⚖️

Σύγκριση Ηλεκτροστατικού & Βαρυτικού Πεδίου

Ομοιότητες και διαφορές: νόμος 1/r², ένταση, δυναμική ενέργεια, σχετική ισχύς

Γιατί με νοιάζει;

Η ηλεκτρική άπωση δύο πρωτονίων είναι περίπου $10^{36}$ φορές ισχυρότερη από τη βαρυτική τους έλξη. Κι όμως, τις κινήσεις των πλανητών, των άστρων και των γαλαξιών τις κυβερνά η βαρύτητα, όχι η ηλεκτρική δύναμη. Πώς γίνεται η ασθενέστερη δύναμη να κυριαρχεί στο σύμπαν; Η απάντηση βρίσκεται στη σύγκριση των δύο πεδίων.

Δύο πεδία, ένας νόμος

το βαρυτικό και το ηλεκτροστατικό πεδίο μοιάζουν εντυπωσιακά — και τα δύο έχουν νόμο αντιστρόφου τετραγώνου ( $G\frac{Mm}{r^2}$ ↔ $k_c\frac{|q_1q_2|}{r^2}$ ) και δυναμική ενέργεια $\propto \frac{1}{r}$ . Διαφέρουν σε δύο σημεία: η βαρύτητα είναι μόνο ελκτική (μία «γεύση» μάζας), ενώ η ηλεκτρική δύναμη έλκει ή απωθεί (δύο είδη φορτίου)· και η ηλεκτρική αλληλεπίδραση είναι ασύγκριτα ισχυρότερη.

Ομοιότητες και διαφορές, σημείο προς σημείο

Ομοιότητες:

Νόμος αντιστρόφου τετραγώνου: $F_\beta = G\frac{m_1m_2}{r^2}$ και $F_{\eta\lambda} = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$ .
Ένταση ως δύναμη ανά μονάδα «πηγής»: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$ και $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$ , με $g = \frac{GM}{r^2}$ και $E = k\frac{|Q|}{r^2}$ .
Συντηρητικές δυνάμεις, με δυναμική ενέργεια ανάλογη του $\frac{1}{r}$ και μηδέν στο άπειρο.

Διαφορές:

Η βαρύτητα είναι μόνο ελκτική, οπότε η $U_\beta = -G\frac{m_1m_2}{r}$ είναι πάντα αρνητική. Η ηλεκτρική δύναμη είναι ελκτική ή απωστική και η $U_{\eta\lambda} = k\frac{q_1q_2}{r}$ έχει πρόσημο.
Η ηλεκτρική αλληλεπίδραση είναι ασύγκριτα ισχυρότερη.
Επειδή υπάρχουν θετικά και αρνητικά φορτία, τα μεγάλα σώματα είναι σχεδόν ουδέτερα και οι ηλεκτρικές δυνάμεις τους αλληλοαναιρούνται. Οι μάζες όμως μόνο προστίθενται — γι' αυτό σε μεγάλη κλίμακα κυριαρχεί η βαρύτητα.

$F_{\eta\lambda} = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} \ \leftrightarrow \ F_\beta = G\frac{m_1m_2}{r^2}, \qquad U_{\eta\lambda} = k\frac{q_1q_2}{r} \ \leftrightarrow \ U_\beta = -G\frac{m_1m_2}{r}$

Κόλπο μνήμης

Τα δύο πεδία είναι «ξαδέρφια» με τον ίδιο τύπο: άλλαξε $q \leftrightarrow m$ και $k \leftrightarrow G$ και περνάς από το ένα στο άλλο. Μόνο δύο «οικογενειακές διαφορές» να θυμάσαι: η βαρυτική $U$ έχει πάντα μείον (μόνο έλξη), και το $k$ είναι περίπου $10^{20}$ φορές μεγαλύτερο από το $G$ .

Μέθοδος: σύγκριση ηλεκτρικής και βαρυτικής δύναμης

Γράψε και τις δύο δυνάμεις για το ίδιο ζεύγος σωμάτων.
Πάρε τον λόγο: $\frac{F_{\eta\lambda}}{F_\beta} = \frac{k|q_1||q_2|}{Gm_1m_2}$ — το $r^2$ απλοποιείται, οπότε ο λόγος δεν εξαρτάται από την απόσταση.
Για ισορροπία ηλεκτρικής άπωσης και βαρυτικής έλξης: $k|q_1||q_2| = Gm_1m_2$ .
Δυναμικές ενέργειες: $U_{\eta\lambda}$ με τα πρόσημα των φορτίων, $U_\beta$ πάντα αρνητική.

Παράδειγμα (δύο πρωτόνια): Πόσες φορές ισχυρότερη είναι η ηλεκτρική άπωση δύο πρωτονίων από τη βαρυτική τους έλξη; ( $e = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ , $m_p = 1{,}67 \times 10^{-27} \ \text{kg}$ , $k = 9 \times 10^9$ , $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ σε μονάδες S.I.)

Λύση:

$\frac{F_{\eta\lambda}}{F_\beta} = \frac{ke^2}{Gm_p^2} = \frac{9 \times 10^9 \cdot 2{,}56 \times 10^{-38}}{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 2{,}79 \times 10^{-54}} \approx \frac{2{,}3 \times 10^{-28}}{1{,}86 \times 10^{-64}} \approx 1{,}2 \times 10^{36}$

Ανεξάρτητα από την απόσταση τους — και οι δύο δυνάμεις πέφτουν με τον ίδιο τρόπο. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η βασική διαφορά ανάμεσα στο βαρυτικό και στο ηλεκτροστατικό πεδίο;

Άσκηση (φορτίο που «σβήνει» τη βαρύτητα): Δύο σφαίρες μάζας $1 \ \text{kg}$ η καθεμία έχουν ίσα φορτία $q$ ίδιου προσήμου. Πόσο πρέπει να είναι το $q$ ώστε η ηλεκτρική άπωση να αντισταθμίζει ακριβώς τη βαρυτική έλξη;

Λύση: $k\frac{q^2}{r^2} = G\frac{m^2}{r^2} \Rightarrow q = m\sqrt{\frac{G}{k}} = 1 \cdot \sqrt{\frac{6{,}67 \times 10^{-11}}{9 \times 10^9}} = \sqrt{7{,}4 \times 10^{-21}} \approx 8{,}6 \times 10^{-11} \ \text{C}$

Λιγότερο από ένα δισεκατομμυριοστό του coulomb — περίπου μισό δισεκατομμύριο περισσευούμενα ηλεκτρόνια σε ένα κιλό ύλης. Και ισχύει σε κάθε απόσταση. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Δύο σωματίδια αλληλεπιδρούν ηλεκτρικά και βαρυτικά. Αν διπλασιαστεί η απόστασή τους, ο λόγος $\frac{F_{\eta\lambda}}{F_\beta}$ :

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δύο μικρά σφαιρίδια μάζας $1 \ \text{g}$ το καθένα έχουν φορτίο $+1 \ \text{nC}$ και απέχουν $10 \ \text{cm}$ .

Δεδομένα: $m = 10^{-3} \ \text{kg}$ , $q = 10^{-9} \ \text{C}$ , $r = 0{,}1 \ \text{m}$ , $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ , $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ .

Ζητούμενα: α) η ηλεκτρική δύναμη, β) η βαρυτική δύναμη, γ) ο λόγος τους, δ) οι αντίστοιχες δυναμικές ενέργειες και τα πρόσημά τους.

Λύση:

α) $F_{\eta\lambda} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{10^{-18}}{0{,}01} = 9 \times 10^{-7} \ \text{N}$ , απωστική.

β) $F_\beta = 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{10^{-6}}{0{,}01} = 6{,}67 \times 10^{-15} \ \text{N}$ , ελκτική.

γ) $\frac{F_{\eta\lambda}}{F_\beta} = \frac{9 \times 10^{-7}}{6{,}67 \times 10^{-15}} \approx 1{,}35 \times 10^8$ .

δ) $U_{\eta\lambda} = k\frac{q^2}{r} = 9 \times 10^{-8} \ \text{J}$ (θετική, άπωση) και $U_\beta = -G\frac{m^2}{r} = -6{,}67 \times 10^{-16} \ \text{J}$ (αρνητική, έλξη).

Απάντηση: α) $9 \times 10^{-7} \ \text{N}$ β) $6{,}67 \times 10^{-15} \ \text{N}$ γ) $\approx 1{,}35 \times 10^8$ δ) $+9 \times 10^{-8} \ \text{J}$ και $-6{,}67 \times 10^{-16} \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Η βαρυτική δυναμική ενέργεια δύο μαζών (με αναφορά το άπειρο) είναι:

Ήξερες ότι;

Στις «Διαλέξεις Φυσικής» του ο Richard Feynman υπολόγισε ότι αν δύο άνθρωποι, σε απόσταση ενός χεριού, είχαν ο καθένας μόλις $1\%$ περισσότερα ηλεκτρόνια από πρωτόνια, η μεταξύ τους άπωση θα αρκούσε για να σηκώσει ένα «βάρος» ίσο με ολόκληρη τη Γη. Η ύλη είναι απίστευτα καλά ισορροπημένη ηλεκτρικά.

Πρόκληση

Αν η Γη ( $6 \times 10^{24} \ \text{kg}$ ) και η Σελήνη ( $7{,}4 \times 10^{22} \ \text{kg}$ ) είχαν ίσα φορτία $q$ ίδιου προσήμου, πόσο θα έπρεπε να είναι το $q$ ώστε η ηλεκτρική άπωση να αναιρεί τη βαρυτική έλξη; Πόση μάζα ηλεκτρονίων αντιστοιχεί σε αυτό το φορτίο; ( $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ , $k = 9 \times 10^9$ σε S.I., $e = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ , $m_e = 9{,}1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$ )

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$kq^2 = GM_\Gamma M_\Sigma \Rightarrow q = \sqrt{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24} \cdot 7{,}4 \times 10^{22}}{9 \times 10^9}} = \sqrt{\frac{2{,}96 \times 10^{37}}{9 \times 10^9}} \approx 5{,}7 \times 10^{13} \ \text{C}$

Ηλεκτρόνια: $N = \frac{5{,}7 \times 10^{13}}{1{,}6 \times 10^{-19}} \approx 3{,}6 \times 10^{32}$ , με μάζα $3{,}6 \times 10^{32} \cdot 9{,}1 \times 10^{-31} \approx 330 \ \text{kg}$ .

Λίγες εκατοντάδες κιλά ηλεκτρονίων σε κάθε ουράνιο σώμα θα «έσβηναν» την έλξη που κρατά τη Σελήνη σε τροχιά — πόσο ασθενής είναι στην πραγματικότητα η βαρύτητα!

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσημο στη βαρυτική $U$ : είναι πάντα αρνητική· μόνο η ηλεκτρική $U$ μπορεί να είναι θετική.
«Ο λόγος των δυνάμεων αλλάζει με την απόσταση»: και οι δύο πέφτουν με $\frac{1}{r^2}$ , άρα ο λόγος είναι σταθερός.
«Η βαρύτητα είναι ισχυρότερη, αφού κυβερνά το σύμπαν»: είναι ασύγκριτα ασθενέστερη· κυριαρχεί επειδή οι μάζες δεν αλληλοαναιρούνται.
Απόλυτες τιμές στη $U_{\eta\lambda}$ : στη δυναμική ενέργεια τα φορτία μπαίνουν με το πρόσημό τους.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Και τα δύο πεδία: νόμος $\frac{1}{r^2}$ , ένταση ως δύναμη ανά μονάδα μάζας ή φορτίου, δυναμική ενέργεια $\propto \frac{1}{r}$
Βαρύτητα: μόνο ελκτική, $U_\beta = -G\frac{m_1m_2}{r} < 0$
Ηλεκτρική δύναμη: ελκτική ή απωστική, $U_{\eta\lambda} = k\frac{q_1q_2}{r}$ με πρόσημο
Η ηλεκτρική αλληλεπίδραση είναι ασύγκριτα ισχυρότερη· ο λόγος $\frac{F_{\eta\lambda}}{F_\beta}$ δεν εξαρτάται από την απόσταση
Σε μεγάλη κλίμακα κυριαρχεί η βαρύτητα, γιατί η ύλη είναι ηλεκτρικά ουδέτερη

⚖️

Σύγκριση Ηλεκτροστατικού & Βαρυτικού Πεδίου

Ομοιότητες και διαφορές: νόμος 1/r², ένταση, δυναμική ενέργεια, σχετική ισχύς

Γιατί με νοιάζει;

Δύο πεδία, ένας νόμος

Ομοιότητες και διαφορές, σημείο προς σημείο

Ομοιότητες:

Νόμος αντιστρόφου τετραγώνου: $F_\beta = G\frac{m_1m_2}{r^2}$ και $F_{\eta\lambda} = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$ .
Ένταση ως δύναμη ανά μονάδα «πηγής»: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$ και $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$ , με $g = \frac{GM}{r^2}$ και $E = k\frac{|Q|}{r^2}$ .
Συντηρητικές δυνάμεις, με δυναμική ενέργεια ανάλογη του $\frac{1}{r}$ και μηδέν στο άπειρο.

Διαφορές:

Η βαρύτητα είναι μόνο ελκτική, οπότε η $U_\beta = -G\frac{m_1m_2}{r}$ είναι πάντα αρνητική. Η ηλεκτρική δύναμη είναι ελκτική ή απωστική και η $U_{\eta\lambda} = k\frac{q_1q_2}{r}$ έχει πρόσημο.
Η ηλεκτρική αλληλεπίδραση είναι ασύγκριτα ισχυρότερη.
Επειδή υπάρχουν θετικά και αρνητικά φορτία, τα μεγάλα σώματα είναι σχεδόν ουδέτερα και οι ηλεκτρικές δυνάμεις τους αλληλοαναιρούνται. Οι μάζες όμως μόνο προστίθενται — γι' αυτό σε μεγάλη κλίμακα κυριαρχεί η βαρύτητα.

$F_{\eta\lambda} = k\frac{|q_1||q_2|}{r^2} \ \leftrightarrow \ F_\beta = G\frac{m_1m_2}{r^2}, \qquad U_{\eta\lambda} = k\frac{q_1q_2}{r} \ \leftrightarrow \ U_\beta = -G\frac{m_1m_2}{r}$

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: σύγκριση ηλεκτρικής και βαρυτικής δύναμης

Γράψε και τις δύο δυνάμεις για το ίδιο ζεύγος σωμάτων.
Πάρε τον λόγο: $\frac{F_{\eta\lambda}}{F_\beta} = \frac{k|q_1||q_2|}{Gm_1m_2}$ — το $r^2$ απλοποιείται, οπότε ο λόγος δεν εξαρτάται από την απόσταση.
Για ισορροπία ηλεκτρικής άπωσης και βαρυτικής έλξης: $k|q_1||q_2| = Gm_1m_2$ .
Δυναμικές ενέργειες: $U_{\eta\lambda}$ με τα πρόσημα των φορτίων, $U_\beta$ πάντα αρνητική.

Λύση:

Ανεξάρτητα από την απόσταση τους — και οι δύο δυνάμεις πέφτουν με τον ίδιο τρόπο. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ποια είναι η βασική διαφορά ανάμεσα στο βαρυτικό και στο ηλεκτροστατικό πεδίο;

Γρήγορος έλεγχος

Λύση:

α) $F_{\eta\lambda} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{10^{-18}}{0{,}01} = 9 \times 10^{-7} \ \text{N}$ , απωστική.

β) $F_\beta = 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{10^{-6}}{0{,}01} = 6{,}67 \times 10^{-15} \ \text{N}$ , ελκτική.

γ) $\frac{F_{\eta\lambda}}{F_\beta} = \frac{9 \times 10^{-7}}{6{,}67 \times 10^{-15}} \approx 1{,}35 \times 10^8$ .

δ) $U_{\eta\lambda} = k\frac{q^2}{r} = 9 \times 10^{-8} \ \text{J}$ (θετική, άπωση) και $U_\beta = -G\frac{m^2}{r} = -6{,}67 \times 10^{-16} \ \text{J}$ (αρνητική, έλξη).

Γρήγορος έλεγχος

Η βαρυτική δυναμική ενέργεια δύο μαζών (με αναφορά το άπειρο) είναι:

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Συνηθισμένα λάθη

Πρόσημο στη βαρυτική $U$ : είναι πάντα αρνητική· μόνο η ηλεκτρική $U$ μπορεί να είναι θετική.
«Ο λόγος των δυνάμεων αλλάζει με την απόσταση»: και οι δύο πέφτουν με $\frac{1}{r^2}$ , άρα ο λόγος είναι σταθερός.
«Η βαρύτητα είναι ισχυρότερη, αφού κυβερνά το σύμπαν»: είναι ασύγκριτα ασθενέστερη· κυριαρχεί επειδή οι μάζες δεν αλληλοαναιρούνται.
Απόλυτες τιμές στη $U_{\eta\lambda}$ : στη δυναμική ενέργεια τα φορτία μπαίνουν με το πρόσημό τους.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Και τα δύο πεδία: νόμος $\frac{1}{r^2}$ , ένταση ως δύναμη ανά μονάδα μάζας ή φορτίου, δυναμική ενέργεια $\propto \frac{1}{r}$
Βαρύτητα: μόνο ελκτική, $U_\beta = -G\frac{m_1m_2}{r} < 0$
Ηλεκτρική δύναμη: ελκτική ή απωστική, $U_{\eta\lambda} = k\frac{q_1q_2}{r}$ με πρόσημο
Η ηλεκτρική αλληλεπίδραση είναι ασύγκριτα ισχυρότερη· ο λόγος $\frac{F_{\eta\lambda}}{F_\beta}$ δεν εξαρτάται από την απόσταση
Σε μεγάλη κλίμακα κυριαρχεί η βαρύτητα, γιατί η ύλη είναι ηλεκτρικά ουδέτερη