🧮

Γραμμομοριακές Ειδικές Θερμότητες

C_V, C_p, σχέση C_p = C_V + R, λόγος γ = C_p/C_V

Γιατί με νοιάζει;

Θέλεις να ζεστάνεις τον αέρα ενός δωματίου κατά $5$ βαθμούς. Αν το δωμάτιο ήταν ερμητικά κλειστό (σταθερός όγκος), θα χρειαζόσουν λιγότερη ενέργεια απ' ό,τι σε ένα κανονικό δωμάτιο, όπου ο αέρας διαστέλλεται και ένα μέρος του «δραπετεύει» από τις χαραμάδες με σταθερή πίεση. Πόσο λιγότερη; Αυτό το μετρούν οι δύο γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες των αερίων.

Οι γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες $C_V$ και $C_p$

Για τα αέρια βολεύει να μετράμε την ποσότητα σε mol. Η θερμότητα που χρειάζεται για να μεταβληθεί η θερμοκρασία $n$ mol κατά $\Delta T$ είναι $Q = nC\Delta T$ , όπου $C$ η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα. Όμως η $C$ εξαρτάται από τη μεταβολή:

Ισόχωρη: $Q_V = nC_V\Delta T$ . Εδώ $W = 0$ , άρα $Q_V = \Delta U$ . Για μονατομικό αέριο $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$ , οπότε $C_V = \frac{3}{2}R$ .
Ισοβαρής: $Q_p = nC_p\Delta T$ . Εδώ $Q_p = \Delta U + W = nC_V\Delta T + nR\Delta T$ , οπότε

$C_p = C_V + R$

Η $C_p$ είναι πάντα μεγαλύτερη από τη $C_V$ : στην ισοβαρή ένα μέρος της θερμότητας γίνεται έργο. Για μονατομικό αέριο $C_p = \frac{5}{2}R$ και ο λόγος $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{5}{3}$ .

Επειδή η $U$ εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία, η σχέση $\Delta U = nC_V\Delta T$ ισχύει σε κάθε μεταβολή, όχι μόνο στην ισόχωρη.

$Q_V = nC_V\Delta T, \quad Q_p = nC_p\Delta T, \quad C_p = C_V + R, \quad \gamma = \frac{C_p}{C_V}, \quad \Delta U = nC_V\Delta T \ (\text{κάθε μεταβολή})$

Κόλπο μνήμης

«Στο $p$ πληρώνεις και το $R$ του έργου.» Στην ισοβαρή η θερμότητα καλύπτει την αύξηση της εσωτερικής ενέργειας ( $C_V$ ) και το έργο της εκτόνωσης ( $R$ ανά mol και ανά kelvin): $C_p = C_V + R$ . Για μονατομικό: $\frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$ .

Μέθοδος: ασκήσεις με $C_V$ και $C_p$

Αναγνώρισε τη μεταβολή: σταθερός όγκος → $C_V$ , σταθερή πίεση → $C_p$ .
Αν δεν δίνονται, για μονατομικό αέριο $C_V = \frac{3}{2}R$ , $C_p = \frac{5}{2}R$ · γενικά $C_p = C_V + R$ .
$Q = nC\Delta T$ με $\Delta T$ σε K (η διαφορά είναι ίδια σε K και $^{\circ}\text{C}$ ).
$\Delta U = nC_V\Delta T$ σε κάθε μεταβολή και $W = Q - \Delta U$ .

Παράδειγμα: Να υπολογιστούν οι $C_V$ , $C_p$ και ο λόγος $\gamma$ για μονατομικό ιδανικό αέριο. ( $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ )

Λύση: $C_V = \frac{3}{2}R \approx 12{,}47 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ και $C_p = C_V + R = \frac{5}{2}R \approx 20{,}79 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ .

$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Γιατί η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα υπό σταθερή πίεση είναι μεγαλύτερη από την υπό σταθερό όγκο;

Άσκηση: $3 \ \text{mol}$ μονατομικού ιδανικού αερίου θερμαίνονται κατά $20 \ \text{K}$ , μία φορά ισόχωρα και μία φορά ισοβαρώς. Πόση θερμότητα χρειάζεται σε κάθε περίπτωση και πού πηγαίνει η διαφορά; ( $R = \frac{25}{3} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ )

Λύση: $C_V = \frac{3}{2} \cdot \frac{25}{3} = 12{,}5 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ και $C_p = \frac{5}{2} \cdot \frac{25}{3} = \frac{125}{6} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ .

$Q_V = 3 \cdot 12{,}5 \cdot 20 = 750 \ \text{J}$ και $Q_p = 3 \cdot \frac{125}{6} \cdot 20 = 1250 \ \text{J}$ .

Διαφορά $500 \ \text{J} = nR\Delta T = 3 \cdot \frac{25}{3} \cdot 20$ : ακριβώς το έργο της ισοβαρούς εκτόνωσης. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Για μονατομικό ιδανικό αέριο ο λόγος $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Διατομικό ιδανικό αέριο, για το οποίο δίνεται $C_V = \frac{5}{2}R$ , θερμαίνεται ισοβαρώς: $n = 2 \ \text{mol}$ από $300 \ \text{K}$ σε $360 \ \text{K}$ .

Δεδομένα: $n = 2 \ \text{mol}$ , $C_V = \frac{5}{2}R$ , $R = \frac{25}{3} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ , $\Delta T = 60 \ \text{K}$ .

Ζητούμενα: α) η $C_p$ και ο λόγος $\gamma$ , β) η θερμότητα που απορροφά, γ) η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας, δ) το έργο και το ποσοστό της θερμότητας που γίνεται έργο.

Λύση:

α) $C_p = C_V + R = \frac{7}{2}R$ και $\gamma = \frac{7/2}{5/2} = \frac{7}{5} = 1{,}4$ .

β) $Q = nC_p\Delta T = 2 \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{25}{3} \cdot 60 = 3500 \ \text{J}$ .

γ) $\Delta U = nC_V\Delta T = 2 \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{25}{3} \cdot 60 = 2500 \ \text{J}$ .

δ) $W = Q - \Delta U = 1000 \ \text{J}$ (έλεγχος: $nR\Delta T = 2 \cdot \frac{25}{3} \cdot 60 = 1000 \ \text{J}$ ✔). Ποσοστό $\frac{1000}{3500} = \frac{2}{7} \approx 29\%$ .

Απάντηση: α) $\frac{7}{2}R$ , $\gamma = 1{,}4$ β) $3500 \ \text{J}$ γ) $2500 \ \text{J}$ δ) $1000 \ \text{J}$ , $\frac{2}{7}$

Γρήγορος έλεγχος

Η σχέση $\Delta U = nC_V\Delta T$ για ιδανικό αέριο ισχύει:

Ήξερες ότι;

Το 1842 ο Julius Robert Mayer χρησιμοποίησε τη διαφορά $C_p - C_V$ του αέρα — τη διαφορά θερμότητας ανάμεσα σε ισοβαρή και ισόχωρη θέρμανση — για να υπολογίσει πόσο μηχανικό έργο ισοδυναμεί με μια θερμίδα. Γι' αυτό η σχέση $C_p = C_V + R$ λέγεται συχνά σχέση του Mayer.

Πρόκληση

Ένα ιδανικό αέριο θερμαίνεται ισοβαρώς και διαπιστώνεται ότι ακριβώς τα $\frac{2}{7}$ της θερμότητας που απορροφά γίνονται έργο. Βρες τις $C_V$ , $C_p$ και τον λόγο $\gamma$ του αερίου.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Στην ισοβαρή $W = nR\Delta T$ και $Q = nC_p\Delta T$ , άρα

$\frac{W}{Q} = \frac{R}{C_p} = \frac{2}{7} \Rightarrow C_p = \frac{7}{2}R$

Τότε $C_V = C_p - R = \frac{5}{2}R$ και $\gamma = \frac{7}{5} = 1{,}4$ . Το αέριο δεν είναι μονατομικό (εκεί ο λόγος θα ήταν $\frac{2}{5}$ ) — έχει τις τιμές ενός διατομικού αερίου, όπως ο αέρας.

Συνηθισμένα λάθη

$C_V$ στην ισοβαρή: στην ισοβαρή $Q = nC_p\Delta T$ · η $nC_V\Delta T$ δίνει μόνο τη $\Delta U$ .
$C_p = C_V - R$ : η $C_p$ είναι πάντα μεγαλύτερη, $C_p = C_V + R$ .
Μονατομικές τιμές σε κάθε αέριο: $C_V = \frac{3}{2}R$ ισχύει μόνο για μονατομικό αέριο· για άλλα αέρια η $C_V$ δίνεται.
Μάζα αντί για mol: στη γραμμομοριακή ειδική θερμότητα η ποσότητα μπαίνει σε mol, όχι σε kg.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$Q_V = nC_V\Delta T$ (ισόχωρη) και $Q_p = nC_p\Delta T$ (ισοβαρής)
Σχέση Mayer: $C_p = C_V + R$ — η $C_p$ περιλαμβάνει και το έργο της εκτόνωσης
Μονατομικό ιδανικό αέριο: $C_V = \frac{3}{2}R$ , $C_p = \frac{5}{2}R$ , $\gamma = \frac{5}{3}$
$\Delta U = nC_V\Delta T$ σε κάθε μεταβολή ιδανικού αερίου

Οι γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες

C_V

και

C_p

Για τα αέρια βολεύει να μετράμε την ποσότητα σε mol. Η θερμότητα που χρειάζεται για να μεταβληθεί η θερμοκρασία

n

mol κατά

\Delta T

είναι

Q = nC\Delta T

, όπου

C

η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα. Όμως η

C

εξαρτάται από τη μεταβολή:

Ισόχωρη:

Q_V = nC_V\Delta T

. Εδώ

W = 0

, άρα

Q_V = \Delta U

. Για μονατομικό αέριο

\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T

, οπότε

C_V = \frac{3}{2}R

Ισοβαρής:

Q_p = nC_p\Delta T

. Εδώ

Q_p = \Delta U + W = nC_V\Delta T + nR\Delta T

, οπότε

C_p = C_V + R

C_p

είναι πάντα μεγαλύτερη από τη

C_V

: στην ισοβαρή ένα μέρος της θερμότητας γίνεται έργο. Για μονατομικό αέριο

C_p = \frac{5}{2}R

και ο λόγος

\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{5}{3}

Επειδή η

U

εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία, η σχέση

\Delta U = nC_V\Delta T

ισχύει σε κάθε μεταβολή, όχι μόνο στην ισόχωρη.

Γραμμομοριακές Ειδικές Θερμότητες

Οι γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες CVC_VCV​ και CpC_pCp​

Μέθοδος: ασκήσεις με CVC_VCV​ και CpC_pCp​

Γραμμομοριακές Ειδικές Θερμότητες

Οι γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες CVC_VCV​ και CpC_pCp​

Μέθοδος: ασκήσεις με CVC_VCV​ και CpC_pCp​

Οι γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες $C_V$ και $C_p$

Μέθοδος: ασκήσεις με $C_V$ και $C_p$

Οι γραμμομοριακές ειδικές θερμότητες $C_V$ και $C_p$

Μέθοδος: ασκήσεις με $C_V$ και $C_p$