🎯

Οριζόντια Βολή

Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων, εξισώσεις κίνησης και τροχιά

Πού πρέπει να αφήσει το δέμα το αεροπλάνο;

Ένα αεροπλάνο ανθρωπιστικής βοήθειας πρέπει να ρίξει δέμα σε ένα μικρό ξέφωτο. Αν το αφήσει ακριβώς από πάνω του, θα αστοχήσει: το δέμα συνεχίζει να κινείται μπροστά όσο πέφτει. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δεις ότι μια καμπύλη τροχιά «σπάει» σε δύο απλές κινήσεις — και θα μπορείς να υπολογίσεις ακριβώς πού θα πέσει.

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων

Όταν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο κινήσεις, η καθεμιά εξελίσσεται σαν να μην υπάρχει η άλλη: η θέση του σώματος κάθε στιγμή προκύπτει από την επαλληλία των δύο κινήσεων. Αυτή είναι η αρχή της ανεξαρτησίας (ή επαλληλίας) των κινήσεων — η ιδέα του Γαλιλαίου που «ξεκλειδώνει» όλες τις καμπυλόγραμμες κινήσεις.

Στην οριζόντια βολή, σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα $\upsilon_0$ από ύψος $h$ και κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του. Η κίνησή του αναλύεται σε:

Οριζόντια ( $x$ ): ευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα $\upsilon_0$ — καμία δύναμη δεν δρα οριζόντια
Κατακόρυφη ( $y$ ): ελεύθερη πτώση με επιτάχυνση $g$

Η τροχιά που προκύπτει είναι παραβολή.

Ταχύτητα και εξίσωση της τροχιάς

Τη χρονική στιγμή $t$ η ταχύτητα έχει δύο κάθετες συνιστώσες, $\upsilon_x = \upsilon_0$ και $\upsilon_y = gt$ , οπότε

$\upsilon = \sqrt{\upsilon_0^2 + g^2t^2}, \qquad \varepsilon\phi\theta = \frac{gt}{\upsilon_0}$

όπου $\theta$ η γωνία της ταχύτητας με τον ορίζοντα. Η ταχύτητα είναι πάντα εφαπτόμενη στην τροχιά και «γέρνει» όλο και περισσότερο προς τα κάτω.

Για την εξίσωση της τροχιάς απαλείφουμε τον χρόνο: από $x = \upsilon_0t$ παίρνουμε $t = \frac{x}{\upsilon_0}$ και αντικαθιστούμε στο $y = \frac{1}{2}gt^2$ :

$y = \frac{g}{2\upsilon_0^2}x^2$

Η $y$ είναι ανάλογη του $x^2$ : η τροχιά είναι παραβολή. Όσο μεγαλύτερη η $\upsilon_0$ , τόσο πιο «ανοιχτή» η παραβολή.

Εκτόξευσε το βλήμα και παρακολούθησε τις σκιές του στους δύο άξονες: η οριζόντια σκιά προχωρά με σταθερό βήμα ενώ η κατακόρυφη επιταχύνεται σαν ελεύθερη πτώση — θα ανακαλύψεις ότι οι δύο κινήσεις τρέχουν εντελώς ανεξάρτητα!

$x = \upsilon_0 t, \quad \upsilon_x = \upsilon_0, \qquad y = \frac{1}{2}g t^2, \quad \upsilon_y = g t$

$\upsilon = \sqrt{\upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}, \qquad \varepsilon\phi\theta = \frac{\upsilon_y}{\upsilon_x}$

Γρήγορος έλεγχος

Από το ίδιο ύψος αφήνουμε μια μπάλα Α να πέσει ελεύθερα και ταυτόχρονα εκτοξεύουμε οριζόντια μια μπάλα Β. Ποια φτάνει πρώτη στο έδαφος;

Κόλπο μνήμης

«Το ύψος αποφασίζει τον χρόνο, η $\upsilon_0$ την απόσταση.» Ο χρόνος πτώσης βγαίνει μόνο από την κατακόρυφη κίνηση, $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ , σαν να μην υπήρχε η οριζόντια ταχύτητα. Μετά η οριζόντια κίνηση απλώς «μετράει» πόσο μακριά πήγε το σώμα σε αυτόν τον χρόνο: $x = \upsilon_0t$ .

Μέθοδος: οριζόντια βολή σε 5 βήματα

Αρχή αξόνων στο σημείο βολής: άξονας $x$ οριζόντιος, άξονας $y$ κατακόρυφος προς τα κάτω (ώστε $y$ και $g$ να είναι θετικά).
Χρόνος από την κατακόρυφη κίνηση: $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ .
Βεληνεκές από την οριζόντια: $x = \upsilon_0 t$ .
Ταχύτητα σε οποιαδήποτε στιγμή: $\upsilon_x = \upsilon_0$ , $\upsilon_y = gt$ , μέτρο με Πυθαγόρειο και γωνία με τον ορίζοντα από $\varepsilon\phi\theta = \frac{\upsilon_y}{\upsilon_x}$ .
Αν ζητείται η εξίσωση της τροχιάς, απάλειψε τον χρόνο: $t = \frac{x}{\upsilon_0}$ , άρα $y = \frac{g}{2\upsilon_0^2}x^2$ — παραβολή.

Άσκηση: Σφαίρα εκτοξεύεται οριζόντια με $\upsilon_0 = 10\ m/s$ από ύψος $h = 20\ m$ . Δίνεται $g = 10\ m/s^2$ . Να βρεθούν: (α) ο χρόνος πτώσης, (β) το βεληνεκές, (γ) το μέτρο της ταχύτητας στο έδαφος.

Λύση:

(α) Κατακόρυφα: $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow 20 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2\ s$ .

(β) Οριζόντια: $x_{max} = \upsilon_0 t = 10 \cdot 2 = 20\ m$ .

(γ) Στο έδαφος: $\upsilon_x = \upsilon_0 = 10\ m/s$ και $\upsilon_y = gt = 10 \cdot 2 = 20\ m/s$ , άρα $\upsilon = \sqrt{\upsilon_x^2 + \upsilon_y^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500} \approx 22{,}4\ m/s$ .

Η γωνία με τον ορίζοντα: $\varepsilon\phi\theta = \frac{\upsilon_y}{\upsilon_x} = 2$ .

Παράδειγμα: Αεροπλάνο πετά οριζόντια σε ύψος $h = 500 \ \text{m}$ με ταχύτητα $\upsilon_0 = 50 \ \text{m/s}$ και αφήνει ένα δέμα. Να βρεθούν ο χρόνος πτώσης, η οριζόντια απόσταση που διανύει το δέμα και η ταχύτητά του λίγο πριν φτάσει στο έδαφος. Πού βρίσκεται τότε το αεροπλάνο; ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , αντίσταση αέρα αμελητέα)

Λύση: Το δέμα έχει αρχικά την ταχύτητα του αεροπλάνου, άρα εκτελεί οριζόντια βολή με $\upsilon_0 = 50 \ \text{m/s}$ .

Χρόνος: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \ \text{s}$ .

Οριζόντια απόσταση: $x = \upsilon_0 t = 50 \cdot 10 = 500 \ \text{m}$ .

Ταχύτητα: $\upsilon_x = 50 \ \text{m/s}$ , $\upsilon_y = gt = 100 \ \text{m/s}$ , άρα

$\upsilon = \sqrt{50^2 + 100^2} = \sqrt{12500} = 50\sqrt{5} \approx 112 \ \text{m/s}$

Το αεροπλάνο κινείται οριζόντια με την ίδια $\upsilon_0$ , οπότε σε $10 \ \text{s}$ διανύει κι αυτό $500 \ \text{m}$ : βρίσκεται ακριβώς πάνω από το σημείο πρόσκρουσης. Από το αεροπλάνο το δέμα φαίνεται να πέφτει κατακόρυφα — η αρχή της ανεξαρτησίας σε δράση. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Από το ίδιο ύψος εκτοξεύουμε οριζόντια δύο σφαίρες, την πρώτη με $\upsilon_0$ και τη δεύτερη με $2\upsilon_0$ . Σε σύγκριση με την πρώτη, η δεύτερη έχει:

Ήξερες ότι;

Ο Newton φαντάστηκε ένα κανόνι στην κορυφή ενός πολύ ψηλού βουνού που ρίχνει οριζόντια βλήματα. Όσο μεγαλύτερη η $\upsilon_0$ , τόσο πιο μακριά πέφτει το βλήμα — ώσπου, με αρκετή ταχύτητα, η επιφάνεια της Γης «καμπυλώνει» όσο γρήγορα πέφτει το βλήμα, και αυτό δεν προσγειώνεται ποτέ. Αυτό είναι ένας δορυφόρος: μια οριζόντια βολή που δεν τελειώνει ποτέ. Κοντά στην επιφάνεια της Γης (χωρίς αέρα) θα χρειαζόταν περίπου $7{,}9 \ \text{km/s}$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Μπίλια κυλά πάνω σε τραπέζι ύψους $h = 1{,}25 \ \text{m}$ , φεύγει οριζόντια από την άκρη του και πέφτει στο δάπεδο σε οριζόντια απόσταση $2 \ \text{m}$ από το πόδι του τραπεζιού. Αντίσταση αέρα αμελητέα, $g = 10 \ \text{m/s}^2$ .

Δεδομένα: $h = 1{,}25 \ \text{m}$ , $x_{max} = 2 \ \text{m}$ , $g = 10 \ \text{m/s}^2$ .

Ζητούμενα: α) ο χρόνος πτώσης, β) η ταχύτητα με την οποία έφυγε από το τραπέζι, γ) η ταχύτητα (μέτρο και γωνία) με την οποία φτάνει στο δάπεδο, δ) η εξίσωση της τροχιάς και το ύψος από το δάπεδο όταν έχει διανύσει οριζόντια $1 \ \text{m}$ .

Λύση:

α) $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}25}{10}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5 \ \text{s}$ .

β) $\upsilon_0 = \frac{x_{max}}{t} = \frac{2}{0{,}5} = 4 \ \text{m/s}$ .

γ) $\upsilon_x = 4 \ \text{m/s}$ , $\upsilon_y = gt = 5 \ \text{m/s}$ , άρα $\upsilon = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \approx 6{,}4 \ \text{m/s}$ με $\varepsilon\phi\theta = \frac{5}{4}$ κάτω από τον ορίζοντα.

δ) $y = \frac{g}{2\upsilon_0^2}x^2 = \frac{10}{32}x^2 = \frac{5}{16}x^2$ . Για $x = 1 \ \text{m}$ : $y = \frac{5}{16} \approx 0{,}31 \ \text{m}$ κάτω από το τραπέζι, δηλαδή σε ύψος $1{,}25 - 0{,}31 \approx 0{,}94 \ \text{m}$ από το δάπεδο.

Απάντηση: α) $0{,}5 \ \text{s}$ β) $4 \ \text{m/s}$ γ) $\approx 6{,}4 \ \text{m/s}$ , $\varepsilon\phi\theta = 1{,}25$ δ) $y = \frac{5}{16}x^2$ , ύψος $\approx 0{,}94 \ \text{m}$

Γρήγορος έλεγχος

Κατά τη διάρκεια μιας οριζόντιας βολής (χωρίς αντίσταση αέρα), το μέτρο της ταχύτητας του σώματος:

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η επιτάχυνση ενός σώματος κατά την οριζόντια βολή (χωρίς αντίσταση αέρα);

Πρόκληση

Από ταράτσα ύψους $h = 45 \ \text{m}$ πετάς οριζόντια μια μπάλα. Απέναντι, σε οριζόντια απόσταση $d = 30 \ \text{m}$ , υψώνεται ο τοίχος μιας ψηλότερης πολυκατοικίας. Αγνόησε την αντίσταση του αέρα, $g = 10 \ \text{m/s}^2$ .

α) Ποια είναι η ελάχιστη $\upsilon_0$ ώστε η μπάλα να χτυπήσει τον τοίχο πριν φτάσει στο έδαφος;

β) Με $\upsilon_0 = 20 \ \text{m/s}$ , σε ποιο ύψος από το έδαφος χτυπά τον τοίχο και με πόση ταχύτητα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Ο χρόνος πτώσης ως το έδαφος: $t_{\pi} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{90}{10}} = 3 \ \text{s}$ . Σε αυτόν τον χρόνο η μπάλα πρέπει να καλύψει οριζόντια τουλάχιστον $30 \ \text{m}$ :

$\upsilon_0 \geq \frac{d}{t_{\pi}} = \frac{30}{3} = 10 \ \text{m/s}$

β) Φτάνει στον τοίχο τη στιγμή $t = \frac{d}{\upsilon_0} = \frac{30}{20} = 1{,}5 \ \text{s}$ . Ως τότε έχει πέσει $y = \frac{1}{2}gt^2 = 5 \cdot 2{,}25 = 11{,}25 \ \text{m}$ , άρα χτυπά σε ύψος $45 - 11{,}25 = 33{,}75 \ \text{m}$ .

Ταχύτητα: $\upsilon_x = 20 \ \text{m/s}$ , $\upsilon_y = gt = 15 \ \text{m/s}$ , οπότε

$\upsilon = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{625} = 25 \ \text{m/s}$

Συνηθισμένα λάθη

Αλγεβρικό άθροισμα ταχυτήτων στη βολή: το $\upsilon = \upsilon_0 + gt$ είναι λάθος, γιατί οι δύο συνιστώσες είναι κάθετες. Διόρθωση: $\upsilon = \sqrt{\upsilon_x^2 + \upsilon_y^2}$ .
Γωνία από τον λάθος άξονα: το $\varepsilon\phi\theta = \frac{\upsilon_y}{\upsilon_x}$ δίνει τη γωνία με τον ορίζοντα, όχι με την κατακόρυφο.
Χρόνος από την οριζόντια κίνηση: ο χρόνος πτώσης βγαίνει από το ύψος, $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ — εκτός αν δίνεται το βεληνεκές και η $\upsilon_0$ .
«Η πιο γρήγορη μπάλα πέφτει αργότερα»: από το ίδιο ύψος όλα τα σώματα πέφτουν στον ίδιο χρόνο, ανεξάρτητα από την $\upsilon_0$ .

Στην οριζόντια βολή ο χρόνος πτώσης βγαίνει ΠΑΝΤΑ από την κατακόρυφη κίνηση ( $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ ) και δεν εξαρτάται από την $\upsilon_0$ — η $\upsilon_0$ καθορίζει μόνο το βεληνεκές.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αρχή ανεξαρτησίας: η οριζόντια βολή είναι ομαλή κίνηση στον άξονα $x$ ( $x = \upsilon_0 t$ ) και ελεύθερη πτώση στον $y$ ( $y = \frac{1}{2}gt^2$ ).
Χρόνος πτώσης $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ , ανεξάρτητος της $\upsilon_0$ · βεληνεκές $x = \upsilon_0 t$ .
Ταχύτητα $\upsilon = \sqrt{\upsilon_0^2 + (gt)^2}$ , με $\varepsilon\phi\theta = \frac{gt}{\upsilon_0}$ ως προς τον ορίζοντα.
Τροχιά: παραβολή $y = \frac{g}{2\upsilon_0^2}x^2$ .

Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων

Στην οριζόντια βολή, σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα

\upsilon_0

από ύψος

h

και κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του. Η κίνησή του αναλύεται σε:

Οριζόντια (

x

): ευθύγραμμη ομαλή με ταχύτητα

\upsilon_0

— καμία δύναμη δεν δρα οριζόντια

Κατακόρυφη (

y

): ελεύθερη πτώση με επιτάχυνση

g

Η τροχιά που προκύπτει είναι παραβολή.