♨️

Θερμότητα

Θερμιδομετρικός ορισμός Q = mcΔθ, ειδική θερμότητα, θερμίδα, ανάμειξη

Γιατί η άμμος καίει και η θάλασσα δροσίζει;

Καλοκαίρι, μεσημέρι: η άμμος σού καίει τις πατούσες, ενώ η θάλασσα, που δέχτηκε τον ίδιο ήλιο, είναι δροσερή. Ένας βασικός λόγος: το νερό χρειάζεται πολύ περισσότερη θερμότητα για να ανέβει η θερμοκρασία του κατά έναν βαθμό — έχει μεγάλη ειδική θερμότητα. Εδώ θα ορίσεις με ακρίβεια τι είναι σύστημα, ισορροπία και θερμότητα, και θα λύνεις προβλήματα ανάμειξης.

Θερμότητα: ο θερμιδομετρικός ορισμός

Θερμότητα είναι η ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σε άλλο αποκλειστικά λόγω διαφοράς θερμοκρασίας — δεν είναι κάτι που «περιέχει» ένα σώμα, είναι ενέργεια σε διαδρομή.

Από τη θερμιδομετρία ξέρουμε πόση θερμότητα χρειάζεται για να αλλάξει η θερμοκρασία ενός σώματος:

$Q = mc\Delta\theta$

όπου $m$ η μάζα, $\Delta\theta$ η μεταβολή της θερμοκρασίας και $c$ η ειδική θερμότητα του υλικού — η θερμότητα που χρειάζεται $1 \ \text{kg}$ για να ανέβει κατά $1 \ \text{K}$ . Για το νερό: $c = 4186 \ \text{J/(kg} \cdot \text{K)}$ , από τις μεγαλύτερες στη φύση.

Ιστορική μονάδα θερμότητας είναι η θερμίδα (cal): η θερμότητα που ανεβάζει τη θερμοκρασία $1 \ \text{g}$ νερού κατά $1 \ ^{\circ}\text{C}$ . Ο Joule έδειξε ότι θερμότητα και μηχανικό έργο είναι το ίδιο «νόμισμα» ενέργειας, με ισοτιμία:

$1 \ \text{cal} = 4{,}186 \ \text{J}$

Σύμβαση προσήμων: $Q > 0$ όταν το σύστημα απορροφά θερμότητα, $Q < 0$ όταν αποβάλλει.

Θερμότητα, εσωτερική ενέργεια και θερμοχωρητικότητα

Προσοχή στη διάκριση: ένα σώμα έχει εσωτερική ενέργεια, αλλά δεν έχει θερμότητα. Θερμότητα υπάρχει μόνο όσο ενέργεια μεταφέρεται από ένα θερμότερο σε ένα ψυχρότερο σώμα. Η ροή σταματά όταν οι θερμοκρασίες εξισωθούν — τότε τα σώματα βρίσκονται σε θερμική ισορροπία.

Το γινόμενο $C = mc$ λέγεται θερμοχωρητικότητα του σώματος: η θερμότητα που χρειάζεται για να ανέβει η θερμοκρασία του ολόκληρου σώματος κατά $1 \ \text{K}$ . Έτσι $Q = C\Delta\theta$ . Σε μια ανάμειξη, το σώμα με τη μεγαλύτερη θερμοχωρητικότητα «τραβάει» την τελική θερμοκρασία πιο κοντά στη δική του.

$Q = mc\Delta\theta, \qquad 1 \ \text{cal} = 4{,}186 \ \text{J}, \qquad c_{\nu\varepsilon\rho o\acute{v}} = 4186 \ \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

Ήξερες ότι;

Ο James Joule, γιος ζυθοποιού από την περιοχή του Μάντσεστερ, έδειξε τη δεκαετία του 1840 ότι το μηχανικό έργο και η θερμότητα είναι δύο μορφές του ίδιου πράγματος: για να ανέβει $1 \ \text{g}$ νερού κατά $1 \ ^{\circ}\text{C}$ χρειάζονται περίπου $4{,}2 \ \text{J}$ , είτε το ζεστάνεις με φωτιά είτε το ανακατέψεις με πτερύγια. Προς τιμήν του, η μονάδα ενέργειας λέγεται joule.

Γρήγορος έλεγχος

Πόση θερμότητα απαιτείται για να θερμανθούν $2 \ \text{kg}$ νερού κατά $10 \ ^{\circ}\text{C}$ ; Δίνεται $c = 4186 \ \text{J/(kg} \cdot \text{K)}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα Joule αντιστοιχούν σε θερμότητα $100 \ \text{cal}$ ;

Άσκηση: Σε βραστήρα τοποθετούμε $m = 0{,}5 \ \text{kg}$ νερό θερμοκρασίας $20 \ ^{\circ}\text{C}$ . Πόση θερμότητα χρειάζεται για να φτάσει στους $100 \ ^{\circ}\text{C}$ ; Να εκφραστεί το αποτέλεσμα και σε θερμίδες. Δίνεται $c = 4186 \ \text{J/(kg} \cdot \text{K)}$ .

Λύση: Η μεταβολή θερμοκρασίας: $\Delta\theta = 100 - 20 = 80 \ ^{\circ}\text{C} = 80 \ \text{K}$ .

$Q = mc\Delta\theta = 0{,}5 \cdot 4186 \cdot 80 = 167440 \ \text{J} \approx 167 \ \text{kJ}$

Σε θερμίδες:

$Q = \frac{167440}{4{,}186} = 40000 \ \text{cal} = 40 \ \text{kcal}$

Έλεγχος λογικής: $500 \ \text{g}$ νερού επί $80 \ ^{\circ}\text{C}$ δίνουν $500 \cdot 80 = 40000 \ \text{cal}$ κατευθείαν από τον ορισμό της θερμίδας ✔

Μέθοδος: ασκήσεις θερμιδομετρίας (ανάμειξη)

Εντόπισε ποιο σώμα αποβάλλει θερμότητα (το θερμότερο) και ποιο απορροφά (το ψυχρότερο).
Γράψε για καθένα $Q = mc\Delta\theta$ με $\Delta\theta = \theta_{\tau\varepsilon\lambda} - \theta_{\alpha\rho\chi}$ — έτσι το πρόσημο βγαίνει μόνο του.
Για θερμικά μονωμένο σύστημα: $Q_1 + Q_2 = 0$ , δηλαδή η θερμότητα που απορροφά το ένα σώμα ισούται με αυτήν που αποβάλλει το άλλο.
Λύσε ως προς την τελική θερμοκρασία $\theta$ και έλεγξε ότι βρίσκεται ανάμεσα στις αρχικές.

Κόλπο μνήμης

Στις αναμείξεις: «ό,τι χάνει ο ζεστός, το κερδίζει ο κρύος». Και η τελική θερμοκρασία βγαίνει πάντα ανάμεσα στις δύο αρχικές — πιο κοντά σε εκείνη του σώματος με το μεγαλύτερο $mc$ . Αν σου βγει έξω από αυτό το διάστημα, κάπου έχεις λάθος πρόσημο.

Παράδειγμα: Αναμειγνύουμε $m_1 = 0{,}2 \ \text{kg}$ νερό θερμοκρασίας $80 \ ^{\circ}\text{C}$ με $m_2 = 0{,}3 \ \text{kg}$ νερό θερμοκρασίας $20 \ ^{\circ}\text{C}$ σε θερμικά μονωμένο δοχείο αμελητέας θερμοχωρητικότητας. Να βρεθούν η τελική θερμοκρασία και η θερμότητα που μεταφέρθηκε ( $c = 4186 \ \text{J/(kg} \cdot \text{K)}$ ).

Λύση: Το ζεστό νερό αποβάλλει όση θερμότητα απορροφά το κρύο:

$m_1c(80 - \theta) = m_2c(\theta - 20)$

Το $c$ απλοποιείται: $0{,}2(80 - \theta) = 0{,}3(\theta - 20) \Rightarrow 16 - 0{,}2\theta = 0{,}3\theta - 6 \Rightarrow 0{,}5\theta = 22 \Rightarrow \theta = 44 \ ^{\circ}\text{C}$ .

Θερμότητα: $Q = m_2c(\theta - 20) = 0{,}3 \cdot 4186 \cdot 24 = 30139{,}2 \ \text{J} \approx 30 \ \text{kJ}$ . Έλεγχος: $m_1c(80 - 44) = 0{,}2 \cdot 4186 \cdot 36 = 30139{,}2 \ \text{J}$ ✔

Παρατήρησε ότι η ανάμειξη είναι μη αντιστρεπτή μεταβολή: αρχή και τέλος είναι καταστάσεις ισορροπίας, αλλά ενδιάμεσα το νερό δεν έχει ενιαία θερμοκρασία — και το χλιαρό νερό δεν ξαναχωρίζει ποτέ μόνο του σε ζεστό και κρύο.

Γρήγορος έλεγχος

Αναμειγνύουμε $1 \ \text{kg}$ νερό στους $20 \ ^{\circ}\text{C}$ με $3 \ \text{kg}$ νερό στους $60 \ ^{\circ}\text{C}$ , χωρίς απώλειες. Η τελική θερμοκρασία είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος (πείραμα του Joule): Σώμα πέφτει με σταθερή ταχύτητα και, μέσω τροχαλίας, περιστρέφει πτερύγια μέσα σε θερμικά μονωμένο δοχείο με νερό. Η πτώση επαναλαμβάνεται αρκετές φορές.

Δεδομένα: μάζα σώματος $M = 10 \ \text{kg}$ , ύψος πτώσης $h = 2 \ \text{m}$ , πλήθος πτώσεων $20$ , μάζα νερού $m = 0{,}5 \ \text{kg}$ , $c = 4186 \ \text{J/(kg} \cdot \text{K)}$ , $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , $1 \ \text{cal} = 4{,}186 \ \text{J}$ . Όλη η ενέργεια καταλήγει στο νερό.

Ζητούμενο: (α) η ενέργεια που προσφέρθηκε στο νερό, (β) η αύξηση της θερμοκρασίας του, (γ) η ίδια ενέργεια σε θερμίδες.

Λύση:

(α) Αφού το σώμα πέφτει με σταθερή ταχύτητα, η δυναμική ενέργεια που χάνει μεταφέρεται ως έργο στα πτερύγια: $W = 20 \cdot Mgh = 20 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2 = 4000 \ \text{J}$ .

(β) Το νερό θερμαίνεται σαν να είχε απορροφήσει θερμότητα $4000 \ \text{J}$ : $\Delta\theta = \frac{W}{mc} = \frac{4000}{0{,}5 \cdot 4186} = \frac{4000}{2093} \approx 1{,}9 \ ^{\circ}\text{C}$ .

(γ) $\frac{4000}{4{,}186} \approx 956 \ \text{cal}$ . Επαλήθευση από τον ορισμό της θερμίδας: $500 \ \text{g} \cdot 1{,}91 \ ^{\circ}\text{C} \approx 956 \ \text{cal}$ ✔

Απάντηση: $4000 \ \text{J}$ , $\Delta\theta \approx 1{,}9 \ ^{\circ}\text{C}$ , $\approx 956 \ \text{cal}$ . Προσοχή στη θεωρία: εδώ το νερό δεν πήρε θερμότητα αλλά έργο — το αποτέλεσμα (αύξηση της εσωτερικής ενέργειας και της θερμοκρασίας) είναι ίδιο. Αυτό ακριβώς απέδειξε ο Joule: θερμότητα και έργο είναι δύο τρόποι μεταφοράς της ίδιας ενέργειας.

Πρόκληση

Θέλεις να γεμίσεις μπανιέρα με $100 \ \text{kg}$ νερό στους $40 \ ^{\circ}\text{C}$ , ανακατεύοντας κρύο νερό της βρύσης ( $10 \ ^{\circ}\text{C}$ ) με ζεστό από τον θερμοσίφωνα. Αγνόησε τις απώλειες. ( $c = 4186 \ \text{J/(kg} \cdot \text{K)}$ , $1 \ \text{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6 \ \text{J}$ )

α) Πόσο νερό από το καθένα χρειάζεσαι, αν το ζεστό είναι στους $70 \ ^{\circ}\text{C}$ ;

β) Κι αν το ζεστό είναι στους $60 \ ^{\circ}\text{C}$ ;

γ) Στη δεύτερη περίπτωση, πόση ενέργεια ξόδεψε ο θερμοσίφωνας για να ζεστάνει το νερό του από τους $10$ στους $60 \ ^{\circ}\text{C}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $|Q_{\zeta}| = Q_{\kappa}$ με το ίδιο $c$ : $m_{\zeta}(70 - 40) = m_{\kappa}(40 - 10) \Rightarrow m_{\zeta} = m_{\kappa}$ . Άρα $50 \ \text{kg}$ από το καθένα.

β) $m_{\zeta}(60 - 40) = m_{\kappa}(40 - 10) \Rightarrow 20m_{\zeta} = 30m_{\kappa} \Rightarrow m_{\zeta} = 1{,}5m_{\kappa}$ . Με $m_{\zeta} + m_{\kappa} = 100$ : $2{,}5m_{\kappa} = 100$ , οπότε $m_{\kappa} = 40 \ \text{kg}$ και $m_{\zeta} = 60 \ \text{kg}$ .

γ)

$Q = m_{\zeta}c\Delta\theta = 60 \cdot 4186 \cdot 50 = 12\,558\,000 \ \text{J} \approx 1{,}26 \cdot 10^7 \ \text{J}$

Σε kWh: $\frac{12\,558\,000}{3{,}6 \cdot 10^6} \approx 3{,}5 \ \text{kWh}$ — για ένα μόνο μπάνιο!

Συνηθισμένα λάθη

«Το σώμα περιέχει θερμότητα»: η θερμότητα είναι ενέργεια σε μεταφορά· αυτό που «περιέχει» το σώμα είναι εσωτερική ενέργεια.
Μάζα σε γραμμάρια με $c$ σε $\text{J/(kg} \cdot \text{K)}$ : δίνει αποτέλεσμα $1000$ φορές μεγαλύτερο. Διόρθωση: μάζα σε kg.
Γραμμή στο $p\text{–}V$ για μη αντιστρεπτή μεταβολή: μόνο οι αντιστρεπτές (οιονεί στατικές) μεταβολές σχεδιάζονται ως γραμμή.
Κελσίου ή Kelvin; στις διαφορές $\Delta\theta$ οι δύο κλίμακες ταυτίζονται, αλλά στην $pV = nRT$ η θερμοκρασία μπαίνει πάντα σε K.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θερμότητα: ενέργεια που μεταφέρεται λόγω διαφοράς θερμοκρασίας — δεν «περιέχεται» σε ένα σώμα
Θερμιδομετρικός ορισμός: $Q = mc\Delta\theta$ , με $Q > 0$ όταν το σύστημα απορροφά
Ειδική θερμότητα $c$ : ιδιότητα του υλικού· για το νερό $c = 4186 \ \text{J/(kg} \cdot \text{K)}$
$1 \ \text{cal} = 4{,}186 \ \text{J}$ — θερμότητα και έργο είναι δύο τρόποι μεταφοράς ενέργειας
Ανάμειξη σε μονωμένο σύστημα: $Q_1 + Q_2 = 0$ , με τελική θερμοκρασία ανάμεσα στις αρχικές

♨️

Θερμότητα

Θερμιδομετρικός ορισμός Q = mcΔθ, ειδική θερμότητα, θερμίδα, ανάμειξη

Γιατί η άμμος καίει και η θάλασσα δροσίζει;

Θερμότητα: ο θερμιδομετρικός ορισμός

Από τη θερμιδομετρία ξέρουμε πόση θερμότητα χρειάζεται για να αλλάξει η θερμοκρασία ενός σώματος:

$Q = mc\Delta\theta$

$1 \ \text{cal} = 4{,}186 \ \text{J}$

Σύμβαση προσήμων: $Q > 0$ όταν το σύστημα απορροφά θερμότητα, $Q < 0$ όταν αποβάλλει.

Θερμότητα, εσωτερική ενέργεια και θερμοχωρητικότητα

$Q = mc\Delta\theta, \qquad 1 \ \text{cal} = 4{,}186 \ \text{J}, \qquad c_{\nu\varepsilon\rho o\acute{v}} = 4186 \ \frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}$

Ήξερες ότι;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσα Joule αντιστοιχούν σε θερμότητα $100 \ \text{cal}$ ;

Λύση: Η μεταβολή θερμοκρασίας: $\Delta\theta = 100 - 20 = 80 \ ^{\circ}\text{C} = 80 \ \text{K}$ .

$Q = mc\Delta\theta = 0{,}5 \cdot 4186 \cdot 80 = 167440 \ \text{J} \approx 167 \ \text{kJ}$

Σε θερμίδες:

$Q = \frac{167440}{4{,}186} = 40000 \ \text{cal} = 40 \ \text{kcal}$

Μέθοδος: ασκήσεις θερμιδομετρίας (ανάμειξη)

Εντόπισε ποιο σώμα αποβάλλει θερμότητα (το θερμότερο) και ποιο απορροφά (το ψυχρότερο).
Γράψε για καθένα $Q = mc\Delta\theta$ με $\Delta\theta = \theta_{\tau\varepsilon\lambda} - \theta_{\alpha\rho\chi}$ — έτσι το πρόσημο βγαίνει μόνο του.
Για θερμικά μονωμένο σύστημα: $Q_1 + Q_2 = 0$ , δηλαδή η θερμότητα που απορροφά το ένα σώμα ισούται με αυτήν που αποβάλλει το άλλο.
Λύσε ως προς την τελική θερμοκρασία $\theta$ και έλεγξε ότι βρίσκεται ανάμεσα στις αρχικές.

Κόλπο μνήμης

Λύση: Το ζεστό νερό αποβάλλει όση θερμότητα απορροφά το κρύο:

$m_1c(80 - \theta) = m_2c(\theta - 20)$

Το $c$ απλοποιείται: $0{,}2(80 - \theta) = 0{,}3(\theta - 20) \Rightarrow 16 - 0{,}2\theta = 0{,}3\theta - 6 \Rightarrow 0{,}5\theta = 22 \Rightarrow \theta = 44 \ ^{\circ}\text{C}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Λύση:

Πρόκληση

α) Πόσο νερό από το καθένα χρειάζεσαι, αν το ζεστό είναι στους $70 \ ^{\circ}\text{C}$ ;

β) Κι αν το ζεστό είναι στους $60 \ ^{\circ}\text{C}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $|Q_{\zeta}| = Q_{\kappa}$ με το ίδιο $c$ : $m_{\zeta}(70 - 40) = m_{\kappa}(40 - 10) \Rightarrow m_{\zeta} = m_{\kappa}$ . Άρα $50 \ \text{kg}$ από το καθένα.

γ)

$Q = m_{\zeta}c\Delta\theta = 60 \cdot 4186 \cdot 50 = 12\,558\,000 \ \text{J} \approx 1{,}26 \cdot 10^7 \ \text{J}$

Σε kWh: $\frac{12\,558\,000}{3{,}6 \cdot 10^6} \approx 3{,}5 \ \text{kWh}$ — για ένα μόνο μπάνιο!

Συνηθισμένα λάθη

«Το σώμα περιέχει θερμότητα»: η θερμότητα είναι ενέργεια σε μεταφορά· αυτό που «περιέχει» το σώμα είναι εσωτερική ενέργεια.
Μάζα σε γραμμάρια με $c$ σε $\text{J/(kg} \cdot \text{K)}$ : δίνει αποτέλεσμα $1000$ φορές μεγαλύτερο. Διόρθωση: μάζα σε kg.
Γραμμή στο $p\text{–}V$ για μη αντιστρεπτή μεταβολή: μόνο οι αντιστρεπτές (οιονεί στατικές) μεταβολές σχεδιάζονται ως γραμμή.
Κελσίου ή Kelvin; στις διαφορές $\Delta\theta$ οι δύο κλίμακες ταυτίζονται, αλλά στην $pV = nRT$ η θερμοκρασία μπαίνει πάντα σε K.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θερμότητα: ενέργεια που μεταφέρεται λόγω διαφοράς θερμοκρασίας — δεν «περιέχεται» σε ένα σώμα
Θερμιδομετρικός ορισμός: $Q = mc\Delta\theta$ , με $Q > 0$ όταν το σύστημα απορροφά
Ειδική θερμότητα $c$ : ιδιότητα του υλικού· για το νερό $c = 4186 \ \text{J/(kg} \cdot \text{K)}$
$1 \ \text{cal} = 4{,}186 \ \text{J}$ — θερμότητα και έργο είναι δύο τρόποι μεταφοράς ενέργειας
Ανάμειξη σε μονωμένο σύστημα: $Q_1 + Q_2 = 0$ , με τελική θερμοκρασία ανάμεσα στις αρχικές