💨

Κινητική Θεωρία: Ερμηνεία της Πίεσης

Παραδοχές, κρούσεις μορίων στα τοιχώματα, p = ⅓(N/V)m·(μέση τιμή υ²)

Γιατί μένει φουσκωμένο ένα μπαλόνι;

Μέσα σε ένα μπαλόνι υπάρχουν πάνω από $10^{22}$ μόρια αέρα. Τρέχουν με ταχύτητες εκατοντάδων μέτρων το δευτερόλεπτο — πιο γρήγορα από ένα αεροπλάνο — και χτυπούν ασταμάτητα στα τοιχώματα. Αυτά τα αμέτρητα μικρά χτυπήματα είναι η πίεση που το κρατά φουσκωμένο. Η κινητική θεωρία συνδέει αυτόν τον αόρατο κόσμο με τα $p$ , $V$ , $T$ που μετράς.

Από τα μόρια στα μετρήσιμα μεγέθη

Η κινητική θεωρία εξηγεί τα μακροσκοπικά μεγέθη ( $p$ , $T$ ) από τη συμπεριφορά των μορίων. Οι βασικές παραδοχές για το ιδανικό αέριο:

Τεράστιος αριθμός μορίων σε αδιάκοπη, τυχαία κίνηση
Οι κρούσεις μεταξύ τους και με τα τοιχώματα είναι ελαστικές
Ο όγκος των μορίων και οι μεταξύ τους δυνάμεις είναι αμελητέα

Με αυτά τα απλά «δομικά υλικά», η στατιστική δισεκατομμυρίων κρούσεων γεννά τους νόμους των αερίων που είδαμε πειραματικά!

Ήξερες ότι;

Το 1827 ο βοτανολόγος Robert Brown είδε στο μικροσκόπιο μικροσκοπικά σωματίδια από κόκκους γύρης να «χορεύουν» ασταμάτητα μέσα στο νερό. Το 1905 ο Einstein εξήγησε ότι αυτή η κίνηση Brown οφείλεται στα αόρατα μόρια του νερού που τα χτυπούν από όλες τις μεριές. Λίγα χρόνια αργότερα οι μετρήσεις του Jean Perrin έπεισαν και τους τελευταίους επιστήμονες ότι τα μόρια υπάρχουν πραγματικά.

Παρακολούθησε τα «μόρια» να συγκρούονται ελαστικά: σε κάθε κρούση με το τοίχωμα αλλάζει η ορμή τους — δισεκατομμύρια τέτοιες μικρές ωθήσεις το δευτερόλεπτο είναι αυτό που μετράμε ως πίεση.

Πίεση: κρούσεις στα τοιχώματα

Κάθε μόριο που χτυπά στο τοίχωμα ανακλάται ελαστικά και του ασκεί μια μικρή ώθηση (μεταβολή ορμής). Το άθροισμα αμέτρητων τέτοιων ωθήσεων ανά μονάδα επιφάνειας είναι η πίεση του αερίου.

Η κινητική θεωρία αποδεικνύει ότι η πίεση καθορίζεται από την πυκνότητα των μορίων $\frac{N}{V}$ , τη μάζα τους $m$ και τη μέση τιμή των τετραγώνων των ταχυτήτων $\overline{\upsilon^2}$ .

Απόδειξη: $p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2}$

Θεωρούμε $N$ μόρια μάζας $m$ σε κυβικό δοχείο ακμής $L$ (όγκος $V = L^3$ ).

Ένα μόριο με συνιστώσα ταχύτητας $\upsilon_x$ χτυπά ελαστικά στο τοίχωμα που είναι κάθετο στον άξονα $x$ και γυρίζει με $-\upsilon_x$ : η μεταβολή της ορμής του είναι $2m\upsilon_x$ σε μέτρο.
Ξαναχτυπά το ίδιο τοίχωμα αφού διανύσει $2L$ , δηλαδή κάθε $\Delta t = \frac{2L}{\upsilon_x}$ .
Μέση δύναμη του μορίου στο τοίχωμα: $F = \frac{2m\upsilon_x}{2L/\upsilon_x} = \frac{m\upsilon_x^2}{L}$ .
Για όλα τα μόρια: $F_{o\lambda} = \frac{m}{L}(\upsilon_{1x}^2 + \upsilon_{2x}^2 + \dots) = \frac{Nm\overline{\upsilon_x^2}}{L}$ .
Επειδή η κίνηση είναι τυχαία, καμία διεύθυνση δεν προτιμάται: $\overline{\upsilon_x^2} = \overline{\upsilon_y^2} = \overline{\upsilon_z^2} = \frac{1}{3}\overline{\upsilon^2}$ .
Πίεση: $p = \frac{F_{o\lambda}}{L^2} = \frac{Nm\overline{\upsilon^2}}{3L^3}$ , δηλαδή

$p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2} = \frac{1}{3}\rho\overline{\upsilon^2}$

όπου $\rho = \frac{Nm}{V}$ η πυκνότητα του αερίου.

$p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2}$

$p = \frac{1}{3}\rho\overline{\upsilon^2}, \qquad \rho = \frac{Nm}{V}$

Γρήγορος έλεγχος

Σε δοχείο σταθερού όγκου θερμαίνουμε ιδανικό αέριο και η πίεσή του αυξάνεται. Ποια είναι η μικροσκοπική εξήγηση;

Κόλπο μνήμης

Σκέψου το χαλάζι σε μια τσίγκινη σκεπή: ο θόρυβος (η «πίεση») δυναμώνει αν πέφτουν περισσότερα χαλάζια ( $\frac{N}{V}$ ), αν είναι βαρύτερα ( $m$ ) ή αν πέφτουν γρηγορότερα — και η ταχύτητα μετράει «διπλά», γιατί κάθε γρήγορο χαλάζι χτυπά και πιο δυνατά και πιο συχνά: $\overline{\upsilon^2}$ . Το $\frac{1}{3}$ είναι επειδή μόνο το ένα τρίτο της κίνησης «στοχεύει» σε κάθε τοίχωμα.

Μέθοδος: πίεση από μικροσκοπικά μεγέθη

Μετάτρεψε τον όγκο σε $\text{m}^3$ και τη μάζα σε kg.
Αριθμητική πυκνότητα μορίων $\frac{N}{V}$ ή πυκνότητα αερίου $\rho = \frac{Nm}{V} = \frac{m_{o\lambda}}{V}$ .
$p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2} = \frac{1}{3}\rho\overline{\upsilon^2}$ — λύσε ως προς το άγνωστο.
Για «πόσες φορές αλλάζει» χρησιμοποίησε αναλογίες: $p \propto \frac{N}{V}$ και $p \propto \overline{\upsilon^2}$ .

Παράδειγμα: Ο αέρας σε ατμοσφαιρική πίεση $10^5 \ \text{Pa}$ έχει πυκνότητα περίπου $1{,}2 \ \text{kg/m}^3$ . Πόση είναι η μέση τιμή του τετραγώνου της ταχύτητας των μορίων του;

Λύση: Από $p = \frac{1}{3}\rho\overline{\upsilon^2}$ :

$\overline{\upsilon^2} = \frac{3p}{\rho} = \frac{3 \cdot 10^5}{1{,}2} = 2{,}5 \times 10^5 \ \text{m}^2/\text{s}^2$

Η τετραγωνική ρίζα αυτής της τιμής είναι $500 \ \text{m/s}$ — τα μόρια του αέρα γύρω σου τρέχουν με ταχύτητες εκατοντάδων μέτρων το δευτερόλεπτο. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε δοχείο σταθερού όγκου διπλασιάζουμε τον αριθμό των μορίων ιδανικού αερίου, ενώ η μέση τιμή $\overline{\upsilon^2}$ μένει ίδια. Η πίεση:

Άσκηση: Σε δοχείο όγκου $1 \ \text{L}$ υπάρχουν $3 \times 10^{22}$ μόρια, το καθένα με μάζα $5 \times 10^{-26} \ \text{kg}$ , με $\overline{\upsilon^2} = 2 \times 10^5 \ \text{m}^2/\text{s}^2$ . Πόση είναι η πίεση του αερίου;

Λύση: $\frac{N}{V} = \frac{3 \times 10^{22}}{10^{-3}} = 3 \times 10^{25} \ \text{m}^{-3}$ .

$p = \frac{1}{3} \cdot 3 \times 10^{25} \cdot 5 \times 10^{-26} \cdot 2 \times 10^5 = \frac{1}{3} \cdot 1{,}5 \cdot 2 \times 10^5 = 10^5 \ \text{Pa}$

Περίπου η ατμοσφαιρική πίεση. ✔

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δοχείο όγκου $2 \ \text{L}$ περιέχει $3 \ \text{g}$ ιδανικού αερίου σε πίεση $1{,}5 \times 10^5 \ \text{Pa}$ .

Δεδομένα: $V = 2 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $m_{o\lambda} = 3 \times 10^{-3} \ \text{kg}$ , $p = 1{,}5 \times 10^5 \ \text{Pa}$ .

Ζητούμενα: α) η πυκνότητα του αερίου, β) η μέση τιμή του τετραγώνου της ταχύτητας των μορίων, γ) η νέα πίεση αν, με τον ίδιο όγκο, η $\overline{\upsilon^2}$ διπλασιαστεί, δ) η νέα πίεση αν (από την αρχική κατάσταση) διαφύγει το μισό αέριο χωρίς να αλλάξει η $\overline{\upsilon^2}$ .

Λύση:

α) $\rho = \frac{m_{o\lambda}}{V} = \frac{3 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 1{,}5 \ \text{kg/m}^3$ .

β) $\overline{\upsilon^2} = \frac{3p}{\rho} = \frac{4{,}5 \times 10^5}{1{,}5} = 3 \times 10^5 \ \text{m}^2/\text{s}^2$ .

γ) $p \propto \overline{\upsilon^2}$ : $p' = 3 \times 10^5 \ \text{Pa}$ .

δ) Μισή μάζα στον ίδιο όγκο → μισή πυκνότητα: $p'' = 0{,}75 \times 10^5 \ \text{Pa}$ .

Απάντηση: α) $1{,}5 \ \text{kg/m}^3$ β) $3 \times 10^5 \ \text{m}^2/\text{s}^2$ γ) $3 \times 10^5 \ \text{Pa}$ δ) $7{,}5 \times 10^4 \ \text{Pa}$

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω δεν είναι παραδοχή της κινητικής θεωρίας για το ιδανικό αέριο;

Πρόκληση

Από ένα μόριο στην ατμοσφαιρική πίεση. Κυβικό δοχείο ακμής $L = 0{,}1 \ \text{m}$ περιέχει $2{,}4 \times 10^{22}$ μόρια αζώτου, μάζας $4{,}65 \times 10^{-26} \ \text{kg}$ το καθένα. Υπόθεσε, για απλότητα, ότι κάθε μόριο έχει συνιστώσα ταχύτητας $\upsilon_x = 300 \ \text{m/s}$ κάθετα σε ένα τοίχωμα.

α) Πόση μέση δύναμη ασκεί ένα μόριο στο τοίχωμα;

β) Πόση πίεση ασκούν όλα μαζί;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Μεταβολή ορμής ανά κρούση $2m\upsilon_x = 2 \cdot 4{,}65 \times 10^{-26} \cdot 300 = 2{,}79 \times 10^{-23} \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ . Κρούσεις ανά δευτερόλεπτο $\frac{\upsilon_x}{2L} = \frac{300}{0{,}2} = 1500$ . Μέση δύναμη $F_1 = 2{,}79 \times 10^{-23} \cdot 1500 \approx 4{,}2 \times 10^{-20} \ \text{N}$ — απειροελάχιστη.

β) $F_{o\lambda} = 2{,}4 \times 10^{22} \cdot 4{,}2 \times 10^{-20} \approx 1000 \ \text{N}$ και

$p = \frac{F_{o\lambda}}{L^2} = \frac{1000}{0{,}01} = 10^5 \ \text{Pa}$

Αμέτρητα αδύναμα χτυπήματα δίνουν ακριβώς την ατμοσφαιρική πίεση.

Συνηθισμένα λάθη

Πίεση από έλξεις μορίων: η πίεση οφείλεται στις κρούσεις στα τοιχώματα· οι δυνάμεις μεταξύ μορίων στο ιδανικό αέριο αμελούνται.
$\overline{\upsilon^2}$ ίσο με $(\overline{\upsilon})^2$ : η μέση τιμή των τετραγώνων δεν είναι το τετράγωνο της μέσης ταχύτητας.
Ξεχασμένο $\frac{1}{3}$ : προέρχεται από την ισοκατανομή της κίνησης στους τρεις άξονες.
Όγκος σε L: στο $\frac{N}{V}$ και στο $\rho = \frac{m}{V}$ ο όγκος μπαίνει σε $\text{m}^3$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Παραδοχές: πολλά μόρια σε τυχαία κίνηση, ελαστικές κρούσεις, αμελητέος όγκος μορίων και αμελητέες δυνάμεις μεταξύ τους
Η πίεση οφείλεται στις μεταβολές ορμής των μορίων που χτυπούν τα τοιχώματα
$p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2} = \frac{1}{3}\rho\overline{\upsilon^2}$
Η πίεση αυξάνεται με την πυκνότητα των μορίων και με τη μέση τιμή του τετραγώνου της ταχύτητας

Από τα μόρια στα μετρήσιμα μεγέθη

Η κινητική θεωρία εξηγεί τα μακροσκοπικά μεγέθη (

p

T

) από τη συμπεριφορά των μορίων. Οι βασικές παραδοχές για το ιδανικό αέριο:

Τεράστιος αριθμός μορίων σε αδιάκοπη, τυχαία κίνηση

Οι κρούσεις μεταξύ τους και με τα τοιχώματα είναι ελαστικές

Ο όγκος των μορίων και οι μεταξύ τους δυνάμεις είναι αμελητέα

Κινητική Θεωρία: Ερμηνεία της Πίεσης

Γιατί μένει φουσκωμένο ένα μπαλόνι;

Από τα μόρια στα μετρήσιμα μεγέθη

Πίεση: κρούσεις στα τοιχώματα

Απόδειξη: p=13NVmυ2‾p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2}p=31​VN​mυ2

Μέθοδος: πίεση από μικροσκοπικά μεγέθη

Κινητική Θεωρία: Ερμηνεία της Πίεσης

Γιατί μένει φουσκωμένο ένα μπαλόνι;

Από τα μόρια στα μετρήσιμα μεγέθη

Πίεση: κρούσεις στα τοιχώματα

Απόδειξη: p=13NVmυ2‾p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2}p=31​VN​mυ2

Μέθοδος: πίεση από μικροσκοπικά μεγέθη

Απόδειξη: $p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2}$

Απόδειξη: $p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2}$