🔺

Δυναμική Ενέργεια Πολλών Φορτίων

U = Σ k·qᵢqⱼ/rᵢⱼ, έργο συγκρότησης συστήματος φορτίων

Γιατί με νοιάζει;

Μέσα σε έναν πυρήνα, τα πρωτόνια απέχουν μεταξύ τους περίπου $10^{-15} \ \text{m}$ και απωθούνται με τεράστιες δυνάμεις. Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός μόνο ζεύγους πρωτονίων σε αυτή την απόσταση είναι περίπου $2{,}3 \times 10^{-13} \ \text{J}$ — εκατομμύρια φορές περισσότερη από την ενέργεια μιας χημικής αντίδρασης ανά μόριο. Πώς υπολογίζεις την ενέργεια ενός συστήματος με πολλά φορτία;

Η ολική δυναμική ενέργεια

Για σύστημα πολλών σημειακών φορτίων, η ολική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια είναι το άθροισμα των ενεργειών όλων των ζευγών: $U = U_{12} + U_{13} + U_{23} + \dots$ , με $U_{ij} = k_c\frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ — ίση με το έργο που χρειάστηκε για να «στηθεί» το σύστημα από το άπειρο.

Απόδειξη: άθροισμα όλων των ζευγών

Η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος φορτίων ισούται με το έργο που πρέπει να προσφέρουμε για να φέρουμε τα φορτία ένα-ένα από το άπειρο στις θέσεις τους, πολύ αργά:

Το $q_1$ έρχεται χωρίς να συναντήσει κανένα πεδίο: $W_1 = 0$ .
Το $q_2$ έρχεται στο πεδίο του $q_1$ : $W_2 = k\frac{q_1q_2}{r_{12}}$ .
Το $q_3$ έρχεται στο πεδίο των $q_1$ και $q_2$ : $W_3 = k\frac{q_1q_3}{r_{13}} + k\frac{q_2q_3}{r_{23}}$ .

Άθροισμα: $U_{o\lambda} = k\frac{q_1q_2}{r_{12}} + k\frac{q_1q_3}{r_{13}} + k\frac{q_2q_3}{r_{23}}$ — ένας όρος για κάθε ζεύγος. Με $N$ φορτία τα ζεύγη είναι $\frac{N(N - 1)}{2}$ .

Αν $U_{o\lambda} > 0$ , χρειάστηκε να δώσουμε ενέργεια για να «στηθεί» το σύστημα· αν $U_{o\lambda} < 0$ , το σύστημα είναι δέσμιο και χρειάζεται ενέργεια για να διαλυθεί.

$U_{o\lambda} = \sum_{\text{ζεύγη}} k\frac{q_iq_j}{r_{ij}}, \qquad W_{\sigma\upsilon\gamma\kappa\rho\acute{o}\tau\eta\sigma\eta\varsigma} = U_{o\lambda}, \qquad \text{πλήθος ζευγών} = \frac{N(N - 1)}{2}$

Κόλπο μνήμης

Σκέψου τα φορτία σαν ανθρώπους σε μια γιορτή που χαιρετιούνται όλοι με όλους: κάθε χειραψία είναι ένας όρος $k\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$ . Τρία άτομα κάνουν $3$ χειραψίες, τέσσερα $6$ , πέντε $10$ — ποτέ δεν μετράς την ίδια χειραψία δύο φορές.

Παράδειγμα (δυναμική ενέργεια τριών φορτίων): Τα σημειακά φορτία $q_1 = +4 \ \mu\text{C}$ , $q_2 = +2 \ \mu\text{C}$ και $q_3 = -1 \ \mu\text{C}$ βρίσκονται στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου πλευράς $a = 0{,}3 \ \text{m}$ . Να βρεθεί η ολική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του συστήματος ( $k_c = 9 \cdot 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ ).

Λύση: Τρία φορτία σχηματίζουν τρία ζεύγη — ούτε δύο, ούτε έξι. Όλες οι αποστάσεις είναι $a$ , οπότε $\frac{k_c}{a} = \frac{9 \cdot 10^9}{0{,}3} = 3 \cdot 10^{10} \ \text{N} \cdot \text{m}/\text{C}^2$ . Τα φορτία μπαίνουν με το πρόσημό τους:

$U_{12} = 3 \cdot 10^{10} \cdot (4 \cdot 10^{-6})(2 \cdot 10^{-6}) = 0{,}24 \ \text{J}$
$U_{13} = 3 \cdot 10^{10} \cdot (4 \cdot 10^{-6})(-1 \cdot 10^{-6}) = -0{,}12 \ \text{J}$
$U_{23} = 3 \cdot 10^{10} \cdot (2 \cdot 10^{-6})(-1 \cdot 10^{-6}) = -0{,}06 \ \text{J}$

$U_{o\lambda} = 0{,}24 - 0{,}12 - 0{,}06 = 0{,}06 \ \text{J}$

Ερμηνεία: για να «στηθεί» το σύστημα φέρνοντας τα φορτία ένα-ένα από το άπειρο, πρέπει να δαπανηθεί συνολικά έργο $0{,}06 \ \text{J}$ . Αν η $U_{o\lambda}$ έβγαινε αρνητική, το σύστημα θα ήταν «δέσμιο» — θα χρειαζόταν ενέργεια για να διαλυθεί. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Τέσσερα σημειακά φορτία είναι στις κορυφές ενός τετραγώνου. Από πόσους όρους αποτελείται η ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος;

Μέθοδος: δυναμική ενέργεια συστήματος φορτίων

Μετάτρεψε φορτία σε C και αποστάσεις σε m· βρες τις αποστάσεις όλων των ζευγών (Πυθαγόρειο για διαγωνίους).
Γράψε έναν όρο $k\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$ για κάθε ζεύγος, με τα φορτία με το πρόσημό τους.
Άθροισε αλγεβρικά.
Έργο για να φέρεις ένα επιπλέον φορτίο $q$ από το άπειρο σε σημείο Α: $W = qV_A$ , όπου $V_A$ το δυναμικό των φορτίων που ήδη υπάρχουν.
Αν τα φορτία αφεθούν ελεύθερα, η ενέργεια $U_{o\lambda}$ (όταν είναι θετική) γίνεται κινητική — χρησιμοποίησε και τη διατήρηση της ορμής.

Άσκηση (τετράγωνο): Τέσσερα ίσα φορτία $q = +1 \ \mu\text{C}$ βρίσκονται στις κορυφές τετραγώνου πλευράς $a = 0{,}3 \ \text{m}$ . Πόση είναι η ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος; ( $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ , $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ )

Λύση: Έξι ζεύγη: $4$ σε απόσταση $a$ (πλευρές) και $2$ σε απόσταση $a\sqrt{2}$ (διαγώνιοι). Με $\frac{kq^2}{a} = \frac{9 \times 10^9 \cdot 10^{-12}}{0{,}3} = 0{,}03 \ \text{J}$ :

$U_{o\lambda} = \frac{kq^2}{a}\left(4 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = 0{,}03 \cdot (4 + 1{,}41) \approx 0{,}162 \ \text{J}$

Θετική: για να στηθεί το σύστημα από ομώνυμα φορτία χρειάστηκε να προσφέρουμε ενέργεια. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Η ολική δυναμική ενέργεια ενός συστήματος φορτίων βγαίνει αρνητική. Τι σημαίνει;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Δύο φορτία $q_1 = q_2 = +2 \ \mu\text{C}$ είναι ακλόνητα στα σημεία Α και Β, με $(AB) = 0{,}6 \ \text{m}$ . Φέρνουμε πολύ αργά από το άπειρο φορτίο $q_3 = +1 \ \mu\text{C}$ στο μέσο Μ του ΑΒ.

Δεδομένα: $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ , $(AM) = (MB) = 0{,}3 \ \text{m}$ .

Ζητούμενα: α) η αρχική δυναμική ενέργεια των $q_1$ , $q_2$ , β) το έργο που προσφέραμε για να φέρουμε το $q_3$ , γ) η ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος των τριών φορτίων, δ) η συνισταμένη δύναμη στο $q_3$ στη θέση Μ.

Λύση:

α) $U_{12} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{4 \times 10^{-12}}{0{,}6} = 0{,}06 \ \text{J}$ .

β) Δυναμικό στο Μ από τα δύο φορτία: $V_M = 2 \cdot 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{0{,}3} = 1{,}2 \times 10^5 \ \text{V}$ . Έργο: $W = q_3V_M = 10^{-6} \cdot 1{,}2 \times 10^5 = 0{,}12 \ \text{J}$ .

γ) $U_{o\lambda} = U_{12} + U_{13} + U_{23} = 0{,}06 + 0{,}06 + 0{,}06 = 0{,}18 \ \text{J}$ — ίσο με $0{,}06 + 0{,}12$ ✔.

δ) Οι δυνάμεις από τα $q_1$ και $q_2$ έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες φορές: $\Sigma F = 0$ — το $q_3$ ισορροπεί στο Μ.

Απάντηση: α) $0{,}06 \ \text{J}$ β) $0{,}12 \ \text{J}$ γ) $0{,}18 \ \text{J}$ δ) μηδέν

Γρήγορος έλεγχος

Στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου πλευράς $a$ βρίσκονται τα φορτία $+q$ , $+q$ και $-q$ . Η ολική δυναμική ενέργεια είναι:

Ήξερες ότι;

Στη σχάση ενός πυρήνα ουρανίου-235 απελευθερώνονται περίπου $200 \ \text{MeV}$ . Το μεγαλύτερο μέρος τους εμφανίζεται ως κινητική ενέργεια των δύο θραυσμάτων, που απωθούνται ηλεκτρικά: είναι ουσιαστικά η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια των πρωτονίων τους που μετατρέπεται σε κινητική.

Πρόκληση

Δύο μικρές σφαίρες, μάζας $1 \ \text{g}$ η καθεμία, έχουν φορτίο $+1 \ \mu\text{C}$ και συγκρατούνται σε απόσταση $0{,}1 \ \text{m}$ . Τις αφήνουμε ελεύθερες ταυτόχρονα. Με ποια ταχύτητα κινείται η καθεμία όταν απέχουν πολύ μεταξύ τους; (Μόνο ηλεκτρικές δυνάμεις, $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ )

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αρχική δυναμική ενέργεια: $U = 9 \times 10^9 \cdot \frac{10^{-12}}{0{,}1} = 0{,}09 \ \text{J}$ · τελικά $U \to 0$ .

Το σύστημα είναι μονωμένο και αρχικά ακίνητο: από τη διατήρηση της ορμής οι σφαίρες αποκτούν αντίθετες ορμές ίσου μέτρου, άρα (ίσες μάζες) ίσες ταχύτητες. Από τη διατήρηση της ενέργειας:

$2 \cdot \frac{1}{2}m\upsilon^2 = 0{,}09 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{\frac{0{,}09}{10^{-3}}} = \sqrt{90} \approx 9{,}5 \ \text{m/s}$

Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μοιράστηκε εξίσου στις δύο σφαίρες ως κινητική.

Συνηθισμένα λάθη

Ζεύγη και πρόσημα στη $U$ πολλών φορτίων: τρία φορτία δίνουν τρεις όρους, και τα φορτία μπαίνουν με το πρόσημό τους — όχι με απόλυτες τιμές.
Διπλομέτρηση ζευγών: το ζεύγος $(1,2)$ είναι το ίδιο με το $(2,1)$ — γράφεται μία φορά.
Ξεχασμένες διαγώνιοι: σε τετράγωνο υπάρχουν και δύο ζεύγη σε απόσταση $a\sqrt{2}$ .
Έργο με λάθος πρόσημο: το έργο που προσφέρουμε για να φέρουμε φορτίο από το άπειρο είναι $+qV_A$ · το έργο της δύναμης του πεδίου είναι $-qV_A$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ολική δυναμική ενέργεια: άθροισμα όλων των ζευγών $k\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$ , με τα πρόσημα των φορτίων
Ισούται με το έργο για να «στηθεί» το σύστημα φέρνοντας τα φορτία ένα-ένα από το άπειρο
$N$ φορτία → $\frac{N(N - 1)}{2}$ ζεύγη
$U_{o\lambda} > 0$ : χρειάστηκε ενέργεια για τη συγκρότηση· $U_{o\lambda} < 0$ : δέσμιο σύστημα

🔺

Δυναμική Ενέργεια Πολλών Φορτίων

U = Σ k·qᵢqⱼ/rᵢⱼ, έργο συγκρότησης συστήματος φορτίων

Γιατί με νοιάζει;

Η ολική δυναμική ενέργεια

Απόδειξη: άθροισμα όλων των ζευγών

Το $q_1$ έρχεται χωρίς να συναντήσει κανένα πεδίο: $W_1 = 0$ .
Το $q_2$ έρχεται στο πεδίο του $q_1$ : $W_2 = k\frac{q_1q_2}{r_{12}}$ .
Το $q_3$ έρχεται στο πεδίο των $q_1$ και $q_2$ : $W_3 = k\frac{q_1q_3}{r_{13}} + k\frac{q_2q_3}{r_{23}}$ .

Κόλπο μνήμης

$U_{12} = 3 \cdot 10^{10} \cdot (4 \cdot 10^{-6})(2 \cdot 10^{-6}) = 0{,}24 \ \text{J}$
$U_{13} = 3 \cdot 10^{10} \cdot (4 \cdot 10^{-6})(-1 \cdot 10^{-6}) = -0{,}12 \ \text{J}$
$U_{23} = 3 \cdot 10^{10} \cdot (2 \cdot 10^{-6})(-1 \cdot 10^{-6}) = -0{,}06 \ \text{J}$

$U_{o\lambda} = 0{,}24 - 0{,}12 - 0{,}06 = 0{,}06 \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: δυναμική ενέργεια συστήματος φορτίων

Μετάτρεψε φορτία σε C και αποστάσεις σε m· βρες τις αποστάσεις όλων των ζευγών (Πυθαγόρειο για διαγωνίους).
Γράψε έναν όρο $k\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$ για κάθε ζεύγος, με τα φορτία με το πρόσημό τους.
Άθροισε αλγεβρικά.
Έργο για να φέρεις ένα επιπλέον φορτίο $q$ από το άπειρο σε σημείο Α: $W = qV_A$ , όπου $V_A$ το δυναμικό των φορτίων που ήδη υπάρχουν.
Αν τα φορτία αφεθούν ελεύθερα, η ενέργεια $U_{o\lambda}$ (όταν είναι θετική) γίνεται κινητική — χρησιμοποίησε και τη διατήρηση της ορμής.

$U_{o\lambda} = \frac{kq^2}{a}\left(4 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = 0{,}03 \cdot (4 + 1{,}41) \approx 0{,}162 \ \text{J}$

Θετική: για να στηθεί το σύστημα από ομώνυμα φορτία χρειάστηκε να προσφέρουμε ενέργεια. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Η ολική δυναμική ενέργεια ενός συστήματος φορτίων βγαίνει αρνητική. Τι σημαίνει;

Δεδομένα: $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ , $(AM) = (MB) = 0{,}3 \ \text{m}$ .

Λύση:

α) $U_{12} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{4 \times 10^{-12}}{0{,}6} = 0{,}06 \ \text{J}$ .

γ) $U_{o\lambda} = U_{12} + U_{13} + U_{23} = 0{,}06 + 0{,}06 + 0{,}06 = 0{,}18 \ \text{J}$ — ίσο με $0{,}06 + 0{,}12$ ✔.

δ) Οι δυνάμεις από τα $q_1$ και $q_2$ έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες φορές: $\Sigma F = 0$ — το $q_3$ ισορροπεί στο Μ.

Απάντηση: α) $0{,}06 \ \text{J}$ β) $0{,}12 \ \text{J}$ γ) $0{,}18 \ \text{J}$ δ) μηδέν

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αρχική δυναμική ενέργεια: $U = 9 \times 10^9 \cdot \frac{10^{-12}}{0{,}1} = 0{,}09 \ \text{J}$ · τελικά $U \to 0$ .

$2 \cdot \frac{1}{2}m\upsilon^2 = 0{,}09 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{\frac{0{,}09}{10^{-3}}} = \sqrt{90} \approx 9{,}5 \ \text{m/s}$

Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μοιράστηκε εξίσου στις δύο σφαίρες ως κινητική.

Συνηθισμένα λάθη

Ζεύγη και πρόσημα στη $U$ πολλών φορτίων: τρία φορτία δίνουν τρεις όρους, και τα φορτία μπαίνουν με το πρόσημό τους — όχι με απόλυτες τιμές.
Διπλομέτρηση ζευγών: το ζεύγος $(1,2)$ είναι το ίδιο με το $(2,1)$ — γράφεται μία φορά.
Ξεχασμένες διαγώνιοι: σε τετράγωνο υπάρχουν και δύο ζεύγη σε απόσταση $a\sqrt{2}$ .
Έργο με λάθος πρόσημο: το έργο που προσφέρουμε για να φέρουμε φορτίο από το άπειρο είναι $+qV_A$ · το έργο της δύναμης του πεδίου είναι $-qV_A$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ολική δυναμική ενέργεια: άθροισμα όλων των ζευγών $k\frac{q_iq_j}{r_{ij}}$ , με τα πρόσημα των φορτίων
Ισούται με το έργο για να «στηθεί» το σύστημα φέρνοντας τα φορτία ένα-ένα από το άπειρο
$N$ φορτία → $\frac{N(N - 1)}{2}$ ζεύγη
$U_{o\lambda} > 0$ : χρειάστηκε ενέργεια για τη συγκρότηση· $U_{o\lambda} < 0$ : δέσμιο σύστημα