🔬

Κινητική Ερμηνεία της Θερμοκρασίας

Ē = 3/2 kT, σταθερά Boltzmann, εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου

Γιατί με νοιάζει;

Τι μετράει στην πραγματικότητα ένα θερμόμετρο; Όταν λες ότι ο αέρας έχει $300 \ \text{K}$ , λες κάτι πολύ συγκεκριμένο για τα αόρατα μόρια του: πόση κινητική ενέργεια έχουν κατά μέσο όρο. Η θερμοκρασία, που νιώθουμε με το δέρμα μας, αποδεικνύεται ότι είναι απλώς ένα «μέτρο» της κίνησης των μορίων.

Απόδειξη: $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$

Από την κινητική θεωρία $p = \frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{\upsilon^2}$ , άρα $pV = \frac{1}{3}Nm\overline{\upsilon^2} = \frac{2}{3}N \cdot \frac{1}{2}m\overline{\upsilon^2} = \frac{2}{3}N\overline{E}_{\kappa}$ .

Από την καταστατική εξίσωση $pV = nRT = NkT$ , όπου $k = \frac{R}{N_A}$ η σταθερά Boltzmann (αφού $nR = \frac{N}{N_A}R = Nk$ ). Εξισώνοντας:

$\frac{2}{3}N\overline{E}_{\kappa} = NkT \Rightarrow \overline{E}_{\kappa} = \frac{1}{2}m\overline{\upsilon^2} = \frac{3}{2}kT$

Η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων εξαρτάται μόνο από την απόλυτη θερμοκρασία.

Θερμοκρασία: το «θερμόμετρο» των μορίων

Η σχέση $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$ είναι το βαθύτερο αποτέλεσμα του κεφαλαίου: η απόλυτη θερμοκρασία είναι μέτρο της μέσης μεταφορικής κινητικής ενέργειας των μορίων. Στην ίδια θερμοκρασία, όλα τα αέρια έχουν την ίδια μέση κινητική ενέργεια — τα ελαφρύτερα μόρια απλώς κινούνται γρηγορότερα.

Η ενεργός ταχύτητα $\upsilon_{\varepsilon\nu}$ είναι η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής $\overline{\upsilon^2}$ — η «αντιπροσωπευτική» ταχύτητα των μορίων, λίγο μεγαλύτερη από τη μέση ταχύτητά τους (εκτός εξεταστέας ύλης 2025-26, χρήσιμη όμως για τη διαίσθηση).

$\overline{E}_{\kappa} = \frac{1}{2}m\overline{\upsilon^2} = \frac{3}{2}kT, \qquad k = \frac{R}{N_A} = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \ \text{J/K}, \qquad pV = NkT$

Γρήγορος έλεγχος

Ήλιο ( $\text{He}$ ) και οξυγόνο ( $\text{O}_2$ ) βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία. Για τη μέση κινητική ενέργεια ανά μόριο ισχύει:

Κόλπο μνήμης

Γιατί $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$ ; Σκέψου «τρία μισά για τρεις διαστάσεις»: κάθε μόριο κινείται στους άξονες $x$ , $y$ , $z$ και κάθε άξονας «παίρνει» κατά μέσο όρο $\frac{1}{2}kT$ . Το ίδιο $\frac{3}{2}$ ξαναβρίσκεις στο $U = \frac{3}{2}nRT$ .

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου

Στο ιδανικό αέριο οι δυνάμεις μεταξύ των μορίων αμελούνται, άρα δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης. Για μονατομικό αέριο η εσωτερική ενέργεια είναι απλώς το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των $N$ μορίων:

$U = N\overline{E}_{\kappa} = N \cdot \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}nRT$

αφού $Nk = nN_A \cdot \frac{R}{N_A} = nR$ . Από εδώ βγαίνει το κεντρικό συμπέρασμα που χρησιμοποιεί η θερμοδυναμική: η εσωτερική ενέργεια ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του.

Με τον ίδιο συλλογισμό η καταστατική εξίσωση γράφεται και «ανά μόριο»: $pV = nRT = NkT$ .

Μέθοδος: ασκήσεις κινητικής θεωρίας

Μετάτρεψε τη θερμοκρασία σε Kelvin.
Μέση κινητική ενέργεια ανά μόριο: $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$ — ίδια για κάθε αέριο στην ίδια $T$ .
Αριθμός μορίων: $N = nN_A$ ή απευθείας $N = \frac{pV}{kT}$ (με $p$ σε Pa, $V$ σε $\text{m}^3$ ).
Εσωτερική ενέργεια μονατομικού αερίου: $U = N\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV$ .
Για ερωτήσεις «πόσες φορές αλλάζει» δούλεψε με αναλογίες: $\overline{E}_{\kappa} \propto T$ .

Παράδειγμα: Να βρεθεί η μέση κινητική ενέργεια των μορίων ενός αερίου στους $27 \ ^{\circ}\text{C}$ και στους $327 \ ^{\circ}\text{C}$ . Δίνεται $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \ \text{J/K}$ .

Λύση: $T_1 = 27 + 273 = 300 \ \text{K}$ :

$\overline{E}_{\kappa,1} = \frac{3}{2}kT_1 = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 6{,}21 \cdot 10^{-21} \ \text{J}$

$T_2 = 327 + 273 = 600 \ \text{K}$ , δηλαδή διπλάσια απόλυτη θερμοκρασία, άρα:

$\overline{E}_{\kappa,2} = 2 \cdot 6{,}21 \cdot 10^{-21} = 1{,}242 \cdot 10^{-20} \ \text{J}$

Ο λόγος των θερμοκρασιών σε βαθμούς Κελσίου ( $\frac{327}{27} \approx 12$ ) δεν έχει κανένα φυσικό νόημα — μόνο η κλίμακα Kelvin «μετράει» την κίνηση των μορίων. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Η θερμοκρασία ιδανικού αερίου αυξάνεται από $127 \ ^{\circ}\text{C}$ σε $527 \ ^{\circ}\text{C}$ . Η μέση κινητική ενέργεια των μορίων του:

Γρήγορος έλεγχος

Σε σταθερή θερμοκρασία διπλασιάζουμε την ποσότητα ενός μονατομικού ιδανικού αερίου. Τι συμβαίνει στη μέση κινητική ενέργεια $\overline{E}_{\kappa}$ ανά μόριο και στην εσωτερική ενέργεια $U$ ;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δοχείο όγκου $3 \ \text{L}$ περιέχει ήλιο (μονατομικό ιδανικό αέριο) σε πίεση $1{,}38 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ και θερμοκρασία $27 \ ^{\circ}\text{C}$ .

Δεδομένα: $V = 3 \cdot 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $p = 1{,}38 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ , $T = 300 \ \text{K}$ , $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \ \text{J/K}$ , $N_A = 6{,}02 \cdot 10^{23} \ \text{mol}^{-1}$ .

Ζητούμενο: (α) η μέση κινητική ενέργεια ανά μόριο, (β) ο αριθμός των μορίων, (γ) η εσωτερική ενέργεια του αερίου, (δ) ο αριθμός των mol.

Λύση:

(α) $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 6{,}21 \cdot 10^{-21} \ \text{J}$ .

(β) Από $pV = NkT$ :

$N = \frac{pV}{kT} = \frac{1{,}38 \cdot 10^5 \cdot 3 \cdot 10^{-3}}{1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300} = \frac{414}{4{,}14 \cdot 10^{-21}} = 10^{23}$

(γ) $U = N\overline{E}_{\kappa} = 10^{23} \cdot 6{,}21 \cdot 10^{-21} = 621 \ \text{J}$ . Επαλήθευση: $U = \frac{3}{2}pV = 1{,}5 \cdot 414 = 621 \ \text{J}$ ✔

(δ) $n = \frac{N}{N_A} = \frac{10^{23}}{6{,}02 \cdot 10^{23}} \approx 0{,}17 \ \text{mol}$ .

Απάντηση: $\overline{E}_{\kappa} = 6{,}21 \cdot 10^{-21} \ \text{J}$ , $N = 10^{23}$ μόρια, $U = 621 \ \text{J}$ , $n \approx 0{,}17 \ \text{mol}$ .

Ήξερες ότι;

Στον τάφο του Ludwig Boltzmann στη Βιέννη είναι χαραγμένη η εξίσωση $S = k \log W$ , που συνδέει την εντροπία με το πλήθος των μικροσκοπικών καταστάσεων — με τη σταθερά $k$ που φέρει το όνομά του. Ο Boltzmann υπερασπίστηκε την ατομική θεωρία σε μια εποχή που πολλοί επιστήμονες αμφισβητούσαν ακόμη ότι τα άτομα υπάρχουν.

Πρόκληση

α) Σε ποια θερμοκρασία η μέση κινητική ενέργεια των μορίων ενός αερίου είναι $1 \ \text{eV}$ ; β) Πόση είναι η $\overline{E}_{\kappa}$ σε θερμοκρασία δωματίου ( $300 \ \text{K}$ ), σε eV; ( $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \ \text{J/K}$ , $1 \ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \ \text{J}$ )

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $\frac{3}{2}kT = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \Rightarrow T = \frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}}{3 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23}} \approx 7700 \ \text{K}$ — θερμότερο από την επιφάνεια του Ήλιου.

β) $\overline{E}_{\kappa} = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 6{,}21 \cdot 10^{-21} \ \text{J} \approx 0{,}039 \ \text{eV}$ .

Η θερμική κίνηση στη θερμοκρασία δωματίου δίνει στα μόρια ενέργειες μερικών εκατοστών του eV — πολύ λιγότερο από τα $10{,}2 \ \text{eV}$ που χρειάζονται για να διεγερθεί ένα άτομο υδρογόνου. Γι' αυτό τα αέρια δεν φωτοβολούν μόνα τους σε συνηθισμένες θερμοκρασίες.

Εμβάθυνση (εκτός εξεταστέας ύλης 2025-26): Να υπολογιστεί η ενεργός ταχύτητα των μορίων του οξυγόνου ( $M = 32\ g/mol$ ) σε θερμοκρασία $T = 300\ K$ . Σε ποια θερμοκρασία θα διπλασιαστεί; Δίνεται $R = 8{,}314\ J/(mol \cdot K)$ .

$\upsilon_{\varepsilon\nu} = \sqrt{\overline{\upsilon^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Λύση:

Με $M = 0{,}032\ kg/mol$ : $\upsilon_{\varepsilon\nu} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{0{,}032}} \approx 484\ m/s$ — σχεδόν μισό χιλιόμετρο το δευτερόλεπτο!

Επειδή $\upsilon_{\varepsilon\nu} \propto \sqrt{T}$ , για να διπλασιαστεί πρέπει $\sqrt{\frac{T'}{T}} = 2 \Rightarrow T' = 4T = 1200\ K$ . Διπλάσια ταχύτητα απαιτεί τετραπλάσια απόλυτη θερμοκρασία.

Γρήγορος έλεγχος

Διπλασιάζουμε την απόλυτη θερμοκρασία ιδανικού αερίου. Τι συμβαίνει στη μέση κινητική ενέργεια των μορίων και στην ενεργό ταχύτητα;

Εμβάθυνση (εκτός εξεταστέας ύλης 2025-26): Δίνεται $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ .

α) Πόση είναι η ενεργός ταχύτητα των μορίων υδρογόνου ( $M = 2 \ \text{g/mol}$ ) στους $300 \ \text{K}$ ;

β) Σε ποια θερμοκρασία θα είχαν την ίδια ενεργό ταχύτητα τα μόρια οξυγόνου ( $M = 32 \ \text{g/mol}$ );

γ) Στην ίδια θερμοκρασία, πόσες φορές μεγαλύτερη ενεργό ταχύτητα έχουν τα άτομα ηλίου ( $M = 4 \ \text{g/mol}$ ) από τα μόρια οξυγόνου;

Λύση:

α) Με $M = 0{,}002 \ \text{kg/mol}$ :

$\upsilon_{\varepsilon\nu} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{0{,}002}} \approx 1934 \ \text{m/s}$

Σχεδόν $2 \ \text{km}$ κάθε δευτερόλεπτο!

β) Ίδια $\upsilon_{\varepsilon\nu}$ σημαίνει ίδιο πηλίκο $\frac{T}{M}$ :

$\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{300}{2} \Rightarrow T_{O_2} = 4800 \ \text{K}$

Το οξυγόνο θέλει δεκαεξαπλάσια θερμοκρασία, όσο και ο λόγος των μοριακών μαζών.

γ) Στην ίδια $T$ : $\frac{\upsilon_{He}}{\upsilon_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ .

Συνηθισμένα λάθη

Κελσίου στο $\frac{3}{2}kT$ : η μέση κινητική ενέργεια είναι ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας. Διόρθωση: πάντα $T$ σε K.
«Τα βαριά μόρια έχουν περισσότερη ενέργεια»: στην ίδια $T$ η $\overline{E}_{\kappa}$ είναι ίδια για όλα τα αέρια — αλλάζει μόνο πόσο γρήγορα κινούνται τα μόρια.
Σύγχυση $k$ και $R$ : το $k$ αφορά ένα μόριο ( $pV = NkT$ ), το $R$ ένα mol ( $pV = nRT$ ). Διόρθωση: $k = \frac{R}{N_A}$ και έλεγχος αν μετράς μόρια ή mol.
Ανά μόριο ή συνολικά: η $\overline{E}_{\kappa}$ είναι ανά μόριο, η $U = N\overline{E}_{\kappa}$ για όλο το αέριο.

Στην ίδια θερμοκρασία η $\overline{E}_{\kappa}$ είναι ίδια για όλα τα αέρια, αλλά η $\upsilon_{\varepsilon\nu} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ — το υδρογόνο τρέχει 4 φορές γρηγορότερα από το οξυγόνο. Στους τύπους της κινητικής θεωρίας το $M$ μπαίνει σε kg/mol και η θερμοκρασία πάντα σε Kelvin.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$ , με $k = \frac{R}{N_A} = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \ \text{J/K}$ : η απόλυτη θερμοκρασία μετράει τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων
Στην ίδια θερμοκρασία όλα τα αέρια έχουν την ίδια $\overline{E}_{\kappa}$ ανά μόριο
$pV = nRT = NkT$
Μονατομικό ιδανικό αέριο: $U = N\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV$ — εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία

🔬

Κινητική Ερμηνεία της Θερμοκρασίας

Ē = 3/2 kT, σταθερά Boltzmann, εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου

Γιατί με νοιάζει;

Απόδειξη: $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$

Από την καταστατική εξίσωση $pV = nRT = NkT$ , όπου $k = \frac{R}{N_A}$ η σταθερά Boltzmann (αφού $nR = \frac{N}{N_A}R = Nk$ ). Εξισώνοντας:

$\frac{2}{3}N\overline{E}_{\kappa} = NkT \Rightarrow \overline{E}_{\kappa} = \frac{1}{2}m\overline{\upsilon^2} = \frac{3}{2}kT$

Η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων εξαρτάται μόνο από την απόλυτη θερμοκρασία.

Θερμοκρασία: το «θερμόμετρο» των μορίων

$\overline{E}_{\kappa} = \frac{1}{2}m\overline{\upsilon^2} = \frac{3}{2}kT, \qquad k = \frac{R}{N_A} = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \ \text{J/K}, \qquad pV = NkT$

Γρήγορος έλεγχος

Κόλπο μνήμης

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου

$U = N\overline{E}_{\kappa} = N \cdot \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}nRT$

Με τον ίδιο συλλογισμό η καταστατική εξίσωση γράφεται και «ανά μόριο»: $pV = nRT = NkT$ .

Μέθοδος: ασκήσεις κινητικής θεωρίας

Μετάτρεψε τη θερμοκρασία σε Kelvin.
Μέση κινητική ενέργεια ανά μόριο: $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$ — ίδια για κάθε αέριο στην ίδια $T$ .
Αριθμός μορίων: $N = nN_A$ ή απευθείας $N = \frac{pV}{kT}$ (με $p$ σε Pa, $V$ σε $\text{m}^3$ ).
Εσωτερική ενέργεια μονατομικού αερίου: $U = N\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV$ .
Για ερωτήσεις «πόσες φορές αλλάζει» δούλεψε με αναλογίες: $\overline{E}_{\kappa} \propto T$ .

Λύση: $T_1 = 27 + 273 = 300 \ \text{K}$ :

$\overline{E}_{\kappa,1} = \frac{3}{2}kT_1 = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 6{,}21 \cdot 10^{-21} \ \text{J}$

$T_2 = 327 + 273 = 600 \ \text{K}$ , δηλαδή διπλάσια απόλυτη θερμοκρασία, άρα:

$\overline{E}_{\kappa,2} = 2 \cdot 6{,}21 \cdot 10^{-21} = 1{,}242 \cdot 10^{-20} \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Λύση:

(α) $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 6{,}21 \cdot 10^{-21} \ \text{J}$ .

(β) Από $pV = NkT$ :

$N = \frac{pV}{kT} = \frac{1{,}38 \cdot 10^5 \cdot 3 \cdot 10^{-3}}{1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300} = \frac{414}{4{,}14 \cdot 10^{-21}} = 10^{23}$

(γ) $U = N\overline{E}_{\kappa} = 10^{23} \cdot 6{,}21 \cdot 10^{-21} = 621 \ \text{J}$ . Επαλήθευση: $U = \frac{3}{2}pV = 1{,}5 \cdot 414 = 621 \ \text{J}$ ✔

(δ) $n = \frac{N}{N_A} = \frac{10^{23}}{6{,}02 \cdot 10^{23}} \approx 0{,}17 \ \text{mol}$ .

Απάντηση: $\overline{E}_{\kappa} = 6{,}21 \cdot 10^{-21} \ \text{J}$ , $N = 10^{23}$ μόρια, $U = 621 \ \text{J}$ , $n \approx 0{,}17 \ \text{mol}$ .

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

β) $\overline{E}_{\kappa} = 1{,}5 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 6{,}21 \cdot 10^{-21} \ \text{J} \approx 0{,}039 \ \text{eV}$ .

$\upsilon_{\varepsilon\nu} = \sqrt{\overline{\upsilon^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Λύση:

Γρήγορος έλεγχος

Εμβάθυνση (εκτός εξεταστέας ύλης 2025-26): Δίνεται $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ .

α) Πόση είναι η ενεργός ταχύτητα των μορίων υδρογόνου ( $M = 2 \ \text{g/mol}$ ) στους $300 \ \text{K}$ ;

β) Σε ποια θερμοκρασία θα είχαν την ίδια ενεργό ταχύτητα τα μόρια οξυγόνου ( $M = 32 \ \text{g/mol}$ );

Λύση:

α) Με $M = 0{,}002 \ \text{kg/mol}$ :

$\upsilon_{\varepsilon\nu} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{0{,}002}} \approx 1934 \ \text{m/s}$

Σχεδόν $2 \ \text{km}$ κάθε δευτερόλεπτο!

β) Ίδια $\upsilon_{\varepsilon\nu}$ σημαίνει ίδιο πηλίκο $\frac{T}{M}$ :

$\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{300}{2} \Rightarrow T_{O_2} = 4800 \ \text{K}$

Το οξυγόνο θέλει δεκαεξαπλάσια θερμοκρασία, όσο και ο λόγος των μοριακών μαζών.

γ) Στην ίδια $T$ : $\frac{\upsilon_{He}}{\upsilon_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ .

Συνηθισμένα λάθη

Κελσίου στο $\frac{3}{2}kT$ : η μέση κινητική ενέργεια είναι ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας. Διόρθωση: πάντα $T$ σε K.
«Τα βαριά μόρια έχουν περισσότερη ενέργεια»: στην ίδια $T$ η $\overline{E}_{\kappa}$ είναι ίδια για όλα τα αέρια — αλλάζει μόνο πόσο γρήγορα κινούνται τα μόρια.
Σύγχυση $k$ και $R$ : το $k$ αφορά ένα μόριο ( $pV = NkT$ ), το $R$ ένα mol ( $pV = nRT$ ). Διόρθωση: $k = \frac{R}{N_A}$ και έλεγχος αν μετράς μόρια ή mol.
Ανά μόριο ή συνολικά: η $\overline{E}_{\kappa}$ είναι ανά μόριο, η $U = N\overline{E}_{\kappa}$ για όλο το αέριο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$ , με $k = \frac{R}{N_A} = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \ \text{J/K}$ : η απόλυτη θερμοκρασία μετράει τη μέση κινητική ενέργεια των μορίων
Στην ίδια θερμοκρασία όλα τα αέρια έχουν την ίδια $\overline{E}_{\kappa}$ ανά μόριο
$pV = nRT = NkT$
Μονατομικό ιδανικό αέριο: $U = N\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV$ — εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία

Κινητική Ερμηνεία της Θερμοκρασίας

Απόδειξη: E‾κ=32kT\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kTEκ​=23​kT

Θερμοκρασία: το «θερμόμετρο» των μορίων

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου

Μέθοδος: ασκήσεις κινητικής θεωρίας

Κινητική Ερμηνεία της Θερμοκρασίας

Απόδειξη: E‾κ=32kT\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kTEκ​=23​kT

Θερμοκρασία: το «θερμόμετρο» των μορίων

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου

Μέθοδος: ασκήσεις κινητικής θεωρίας

Απόδειξη: $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$

Απόδειξη: $\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}kT$