🔧

Έργο Αερίου

W = pΔV, έργο ως εμβαδόν στο p–V, έργο σε κυκλική μεταβολή

Γιατί με νοιάζει;

Στον κύλινδρο μιας μηχανής αυτοκινήτου, τα καυτά αέρια της καύσης σπρώχνουν το έμβολο προς τα κάτω — και αυτή η κίνηση καταλήγει να γυρίζει τις ρόδες. Πόσο έργο παράγει το αέριο σε κάθε κίνηση του εμβόλου; Θα δεις ότι η απάντηση βρίσκεται «ζωγραφισμένη» στο διάγραμμα $p\text{–}V$ , ως εμβαδόν.

Το έργο του αερίου

Όταν το αέριο εκτονώνεται, σπρώχνει το έμβολο και παράγει έργο προς το περιβάλλον· όταν συμπιέζεται, δέχεται έργο από το περιβάλλον ( $W < 0$ ). Σε ισοβαρή μεταβολή:

$W = p\Delta V = p(V_2 - V_1)$

Για οποιαδήποτε αντιστρεπτή μεταβολή, το έργο ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν ανάμεσα στην καμπύλη της μεταβολής και τον άξονα $V$ στο διάγραμμα p–V. Σε κυκλική μεταβολή το συνολικό έργο είναι το εμβαδόν που περικλείει ο κύκλος — θετικό όταν ο κύκλος διαγράφεται δεξιόστροφα.

Απόδειξη: $W = p\Delta V$

Αέριο κλείνεται σε κύλινδρο με έμβολο εμβαδού $A$ και εκτονώνεται αργά με σταθερή πίεση $p$ . Το αέριο ασκεί στο έμβολο δύναμη $F = pA$ . Αν το έμβολο μετακινηθεί κατά $\Delta x$ , το έργο της δύναμης είναι

$W = F\Delta x = pA\Delta x = p\Delta V$

αφού $A\Delta x = \Delta V$ η αύξηση του όγκου. Στην εκτόνωση $\Delta V > 0$ και $W > 0$ (το αέριο παράγει έργο)· στη συμπίεση $\Delta V < 0$ και $W < 0$ (το αέριο δέχεται έργο)· στην ισόχωρη $W = 0$ .

Όταν η πίεση αλλάζει, χωρίζουμε τη μεταβολή σε πολύ μικρά βήματα, όπου η πίεση είναι σχεδόν σταθερή. Κάθε $p\Delta V$ είναι μια λεπτή λωρίδα στο $p\text{–}V$ και το συνολικό έργο είναι το εμβαδόν κάτω από τη γραμμή. Στην ισοβαρή, λόγω της $pV = nRT$ , ισχύει και $W = nR\Delta T$ .

Άφησε το αέριο να εκτονωθεί και δες το έμβολο να μετακινείται: το έργο που παράγει το αέριο «χτίζεται» μπροστά σου ως εμβαδόν κάτω από την καμπύλη του διαγράμματος p–V.

$W = p\Delta V = nR\Delta T \ \ (\text{ισοβαρής}), \qquad W = 0 \ \ (\text{ισόχωρη}), \qquad W = \text{εμβαδόν κάτω από τη γραμμή } p\text{–}V$

Γρήγορος έλεγχος

Αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς υπό πίεση $p = 2 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ από όγκο $1 \ \text{L}$ σε $4 \ \text{L}$ . Το έργο που παράγει είναι:

Κόλπο μνήμης

Στο $p\text{–}V$ το έργο είναι εμβαδόν με πρόσημο: κίνηση προς τα δεξιά (ο όγκος μεγαλώνει) → θετικό έργο, προς τα αριστερά → αρνητικό, κατακόρυφα → μηδέν. Σε κύκλο: δεξιόστροφα → το αέριο δίνει έργο (μηχανή), αριστερόστροφα → δέχεται.

Μέθοδος: έργο από το διάγραμμα $p\text{–}V$

Μετάτρεψε όγκους σε $\text{m}^3$ ( $1 \ \text{L} = 10^{-3} \ \text{m}^3$ ) και πιέσεις σε Pa.
Ισοβαρής: ορθογώνιο, $W = p(V_2 - V_1)$ . Ισόχωρη: $W = 0$ .
Ευθύγραμμη μεταβολή με μεταβλητή πίεση: τραπέζιο, $W = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1)$ .
Πρόσημο: θετικό αν ο όγκος αυξάνεται, αρνητικό αν μειώνεται.
Κύκλος: έργο = εμβαδόν που περικλείεται, θετικό για δεξιόστροφη διαγραφή — ή άθροισμα των έργων των επιμέρους μεταβολών.

Παράδειγμα: $n = 2 \ \text{mol}$ ιδανικού αερίου θερμαίνονται ισοβαρώς κατά $50 \ \text{K}$ . Πόσο έργο παράγουν; ( $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ )

Λύση: Στην ισοβαρή $W = p\Delta V = nR\Delta T$ :

$W = 2 \cdot 8{,}314 \cdot 50 = 831{,}4 \ \text{J}$

Δεν χρειάστηκε να ξέρουμε ούτε την πίεση ούτε τους όγκους — μόνο τη μεταβολή της θερμοκρασίας. ✔

Άσκηση (τραπέζιο): Αέριο μεταβαίνει αντιστρεπτά από την κατάσταση Α ( $10^5 \ \text{Pa}$ , $1 \ \text{L}$ ) στην κατάσταση Β ( $3 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $3 \ \text{L}$ ) με μεταβολή που στο $p\text{–}V$ είναι ευθύγραμμο τμήμα. Πόσο έργο παράγει;

Λύση: Το εμβαδόν κάτω από το τμήμα είναι τραπέζιο με βάσεις $10^5$ και $3 \times 10^5 \ \text{Pa}$ και ύψος $\Delta V = 2 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ :

$W = \frac{10^5 + 3 \times 10^5}{2} \cdot 2 \times 10^{-3} = 400 \ \text{J}$

Θετικό, αφού ο όγκος αυξάνεται. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο θερμαίνεται ισόχωρα από $300 \ \text{K}$ σε $600 \ \text{K}$ . Το έργο που παράγει είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Αέριο εκτελεί τον κύκλο ΑΒΓΔΑ: ΑΒ ισοβαρής εκτόνωση με $p = 3 \times 10^5 \ \text{Pa}$ από $1 \ \text{L}$ σε $4 \ \text{L}$ , ΒΓ ισόχωρη ψύξη μέχρι $10^5 \ \text{Pa}$ , ΓΔ ισοβαρής συμπίεση πίσω στο $1 \ \text{L}$ , ΔΑ ισόχωρη θέρμανση.

Δεδομένα: $p_A = p_B = 3 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $p_\Gamma = p_\Delta = 10^5 \ \text{Pa}$ , $V_A = V_\Delta = 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $V_B = V_\Gamma = 4 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ .

Ζητούμενα: α) το έργο σε κάθε μεταβολή, β) το ολικό έργο του κύκλου, γ) έλεγχος με το εμβαδόν, δ) το ολικό έργο αν ο κύκλος διαγραφόταν με αντίθετη φορά.

Λύση:

α) $W_{AB} = 3 \times 10^5 \cdot 3 \times 10^{-3} = 900 \ \text{J}$ , $W_{B\Gamma} = 0$ , $W_{\Gamma\Delta} = 10^5 \cdot (-3 \times 10^{-3}) = -300 \ \text{J}$ , $W_{\Delta A} = 0$ .

β) $W_{o\lambda} = 900 - 300 = 600 \ \text{J}$ .

γ) Ο κύκλος είναι ορθογώνιο με πλευρές $2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ και $3 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ : εμβαδόν $600 \ \text{J}$ ✔ — θετικό, αφού ΑΒΓΔ διαγράφεται δεξιόστροφα.

δ) Με αντίθετη φορά (ΑΔΓΒΑ): $W_{o\lambda} = -600 \ \text{J}$ — το αέριο δέχεται έργο.

Απάντηση: α) $900$ , $0$ , $-300$ , $0 \ \text{J}$ β) $600 \ \text{J}$ γ) εμβαδόν $600 \ \text{J}$ δ) $-600 \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Κυκλική μεταβολή αερίου διαγράφεται αριστερόστροφα στο διάγραμμα $p\text{–}V$ . Για το ολικό έργο του κύκλου ισχύει:

Ήξερες ότι;

Γύρω στο 1796 ο John Southern, συνεργάτης του James Watt, επινόησε τον «δείκτη» (indicator): μια συσκευή που, συνδεδεμένη στον κύλινδρο της ατμομηχανής, σχεδίαζε μόνη της το διάγραμμα πίεσης–όγκου σε κάθε κύκλο. Από το εμβαδόν του διαγράμματος οι μηχανικοί υπολόγιζαν το έργο της μηχανής — το ίδιο ακριβώς που κάνεις κι εσύ.

Πρόκληση

Αέριο εκτελεί τον τριγωνικό κύκλο ΑΒΓΑ: Α ( $10^5 \ \text{Pa}$ , $1 \ \text{L}$ ) → Β ( $3 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $1 \ \text{L}$ ) → Γ ( $10^5 \ \text{Pa}$ , $5 \ \text{L}$ ) → Α, όπου όλες οι μεταβολές είναι ευθύγραμμα τμήματα στο $p\text{–}V$ . Βρες το έργο κάθε μεταβολής και το ολικό, με δύο τρόπους.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ανά μεταβολή:

ΑΒ: ισόχωρη, $W_{AB} = 0$ .
ΒΓ: τραπέζιο, $W_{B\Gamma} = \frac{3 \times 10^5 + 10^5}{2} \cdot 4 \times 10^{-3} = 800 \ \text{J}$ .
ΓΑ: ισοβαρής συμπίεση, $W_{\Gamma A} = 10^5 \cdot (-4 \times 10^{-3}) = -400 \ \text{J}$ .

Σύνολο: $400 \ \text{J}$ .

Με εμβαδόν: τρίγωνο με βάση $4 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ (ΓΑ) και ύψος $2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ (ΑΒ): $\frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-3} \cdot 2 \times 10^5 = 400 \ \text{J}$ ✔. Θετικό, γιατί ο κύκλος (πάνω, κάτω-δεξιά, αριστερά) διαγράφεται δεξιόστροφα.

Συνηθισμένα λάθη

Λίτρα στο $p\Delta V$ : $10^5 \ \text{Pa} \cdot 2 \ \text{L}$ δεν κάνει $2 \cdot 10^5 \ \text{J}$ αλλά $200 \ \text{J}$ . Διόρθωση: $V$ πάντα σε $\text{m}^3$ .
Πρόσημο στη συμπίεση: όταν ο όγκος μειώνεται, $W < 0$ — το αέριο δέχεται έργο.
Έργο στην ισόχωρη: αύξηση πίεσης χωρίς αλλαγή όγκου δεν δίνει έργο.
Έργο κύκλου μηδέν: μηδέν είναι η $\Delta U$ του κύκλου· το έργο είναι το εμβαδόν που περικλείεται.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Έργο αερίου: $W = p\Delta V$ στην ισοβαρή ( $= nR\Delta T$ ), $W = 0$ στην ισόχωρη
Γενικά: εμβαδόν κάτω από τη γραμμή της μεταβολής στο $p\text{–}V$
Εκτόνωση → $W > 0$ (το αέριο παράγει έργο)· συμπίεση → $W < 0$ (δέχεται)
Κύκλος: έργο = εμβαδόν που περικλείεται, θετικό για δεξιόστροφη διαγραφή

Το έργο του αερίου

Όταν το αέριο εκτονώνεται, σπρώχνει το έμβολο και παράγει έργο προς το περιβάλλον· όταν συμπιέζεται, δέχεται έργο από το περιβάλλον (

W < 0

). Σε ισοβαρή μεταβολή:

W = p\Delta V = p(V_2 - V_1)

Για οποιαδήποτε αντιστρεπτή μεταβολή, το έργο ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν ανάμεσα στην καμπύλη της μεταβολής και τον άξονα

V

στο διάγραμμα p–V. Σε κυκλική μεταβολή το συνολικό έργο είναι το εμβαδόν που περικλείει ο κύκλος — θετικό όταν ο κύκλος διαγράφεται δεξιόστροφα.

Έργο Αερίου

Το έργο του αερίου

Απόδειξη: W=pΔVW = p\Delta VW=pΔV

Μέθοδος: έργο από το διάγραμμα p–Vp\text{–}Vp–V

Έργο Αερίου

Το έργο του αερίου

Απόδειξη: W=pΔVW = p\Delta VW=pΔV

Μέθοδος: έργο από το διάγραμμα p–Vp\text{–}Vp–V

Απόδειξη: $W = p\Delta V$

Μέθοδος: έργο από το διάγραμμα $p\text{–}V$

Απόδειξη: $W = p\Delta V$

Μέθοδος: έργο από το διάγραμμα $p\text{–}V$