}{0{,}8} \cdot \frac{290}{300} = 1{,}5 \cdot \frac{290}{300} = 1{,}45 \ \text{L}$

Η πτώση πίεσης τον μεγαλώνει, η ψύξη τον μικραίνει λίγο — κερδίζει η πίεση.

β) Πίεση στο βάθος: $p_1 = p_{\alpha\tau\mu} + \rho gh = 10^5 + 1000 \cdot 10 \cdot 20 = 3 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ . Ισόθερμη (Boyle):

$V_2 = V_1 \frac{p_1}{p_2} = 2 \cdot \frac{3 \cdot 10^5}{10^5} = 6 \ \text{cm}^3$

Συνηθισμένα λάθη

Λίτρα στην $pV = nRT$ : με $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ ο όγκος μπαίνει σε $\text{m}^3$ . Διόρθωση: $1 \ \text{L} = 10^{-3} \ \text{m}^3$ .
Γραμμάρια με kg: αν $M = 32 \ \text{g/mol}$ , τότε $m = nM$ βγαίνει σε g — πρόσεξε τις μονάδες στο αποτέλεσμα.
Συνδυαστικός νόμος όταν αλλάζει η ποσότητα: ισχύει μόνο για σταθερό $n$ · αλλιώς γράψε $pV = nRT$ για κάθε κατάσταση.
Θερμοκρασία σε $^{\circ}\text{C}$ : στην $pV = nRT$ η $T$ είναι πάντα σε K.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Καταστατική εξίσωση: $pV = nRT$ σε S.I., με $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$
Ποσότητα: $n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}$
Συνδυαστικός νόμος για σταθερή ποσότητα: $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$
Πυκνότητα αερίου: $\rho = \frac{pM}{RT}$
$1 \ \text{mol}$ ιδανικού αερίου σε κανονικές συνθήκες: $\approx 22{,}4 \ \text{L}$