🛰️

Ταχύτητα Διαφυγής

Βαρυτική δυναμική ενέργεια U = −GMm/r, υ_δ = √(2GM/R), μαύρες τρύπες

Γιατί ένας πύραυλος χρειάζεται $11{,}2 \ \text{km/s}$ για να φύγει από τη Γη;

Πετάς μια πέτρα προς τα πάνω και ξαναπέφτει. Αν όμως έφευγε με $11{,}2 \ \text{km/s}$ — πάνω από $40\,000 \ \text{km/h}$ — και χωρίς αέρα να τη φρενάρει, δεν θα γύριζε ποτέ. Από πού βγαίνει αυτός ο αριθμός; Από την ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο.

Ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο και ταχύτητα διαφυγής

Η βαρυτική δυναμική ενέργεια συστήματος Γης–σώματος (με αναφορά στο άπειρο) είναι $U = -G\frac{Mm}{r}$ — αρνητική, γιατί το σώμα είναι «δέσμιο» του πεδίου και χρειάζεται ενέργεια για να ελευθερωθεί.

Ταχύτητα διαφυγής $\upsilon_{\delta}$ είναι η ελάχιστη ταχύτητα εκτόξευσης από την επιφάνεια πλανήτη ώστε το σώμα να φτάσει στο άπειρο (με μηδενική ταχύτητα). Από τη διατήρηση της ενέργειας: $\frac{1}{2}m\upsilon_{\delta}^2 - G\frac{Mm}{R} = 0$ .

Για τη Γη $\upsilon_{\delta} \approx 11{,}2\ km/s$ . Αν ένα ουράνιο σώμα είναι τόσο πυκνό ώστε η ταχύτητα διαφυγής του να ξεπερνά την ταχύτητα του φωτός, ούτε το φως δεν ξεφεύγει — μια μαύρη τρύπα.

Απόδειξη: $\upsilon_\delta = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Σώμα μάζας $m$ εκτοξεύεται από την επιφάνεια πλανήτη (μάζα $M$ , ακτίνα $R$ ) με ταχύτητα $\upsilon$ . Αγνοώντας την αντίσταση του αέρα, η μηχανική ενέργεια διατηρείται:

$\frac{1}{2}m\upsilon^2 - G\frac{Mm}{R} = \frac{1}{2}m\upsilon_\infty^2 + 0$

Το σώμα διαφεύγει αν φτάσει στο άπειρο με $\upsilon_\infty \geq 0$ . Η ελάχιστη ταχύτητα αντιστοιχεί σε $\upsilon_\infty = 0$ :

$\frac{1}{2}m\upsilon_\delta^2 = G\frac{Mm}{R} \Rightarrow \upsilon_\delta = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2g_0R}$

Η μάζα $m$ απλοποιείται: η ταχύτητα διαφυγής είναι ίδια για ένα βότσαλο και για έναν πύραυλο. Γενικά, το σώμα διαφεύγει όταν η ολική του ενέργεια $K + U$ είναι μηδέν ή θετική.

Το έργο που χρειάζεται για να μετακινηθεί σώμα από απόσταση $r_1$ σε $r_2 > r_1$ είναι $\Delta U = GMm\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$ .

$U = -G\frac{Mm}{r}, \qquad \upsilon_{\delta} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Γρήγορος έλεγχος

Πλανήτης έχει την ίδια ακτίνα με τη Γη αλλά τετραπλάσια μάζα. Αν για τη Γη $\upsilon_{\delta} = 11{,}2 \ \text{km/s}$ , η ταχύτητα διαφυγής του πλανήτη είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα απομακρύνεται από τη Γη προς πολύ μεγάλη απόσταση. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια $U = -G\frac{Mm}{r}$ του συστήματος:

Κόλπο μνήμης

Σκέψου την ολική ενέργεια $K + U$ σαν λογαριασμό: η $U = -G\frac{Mm}{r}$ είναι ένα «χρέος» προς τον πλανήτη. Αν η κινητική ενέργεια ξεπληρώνει όλο το χρέος ( $K + U \geq 0$ ), το σώμα «απελευθερώνεται» και φεύγει για πάντα. Αν μένει έστω και λίγο χρέος ( $K + U < 0$ ), κάποια στιγμή θα γυρίσει πίσω.

Μέθοδος: ασκήσεις ενέργειας στο βαρυτικό πεδίο

Αποστάσεις από το κέντρο σε m· αν δίνεται η $g_0$ , $GM = g_0R^2$ .
Γράψε την ολική ενέργεια σε δύο θέσεις: $\frac{1}{2}m\upsilon_1^2 - G\frac{Mm}{r_1} = \frac{1}{2}m\upsilon_2^2 - G\frac{Mm}{r_2}$ .
Διαφυγή: $\upsilon_\delta = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ · ταχύτητα στο άπειρο από $\frac{1}{2}\upsilon_\infty^2 = \frac{1}{2}\upsilon^2 - \frac{GM}{R}$ .
Μέγιστη απόσταση όταν $\upsilon < \upsilon_\delta$ : θέσε $\upsilon_2 = 0$ και λύσε ως προς $r_2$ .
Έργο ανύψωσης: $\Delta U = GMm\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$ .

Παράδειγμα: Να υπολογιστεί η ταχύτητα διαφυγής από τη Γη, με $g_0 = 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ και $R = 6400 \ \text{km}$ .

Λύση: $\upsilon_\delta = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2g_0R} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 6{,}4 \times 10^6} = \sqrt{1{,}2544 \times 10^8} = 1{,}12 \times 10^4 \ \text{m/s} = 11{,}2 \ \text{km/s}$ ✔

Άσκηση (ανύψωση δορυφόρου): Πόση ενέργεια χρειάζεται για να μεταφερθεί ένας δορυφόρος μάζας $1000 \ \text{kg}$ από την επιφάνεια της Γης σε απόσταση $2R$ από το κέντρο της (και να μείνει εκεί ακίνητος); ( $g_0 = 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ , $R = 6{,}4 \times 10^6 \ \text{m}$ )

Λύση: $\Delta U = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{2R}\right) = \frac{GMm}{2R} = \frac{g_0Rm}{2}$ :

$\Delta U = \frac{9{,}8 \cdot 6{,}4 \times 10^6 \cdot 1000}{2} \approx 3{,}1 \times 10^{10} \ \text{J}$

Αν χρησιμοποιούσες το $mgh$ με σταθερό $g_0$ , θα έβρισκες το διπλάσιο — λάθος, γιατί η $g$ μειώνεται με το ύψος. ✔

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα από την επιφάνεια της Γης με ταχύτητα $\upsilon_0 = 8 \ \text{km/s}$ . Αγνόησε την αντίσταση του αέρα και την περιστροφή της Γης.

Δεδομένα: $g_0 = 10 \ \text{m/s}^2$ , $R = 6{,}4 \times 10^6 \ \text{m}$ , $\upsilon_0 = 8 \times 10^3 \ \text{m/s}$ .

Ζητούμενα: α) η ταχύτητα διαφυγής, β) η μέγιστη απόσταση από το κέντρο της Γης που φτάνει το σώμα, γ) η ταχύτητα του σώματος πολύ μακριά από τη Γη, αν εκτοξευόταν με διπλάσια ταχύτητα από την ταχύτητα διαφυγής.

Λύση: $\frac{GM}{R} = g_0R = 6{,}4 \times 10^7 \ \text{m}^2/\text{s}^2$ .

α) $\upsilon_\delta = \sqrt{2g_0R} = \sqrt{1{,}28 \times 10^8} \approx 11{,}3 \ \text{km/s}$ .

β) Διατήρηση ενέργειας (ανά μονάδα μάζας), με $\upsilon = 0$ στο μέγιστο:

$\frac{1}{2}\upsilon_0^2 - \frac{GM}{R} = -\frac{GM}{r_{max}} \Rightarrow 3{,}2 \times 10^7 - 6{,}4 \times 10^7 = -6{,}4 \times 10^7\frac{R}{r_{max}} \Rightarrow r_{max} = 2R$

Δηλαδή σε ύψος $R = 6400 \ \text{km}$ από την επιφάνεια.

γ) Με $\upsilon = 2\upsilon_\delta$ : $\frac{1}{2}\upsilon_\infty^2 = \frac{1}{2}(4\upsilon_\delta^2) - \frac{1}{2}\upsilon_\delta^2 = \frac{3}{2}\upsilon_\delta^2$ , άρα $\upsilon_\infty = \sqrt{3}\upsilon_\delta \approx 19{,}6 \ \text{km/s}$ .

Απάντηση: α) $\approx 11{,}3 \ \text{km/s}$ β) $2R$ (ύψος $6400 \ \text{km}$ ) γ) $\approx 19{,}6 \ \text{km/s}$

Γρήγορος έλεγχος

Διπλασιάζουμε τη μάζα ενός πυραύλου. Η ταχύτητα διαφυγής του από τη Γη:

Ήξερες ότι;

Το διαστημικό σκάφος Voyager 1, που εκτοξεύτηκε το 1977, έχει ξεπεράσει την ταχύτητα διαφυγής όχι μόνο από τη Γη αλλά και από ολόκληρο το ηλιακό σύστημα. Τον Αύγουστο του 2012 πέρασε την ηλιόπαυση — το όριο της «φούσκας» του ηλιακού ανέμου — και έγινε το πρώτο ανθρώπινο κατασκεύασμα στον μεσοαστρικό χώρο.

Πρόκληση

Μπορείς να «δραπετεύσεις» από έναν αστεροειδή με ένα άλμα; Υπόθεσε σφαιρικό αστεροειδή με την ίδια μέση πυκνότητα με τη Γη. Ένας καλός αθλητής φεύγει από το έδαφος με περίπου $5 \ \text{m/s}$ . Πόση μπορεί να είναι το πολύ η ακτίνα του αστεροειδή, ώστε το άλμα να τον στείλει στο διάστημα χωρίς επιστροφή; Για τη Γη: $R_\Gamma = 6400 \ \text{km}$ , $\upsilon_{\delta,\Gamma} = 11{,}2 \ \text{km/s}$ .

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Η ταχύτητα διαφυγής είναι $\upsilon_{\delta} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ . Με πυκνότητα $\rho$ , η μάζα της σφαίρας είναι $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ , άρα

$\upsilon_{\delta} = \sqrt{\frac{2G\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R}} = R\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}$

Για ίδια πυκνότητα, λοιπόν, $\upsilon_{\delta} \propto R$ :

$\frac{R_{\alpha}}{R_\Gamma} = \frac{5}{11\,200} \Rightarrow R_{\alpha} = 6400 \cdot \frac{5}{11\,200} \ \text{km} \approx 2{,}9 \ \text{km}$

Ένας αστεροειδής με διάμετρο κάτω από περίπου $6 \ \text{km}$ δεν θα σε κρατούσε αν πηδούσες με όλη σου τη δύναμη!

Συνηθισμένα λάθη

Θετική βαρυτική δυναμική ενέργεια: με αναφορά το άπειρο, $U = -G\frac{Mm}{r}$ είναι πάντα αρνητική.
$mgh$ για μεγάλα ύψη: ισχύει μόνο κοντά στην επιφάνεια· για μεγάλες αποστάσεις χρησιμοποίησε $U = -G\frac{Mm}{r}$ .
Ξεχασμένη τετραγωνική ρίζα: τετραπλάσια μάζα πλανήτη (ίδια ακτίνα) → διπλάσια $\upsilon_\delta$ , όχι τετραπλάσια.
Η ταχύτητα διαφυγής εξαρτάται από το σώμα: εξαρτάται μόνο από τον πλανήτη και το σημείο εκτόξευσης.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Βαρυτική δυναμική ενέργεια: $U = -G\frac{Mm}{r}$ , αρνητική, μηδέν στο άπειρο
Ταχύτητα διαφυγής: $\upsilon_\delta = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2g_0R}$ , ανεξάρτητη της μάζας του σώματος
Για τη Γη $\upsilon_\delta \approx 11{,}2 \ \text{km/s}$
Το σώμα διαφεύγει αν $K + U \geq 0$ · αλλιώς φτάνει σε μέγιστη απόσταση και επιστρέφει
Αν η ταχύτητα διαφυγής ξεπερνά την ταχύτητα του φωτός → μαύρη τρύπα

🛰️

Ταχύτητα Διαφυγής

Βαρυτική δυναμική ενέργεια U = −GMm/r, υ_δ = √(2GM/R), μαύρες τρύπες

Γιατί ένας πύραυλος χρειάζεται $11{,}2 \ \text{km/s}$ για να φύγει από τη Γη;

Ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο και ταχύτητα διαφυγής

Απόδειξη: $\upsilon_\delta = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

$\frac{1}{2}m\upsilon^2 - G\frac{Mm}{R} = \frac{1}{2}m\upsilon_\infty^2 + 0$

Το σώμα διαφεύγει αν φτάσει στο άπειρο με $\upsilon_\infty \geq 0$ . Η ελάχιστη ταχύτητα αντιστοιχεί σε $\upsilon_\infty = 0$ :

$\frac{1}{2}m\upsilon_\delta^2 = G\frac{Mm}{R} \Rightarrow \upsilon_\delta = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2g_0R}$

$U = -G\frac{Mm}{r}, \qquad \upsilon_{\delta} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Γρήγορος έλεγχος

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: ασκήσεις ενέργειας στο βαρυτικό πεδίο

Αποστάσεις από το κέντρο σε m· αν δίνεται η $g_0$ , $GM = g_0R^2$ .
Γράψε την ολική ενέργεια σε δύο θέσεις: $\frac{1}{2}m\upsilon_1^2 - G\frac{Mm}{r_1} = \frac{1}{2}m\upsilon_2^2 - G\frac{Mm}{r_2}$ .
Διαφυγή: $\upsilon_\delta = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ · ταχύτητα στο άπειρο από $\frac{1}{2}\upsilon_\infty^2 = \frac{1}{2}\upsilon^2 - \frac{GM}{R}$ .
Μέγιστη απόσταση όταν $\upsilon < \upsilon_\delta$ : θέσε $\upsilon_2 = 0$ και λύσε ως προς $r_2$ .
Έργο ανύψωσης: $\Delta U = GMm\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$ .