🏁

Η Μηχανή του Carnot

Κύκλος Carnot, μέγιστη απόδοση e = 1 − T_c/T_h

Γιατί με νοιάζει;

Ένας πυρηνικός σταθμός μετατρέπει σε ηλεκτρική ενέργεια μόνο περίπου το $33\%$ της θερμότητας του αντιδραστήρα· το υπόλοιπο καταλήγει στη θάλασσα ή στους πύργους ψύξης. Κακοί μηχανικοί; Όχι. Ο ατμός του δουλεύει ανάμεσα σε περίπου $590 \ \text{K}$ και $300 \ \text{K}$ , και καμία μηχανή στον κόσμο δεν μπορεί να ξεπεράσει ένα όριο που καθορίζουν μόνο αυτές οι δύο θερμοκρασίες. Το όριο το βρήκε ο Sadi Carnot.

Ο κύκλος και η απόδοση του Carnot

Η μηχανή Carnot είναι μια ιδανική μηχανή που λειτουργεί αντιστρεπτά ανάμεσα σε δύο δεξαμενές με θερμοκρασίες $T_h$ και $T_c$ . Ο κύκλος της αποτελείται από δύο ισόθερμες και δύο αδιαβατικές μεταβολές:

Ισόθερμη εκτόνωση στη $T_h$ — απορροφά $Q_h$ .
Αδιαβατική εκτόνωση — ψύχεται από $T_h$ σε $T_c$ .
Ισόθερμη συμπίεση στη $T_c$ — αποβάλλει $|Q_c|$ .
Αδιαβατική συμπίεση — θερμαίνεται πίσω στη $T_h$ .

Για τη μηχανή Carnot ισχύει $\frac{|Q_c|}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h}$ , οπότε η απόδοσή της είναι

$e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$

Συμπεράσματα:

Η $e_C$ εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες των δεξαμενών, όχι από το αέριο ή την κατασκευή.
Καμία μηχανή που λειτουργεί ανάμεσα στις ίδιες θερμοκρασίες δεν έχει μεγαλύτερη απόδοση από τη μηχανή Carnot.
$e_C = 1$ θα ήθελε $T_c = 0 \ \text{K}$ , που δεν είναι εφικτό — άλλη μια μορφή του 2ου νόμου.

$e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad \frac{|Q_c|}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h} \ \ (\text{μόνο Carnot}), \qquad e_{\pi\rho\alpha\gamma\mu} \leq e_C$

Ήξερες ότι;

Ο Sadi Carnot βρήκε το ανώτατο όριο απόδοσης κάθε θερμικής μηχανής το 1824, μόλις 28 ετών, σε ένα βιβλίο για τις ατμομηχανές — πριν καν διατυπωθεί ο 1ος θερμοδυναμικός νόμος! Μάλιστα τότε πίστευε ακόμη ότι η θερμότητα είναι ένα αβαρές «ρευστό», το θερμιδικό. Το συμπέρασμά του όμως άντεξε μέχρι σήμερα.

Κόλπο μνήμης

«Ένα μείον κρύο προς ζεστό»: $e_C = 1 - \frac{T_{\kappa\rho\acute{\upsilon}o}}{T_{\zeta\varepsilon\sigma\tau\acute{o}}}$ , πάντα σε Kelvin. Όσο πιο κρύα η ψυχρή δεξαμενή και όσο πιο ζεστή η θερμή, τόσο πιο κοντά στη μονάδα — ποτέ όμως ίση.

Μέθοδος: ασκήσεις μηχανής Carnot

Μετάτρεψε τις θερμοκρασίες σε Kelvin: $T = \theta + 273$ .
$e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$ .
Για μηχανή Carnot: $W = e_CQ_h$ και $|Q_c| = Q_h\frac{T_c}{T_h}$ .
Για πραγματική μηχανή: σύγκρινε την απόδοσή της με την $e_C$ — αν $e > e_C$ , η μηχανή είναι αδύνατη.
Για να αυξηθεί η απόδοση: λύσε την $e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$ ως προς τη θερμοκρασία που αλλάζει.

Παράδειγμα: Μηχανή Carnot λειτουργεί ανάμεσα σε $327 \ ^{\circ}\text{C}$ και $27 \ ^{\circ}\text{C}$ . Πόση είναι η απόδοσή της;

Λύση: $T_h = 600 \ \text{K}$ , $T_c = 300 \ \text{K}$ :

$e_C = 1 - \frac{300}{600} = 0{,}5 = 50\%$

Αν έβαζες βαθμούς Κελσίου θα έβρισκες $1 - \frac{27}{327} \approx 92\%$ — εντελώς λάθος. ✔

Άσκηση: Θερμική μηχανή απορροφά σε κάθε κύκλο $Q_h = 1000\ J$ από τη θερμή δεξαμενή ( $T_h = 500\ K$ ) και αποβάλλει $|Q_c| = 600\ J$ στην ψυχρή ( $T_c = 250\ K$ ). (α) Ποιο έργο παράγει ανά κύκλο και ποια είναι η απόδοσή της; (β) Ποια θα ήταν η απόδοση μηχανής Carnot στις ίδιες θερμοκρασίες;

Λύση:

(α) $W = Q_h - |Q_c| = 1000 - 600 = 400\ J$ και $e = \frac{W}{Q_h} = \frac{400}{1000} = 0{,}4$ , δηλαδή 40%.

(β) $e_{Carnot} = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{250}{500} = 0{,}5$ , δηλαδή 50%.

Η πραγματική μηχανή λειτουργεί στο $\frac{0{,}4}{0{,}5} = 0{,}8$ του θεωρητικού ορίου — καμία μηχανή δεν μπορεί να ξεπεράσει την απόδοση Carnot.

Γρήγορος έλεγχος

Μηχανή Carnot λειτουργεί ανάμεσα σε $600 \ \text{K}$ και $300 \ \text{K}$ . Ποια αλλαγή αυξάνει περισσότερο την απόδοσή της;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Μηχανή Carnot λειτουργεί ανάμεσα σε δεξαμενές $400 \ \text{K}$ και $300 \ \text{K}$ και απορροφά $2000 \ \text{J}$ σε κάθε κύκλο.

Δεδομένα: $T_h = 400 \ \text{K}$ , $T_c = 300 \ \text{K}$ , $Q_h = 2000 \ \text{J}$ .

Ζητούμενα: α) η απόδοσή της, β) το έργο και η θερμότητα που αποβάλλει ανά κύκλο, γ) σε ποια θερμοκρασία πρέπει να ανέβει η θερμή δεξαμενή για απόδοση $40\%$ (με ίδια $T_c$ ), δ) σε ποια θερμοκρασία πρέπει να πέσει η ψυχρή για την ίδια απόδοση (με ίδια $T_h$ ).

Λύση:

α) $e_C = 1 - \frac{300}{400} = 0{,}25 = 25\%$ .

β) $W = 0{,}25 \cdot 2000 = 500 \ \text{J}$ και $|Q_c| = 1500 \ \text{J}$ (έλεγχος: $\frac{1500}{2000} = \frac{300}{400}$ ✔).

γ) $0{,}4 = 1 - \frac{300}{T_h'} \Rightarrow T_h' = \frac{300}{0{,}6} = 500 \ \text{K}$ .

δ) $0{,}4 = 1 - \frac{T_c'}{400} \Rightarrow T_c' = 240 \ \text{K}$ .

Απάντηση: α) $25\%$ β) $500 \ \text{J}$ και $1500 \ \text{J}$ γ) $500 \ \text{K}$ δ) $240 \ \text{K}$

Γρήγορος έλεγχος

Εφευρέτης ισχυρίζεται ότι η μηχανή του, που λειτουργεί μεταξύ θερμοκρασιών $400 \ \text{K}$ και $300 \ \text{K}$ , έχει απόδοση $30\%$ . Ο ισχυρισμός:

Γρήγορος έλεγχος

Μηχανή Carnot λειτουργεί ανάμεσα σε $127 \ ^{\circ}\text{C}$ και $27 \ ^{\circ}\text{C}$ . Η απόδοσή της είναι:

Πρόκληση

Δύο μηχανές Carnot συνδέονται «σε σειρά»: η πρώτη λειτουργεί ανάμεσα σε $800 \ \text{K}$ και $400 \ \text{K}$ , και όλη η θερμότητα που αποβάλλει στα $400 \ \text{K}$ τροφοδοτεί τη δεύτερη, που λειτουργεί ανάμεσα σε $400 \ \text{K}$ και $200 \ \text{K}$ . Πόση είναι η συνολική απόδοση του συστήματος; Θα μπορούσε μία μόνο μηχανή Carnot να κάνει καλύτερα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$e_1 = 1 - \frac{400}{800} = 0{,}5$ και $e_2 = 1 - \frac{200}{400} = 0{,}5$ . Για $Q_h = 100 \ \text{J}$ : η πρώτη δίνει $W_1 = 50 \ \text{J}$ και αποβάλλει $50 \ \text{J}$ · η δεύτερη παίρνει τα $50 \ \text{J}$ και δίνει $W_2 = 25 \ \text{J}$ . Σύνολο $75 \ \text{J}$ :

$e_{o\lambda} = \frac{75}{100} = 75\%$

Μία μηχανή Carnot ανάμεσα σε $800 \ \text{K}$ και $200 \ \text{K}$ θα είχε $e_C = 1 - \frac{200}{800} = 75\%$ — ακριβώς το ίδιο. Το «σπάσιμο» σε δύο στάδια δεν ξεπερνά το όριο Carnot: αυτό εξαρτάται μόνο από την ακραία θερμή και την ακραία ψυχρή θερμοκρασία.

Συνηθισμένα λάθη

Απόδοση Carnot σε $^{\circ}\text{C}$ : το $1 - \frac{T_c}{T_h}$ θέλει Kelvin. Διόρθωση: $T = \theta + 273$ πριν από τη διαίρεση.
$\frac{|Q_c|}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h}$ σε κάθε μηχανή: ισχύει μόνο για τη μηχανή Carnot· για πραγματική μηχανή $\frac{|Q_c|}{Q_h} > \frac{T_c}{T_h}$ .
«Η μηχανή Carnot έχει απόδοση $100\%$ »: έχει τη μέγιστη δυνατή απόδοση για δεδομένες θερμοκρασίες, πάντα μικρότερη της μονάδας.
Ξεχασμένη αφαίρεση: $e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$ , όχι $\frac{T_c}{T_h}$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Κύκλος Carnot: δύο ισόθερμες και δύο αδιαβατικές αντιστρεπτές μεταβολές
Απόδοση: $e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}$ , με θερμοκρασίες σε Kelvin
Εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες των δεξαμενών
Καμία μηχανή ανάμεσα στις ίδιες θερμοκρασίες δεν ξεπερνά την $e_C$ — και $e_C < 1$

Ο κύκλος και η απόδοση του Carnot

Η μηχανή Carnot είναι μια ιδανική μηχανή που λειτουργεί αντιστρεπτά ανάμεσα σε δύο δεξαμενές με θερμοκρασίες

T_h

και

T_c

. Ο κύκλος της αποτελείται από δύο ισόθερμες και δύο αδιαβατικές μεταβολές:

Ισόθερμη εκτόνωση στη

T_h

— απορροφά

Q_h

Αδιαβατική εκτόνωση — ψύχεται από

T_h

σε

T_c

Ισόθερμη συμπίεση στη

T_c

— αποβάλλει

|Q_c|

Αδιαβατική συμπίεση — θερμαίνεται πίσω στη

T_h

Για τη μηχανή Carnot ισχύει

\frac{|Q_c|}{Q_h} = \frac{T_c}{T_h}

, οπότε η απόδοσή της είναι

e_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}

Συμπεράσματα:

e_C

εξαρτάται μόνο από τις θερμοκρασίες των δεξαμενών, όχι από το αέριο ή την κατασκευή.

Καμία μηχανή που λειτουργεί ανάμεσα στις ίδιες θερμοκρασίες δεν έχει μεγαλύτερη απόδοση από τη μηχανή Carnot.

e_C = 1

θα ήθελε

T_c = 0 \ \text{K}

, που δεν είναι εφικτό — άλλη μια μορφή του 2ου νόμου.