💥

Το Φαινόμενο της Κρούσης & τα Είδη της

Κεντρική, έκκεντρη & πλάγια κρούση — ελαστική, ανελαστική, πλαστική

Γιατί στο μπιλιάρδο η λευκή «σταματά νεκρή»;

Στο μπιλιάρδο, όταν η λευκή χτυπά μετωπικά μια ακίνητη μπάλα ίδιας μάζας, συχνά σταματά επί τόπου και η άλλη φεύγει με την ταχύτητά της. Όταν τη χτυπά λοξά, οι δύο μπάλες φεύγουν σχεδόν κάθετα η μία στην άλλη. Και τα δύο είναι «υπογραφές» μιας σχεδόν ελαστικής κρούσης. Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθεις να αναγνωρίζεις κάθε είδος κρούσης από τη γεωμετρία και από τους αριθμούς.

Ταξινόμηση με βάση τη γεωμετρία

Στην κρούση δύο σωμάτων αναπτύσσονται τεράστιες εσωτερικές δυνάμεις για ελάχιστο χρόνο, οπότε η ορμή του συστήματος διατηρείται. Πριν όμως γράψεις εξισώσεις, κοίτα τη γεωμετρία της σύγκρουσης — οι κρούσεις ταξινομούνται ανάλογα με τις διευθύνσεις των ταχυτήτων:

Κεντρική (μετωπική): οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, αυτή που ενώνει τα κέντρα μάζας τους. Όλο το φαινόμενο εξελίσσεται σε μία διάσταση — αρκεί ένας άξονας και πρόσημα.
Έκκεντρη: οι ταχύτητες είναι παράλληλες μεταξύ τους, αλλά όχι στην ίδια ευθεία — όπως δύο αυτοκίνητα που τρακάρουν «ξυστά» κινούμενα σε γειτονικές λωρίδες.
Πλάγια: οι ταχύτητες έχουν τυχαίες διευθύνσεις — όπως οι μπάλες του μπιλιάρδου. Εδώ η διατήρηση της ορμής γράφεται διανυσματικά ή κατά άξονες.

Ταξινόμηση με βάση την κινητική ενέργεια

Η ορμή διατηρείται σε κάθε κρούση. Η κινητική ενέργεια όμως όχι πάντα — και αυτό δίνει τη δεύτερη ταξινόμηση:

Ελαστική: η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται — όση $K$ υπάρχει πριν, τόση και μετά. Ιδανική περίπτωση, την προσεγγίζουν οι σκληρές μπάλες του μπιλιάρδου και οι κρούσεις μορίων.
Ανελαστική: μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα και ενέργεια παραμόρφωσης — η $K$ του συστήματος μειώνεται. Οι πραγματικές κρούσεις είναι ανελαστικές.
Πλαστική: η ακραία ανελαστική περίπτωση — τα σώματα συσσωματώνονται και κινούνται μετά ως ένα σώμα, με τη μέγιστη δυνατή απώλεια κινητικής ενέργειας.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σφαίρες κινούνται σε παράλληλες αλλά διαφορετικές ευθείες και συγκρούονται. Ως προς τη γεωμετρία της, η κρούση είναι:

Σύγκρουσε τα δύο σώματα με διαφορετικές μάζες και ταχύτητες και παρακολούθησε τα διανύσματα ορμής πριν και μετά: το άθροισμά τους μένει καρφωμένο στην ίδια τιμή σε κάθε σενάριο — η ορμή διατηρείται είτε τα σώματα αναπηδήσουν είτε γίνουν συσσωμάτωμα.

$\vec{p}_{\pi\rho\iota\nu} = \vec{p}_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} \quad (\kappa\acute{\alpha}\theta\varepsilon \ \kappa\rho o\acute{v}\sigma\eta)$

$\text{Ελαστική: } K_{\pi\rho\iota\nu} = K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}, \qquad \text{Πλαστική: } m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 = (m_1 + m_2)V$

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο μέγεθος διατηρείται σε ΟΛΑ τα είδη κρούσεων;

Ήξερες ότι;

Οι κρούσεις ήταν από τα πρώτα προβλήματα που έλυσε σωστά η σύγχρονη φυσική. Το 1668 η Βασιλική Εταιρεία του Λονδίνου ζήτησε από τους επιστήμονες να βρουν τους νόμους τους, και οι John Wallis, Christopher Wren και Christiaan Huygens έστειλαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο τις λύσεις τους. Στον πυρήνα τους βρισκόταν αυτό που σήμερα λέμε διατήρηση της ορμής.

Μέθοδος: λύνω και χαρακτηρίζω μια κρούση

Γεωμετρία: αν οι ταχύτητες είναι στην ίδια ευθεία (κεντρική), αρκεί ένας άξονας με θετική φορά· αλλιώς γράφεις τη διατήρηση της ορμής χωριστά στους άξονες $x$ και $y$ .
Ορμή: $p_{\pi\rho\iota\nu} = p_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ με όλες τις ταχύτητες με πρόσημο — από εδώ βρίσκεις τον άγνωστο.
Ενέργεια: υπολόγισε $K_{\pi\rho\iota\nu}$ και $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ του συστήματος. Ίσες → ελαστική· $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} < K_{\pi\rho\iota\nu}$ → ανελαστική (πλαστική αν τα σώματα ενώθηκαν).
Θερμότητα – παραμόρφωση: $Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ .
Έλεγχος λογικής: αν βρεις $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} > K_{\pi\rho\iota\nu}$ σε απλή κρούση, κάπου υπάρχει λάθος — ενέργεια δεν «γεννιέται» από το πουθενά.

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα μάζας $m_1 = 2 \ \text{kg}$ με ταχύτητα $\upsilon_1 = 6 \ \text{m/s}$ συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας $m_2 = 4 \ \text{kg}$ . Η ταχύτητα του συσσωματώματος είναι:

Άσκηση: Στην παραπάνω πλαστική κρούση ( $m_1 = 2 \ \text{kg}$ , $\upsilon_1 = 6 \ \text{m/s}$ , $m_2 = 4 \ \text{kg}$ ακίνητο, $V = 2 \ \text{m/s}$ ) να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμότητα.

Λύση: Κινητική ενέργεια πριν:

$K_{\pi\rho\iota\nu} = \frac{1}{2}m_1\upsilon_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 36 = 36 \ \text{J}$

Μετά:

$K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \ \text{J}$

Απώλεια: $\Delta K = 36 - 12 = 24 \ \text{J}$ , δηλαδή ποσοστό

$\frac{\Delta K}{K_{\pi\rho\iota\nu}} = \frac{24}{36} \approx 67\%$

Η ορμή όμως διατηρήθηκε στο ακέραιο: $12 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ πριν και μετά ✔ — χάθηκε κινητική ενέργεια, όχι ορμή.

Παράδειγμα (έλεγχος ελαστικότητας): Σφαίρα μάζας $m_1 = 2 \ \text{kg}$ κινείται με $\upsilon_1 = 3 \ \text{m/s}$ και συγκρούεται κεντρικά με ακίνητη σφαίρα μάζας $m_2 = 1 \ \text{kg}$ . Μετά την κρούση η πρώτη σφαίρα συνεχίζει στην ίδια κατεύθυνση με $\upsilon_1' = 1 \ \text{m/s}$ . Να βρεθεί η ταχύτητα της δεύτερης και να εξεταστεί αν η κρούση είναι ελαστική.

Λύση: Θετική φορά η αρχική φορά κίνησης. Διατήρηση ορμής:

$m_1\upsilon_1 = m_1\upsilon_1' + m_2\upsilon_2' \Rightarrow 2 \cdot 3 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot \upsilon_2' \Rightarrow \upsilon_2' = 4 \ \text{m/s}$

Κινητική ενέργεια πριν: $K_{\pi\rho\iota\nu} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3^2 = 9 \ \text{J}$ .

Κινητική ενέργεια μετά: $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4^2 = 1 + 8 = 9 \ \text{J}$ .

Αφού $K_{\pi\rho\iota\nu} = K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ , η κρούση είναι κεντρική ελαστική. Πρόσεξε: η ελαφρύτερη σφαίρα φεύγει ταχύτερα απ' όσο κινούνταν αρχικά η βαριά — επιτρέπεται, αρκεί να διατηρούνται και η ορμή και η κινητική ενέργεια. ✔

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δύο σώματα κινούνται στην ίδια ευθεία με αντίθετες φορές και συγκρούονται κεντρικά. Μετά την κρούση το πρώτο σώμα κινείται αντίθετα από την αρχική του φορά.

Δεδομένα: $m_1 = 2 \ \text{kg}$ με $\upsilon_1 = 5 \ \text{m/s}$ προς τα δεξιά, $m_2 = 3 \ \text{kg}$ με $\upsilon_2 = 2 \ \text{m/s}$ προς τα αριστερά, $\upsilon_1' = 1 \ \text{m/s}$ προς τα αριστερά, διάρκεια κρούσης $\Delta t = 0{,}01 \ \text{s}$ .

Ζητούμενο: (α) η ταχύτητα του δεύτερου σώματος μετά την κρούση, (β) το είδος της κρούσης και η θερμότητα που εκλύθηκε, (γ) η μέση δύναμη που δέχτηκε κάθε σώμα.

Λύση: Θετική φορά προς τα δεξιά: $\upsilon_1 = +5 \ \text{m/s}$ , $\upsilon_2 = -2 \ \text{m/s}$ , $\upsilon_1' = -1 \ \text{m/s}$ .

(α) Διατήρηση ορμής, $m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 = m_1\upsilon_1' + m_2\upsilon_2'$ :

$2 \cdot 5 + 3 \cdot (-2) = 2 \cdot (-1) + 3\upsilon_2' \Rightarrow 4 = -2 + 3\upsilon_2' \Rightarrow \upsilon_2' = +2 \ \text{m/s}$

δηλαδή προς τα δεξιά.

(β) $K_{\pi\rho\iota\nu} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 25 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 25 + 6 = 31 \ \text{J}$ και $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 6 = 7 \ \text{J}$ . Η κινητική ενέργεια μειώθηκε και τα σώματα δεν ενώθηκαν: κρούση κεντρική ανελαστική, με $Q = 31 - 7 = 24 \ \text{J}$ .

(γ) Σώμα 1: $\Delta p_1 = m_1(\upsilon_1' - \upsilon_1) = 2(-1 - 5) = -12 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ , άρα $F_1 = \frac{\Delta p_1}{\Delta t} = -1200 \ \text{N}$ . Σώμα 2: $\Delta p_2 = 3(2 - (-2)) = +12 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ , άρα $F_2 = +1200 \ \text{N}$ .

Απάντηση: $\upsilon_2' = 2 \ \text{m/s}$ προς τα δεξιά, ανελαστική κρούση με $Q = 24 \ \text{J}$ , μέσες δυνάμεις μέτρου $1200 \ \text{N}$ με αντίθετες φορές — δράση και αντίδραση, όπως εξασφαλίζει η διατήρηση της ορμής ( $\Delta p_1 = -\Delta p_2$ ).

Γρήγορος έλεγχος

Σε μια απλή κρούση (χωρίς έκρηξη ή άλλη πηγή ενέργειας) οι πράξεις σου δίνουν $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} > K_{\pi\rho\iota\nu}$ . Τι συμπεραίνεις;

Παράδειγμα (πλάγια πλαστική κρούση): Σώμα Α μάζας $m_1 = 2 \ \text{kg}$ κινείται κατά τον άξονα $x$ με $\upsilon_1 = 4 \ \text{m/s}$ και σώμα Β μάζας $m_2 = 3 \ \text{kg}$ κινείται κατά τον άξονα $y$ με $\upsilon_2 = 2 \ \text{m/s}$ . Συγκρούονται πλαστικά στην αρχή των αξόνων. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος.

Λύση: Οι ταχύτητες είναι κάθετες — η κρούση είναι πλάγια, οπότε γράφουμε την ορμή ανά άξονα:

Άξονας $x$ : $p_x = m_1\upsilon_1 = 2 \cdot 4 = 8 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$
Άξονας $y$ : $p_y = m_2\upsilon_2 = 3 \cdot 2 = 6 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$

Ολική ορμή (Πυθαγόρειο): $p = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ , την οποία «κληρονομεί» το συσσωμάτωμα:

$V = \frac{p}{m_1 + m_2} = \frac{10}{5} = 2 \ \text{m/s}, \qquad \varepsilon\phi\phi = \frac{p_y}{p_x} = \frac{6}{8} = 0{,}75$

όπου $\phi$ η γωνία της $\vec{V}$ με τον άξονα $x$ .

Ενέργεια: $K_{\pi\rho\iota\nu} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 16 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 22 \ \text{J}$ και $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10 \ \text{J}$ , άρα $12 \ \text{J}$ έγιναν θερμότητα και ενέργεια παραμόρφωσης. Το κλασικό λάθος εδώ θα ήταν να προσθέσεις αλγεβρικά τις ορμές ( $8 + 6 = 14$ ) σαν να ήταν στην ίδια ευθεία. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σώματα με ορμές ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Το συσσωμάτωμα:

Πρόκληση

Δύο ίδιες μπάλες έχουν μάζα $0{,}2 \ \text{kg}$ η καθεμία. Η Α κινείται με $3 \ \text{m/s}$ και συγκρούεται κεντρικά με την ακίνητη Β.

α) Μετά την κρούση η Α συνεχίζει με $1 \ \text{m/s}$ στην ίδια κατεύθυνση. Πόση είναι η ταχύτητα της Β, τι είδους κρούση έγινε και πόση θερμότητα εκλύθηκε;

β) Ένας συμμαθητής σου λέει ότι θα μπορούσε να βγει: Α με $2 \ \text{m/s}$ και Β με $1 \ \text{m/s}$ , στην ίδια κατεύθυνση. Η ορμή διατηρείται και η κινητική ενέργεια δεν αυξάνεται. Γιατί είναι αδύνατο;

γ) Τι θα γινόταν αν η κρούση ήταν ελαστική;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) ΑΔΟ: $0{,}2 \cdot 3 = 0{,}2 \cdot 1 + 0{,}2 \cdot \upsilon_B \Rightarrow \upsilon_B = 2 \ \text{m/s}$ .

$K_{\pi\rho\iota\nu} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 3^2 = 0{,}9 \ \text{J}$ και $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 1^2 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 2^2 = 0{,}1 + 0{,}4 = 0{,}5 \ \text{J}$ .

Η κινητική ενέργεια μειώθηκε, αλλά οι μπάλες κινούνται χωριστά: ανελαστική (όχι πλαστική) κρούση, με $Q = 0{,}9 - 0{,}5 = 0{,}4 \ \text{J}$ .

β) Ορμή: $0{,}2 \cdot (2 + 1) = 0{,}6 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ ✔. Ενέργεια: $0{,}1 \cdot (4 + 1) = 0{,}5 \ \text{J} \leq 0{,}9 \ \text{J}$ ✔. Όμως η Α είναι πίσω από τη Β και θα έτρεχε πιο γρήγορα από αυτήν: θα έπρεπε να περάσει μέσα από τη Β! Μετά την κρούση, το σώμα που είναι πίσω δεν μπορεί να κινείται ταχύτερα από το μπροστινό.

γ) Ίσες μάζες, ελαστική κεντρική κρούση: οι μπάλες ανταλλάσσουν ταχύτητες, Α με $0$ και Β με $3 \ \text{m/s}$ . Έλεγχος: ορμή $0{,}6 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ ✔, κινητική ενέργεια $0{,}9 \ \text{J}$ ✔. Αυτή είναι η «νεκρή» λευκή του μπιλιάρδου.

Συνηθισμένα λάθη

Ταχύτητες χωρίς πρόσημο: σώμα που κινείται αντίθετα από τη θετική φορά έχει αρνητική ταχύτητα και ορμή. Διόρθωση: όρισε θετική φορά πριν γράψεις οτιδήποτε.
Αλγεβρική πρόσθεση σε πλάγια κρούση: κάθετες ορμές δεν προστίθενται σαν αριθμοί. Διόρθωση: διατήρηση ορμής ανά άξονα και σύνθεση με Πυθαγόρειο.
Απώλεια ενέργειας ως $\frac{1}{2}m(\Delta\upsilon)^2$ : η απώλεια είναι η διαφορά $K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ του συστήματος.
Ξεχασμένο σώμα στην ενέργεια: στο $K_{\pi\rho\iota\nu}$ μετράνε όλα τα κινούμενα σώματα — και αυτό που ερχόταν από την αντίθετη μεριά.

Μην μπερδεύεις τις δύο ταξινομήσεις: κεντρική/έκκεντρη/πλάγια περιγράφουν τη γεωμετρία των ταχυτήτων, ελαστική/ανελαστική/πλαστική τον ενεργειακό χαρακτήρα — μια κρούση χαρακτηρίζεται και από τα δύο (π.χ. «κεντρική ελαστική»). Και προσοχή στην παγίδα: «πλαστική» ΔΕΝ σημαίνει ότι χάνεται όλη η κινητική ενέργεια — το συσσωμάτωμα συνεχίζει να κινείται, γιατί η ορμή πρέπει να διατηρηθεί.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Γεωμετρία: κεντρική (ταχύτητες στην ευθεία των κέντρων), έκκεντρη (παράλληλες, όχι στην ίδια ευθεία), πλάγια (τυχαίες διευθύνσεις).
Ενέργεια: ελαστική ( $K$ διατηρείται), ανελαστική ( $K$ μειώνεται), πλαστική (συσσωμάτωμα, μέγιστη απώλεια).
Η ορμή του συστήματος διατηρείται σε κάθε κρούση — σε πλάγια κρούση ανά άξονα.
Θερμότητα – παραμόρφωση: $Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ , και ποτέ $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} > K_{\pi\rho\iota\nu}$ σε απλή κρούση.
Πλαστική κρούση: $m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 = (m_1 + m_2)V$ .

Ταξινόμηση με βάση τη γεωμετρία

Κεντρική (μετωπική): οι ταχύτητες των σωμάτων πριν την κρούση βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, αυτή που ενώνει τα κέντρα μάζας τους. Όλο το φαινόμενο εξελίσσεται σε μία διάσταση — αρκεί ένας άξονας και πρόσημα.

Έκκεντρη: οι ταχύτητες είναι παράλληλες μεταξύ τους, αλλά όχι στην ίδια ευθεία — όπως δύο αυτοκίνητα που τρακάρουν «ξυστά» κινούμενα σε γειτονικές λωρίδες.

Πλάγια: οι ταχύτητες έχουν τυχαίες διευθύνσεις — όπως οι μπάλες του μπιλιάρδου. Εδώ η διατήρηση της ορμής γράφεται διανυσματικά ή κατά άξονες.

Ταξινόμηση με βάση την κινητική ενέργεια

Ελαστική: η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται — όση

K

υπάρχει πριν, τόση και μετά. Ιδανική περίπτωση, την προσεγγίζουν οι σκληρές μπάλες του μπιλιάρδου και οι κρούσεις μορίων.

Ανελαστική: μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα και ενέργεια παραμόρφωσης — η

K

του συστήματος μειώνεται. Οι πραγματικές κρούσεις είναι ανελαστικές.

Πλαστική: η ακραία ανελαστική περίπτωση — τα σώματα συσσωματώνονται και κινούνται μετά ως ένα σώμα, με τη μέγιστη δυνατή απώλεια κινητικής ενέργειας.