🚂

Θερμικές Μηχανές & 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος

Κυκλική λειτουργία, W = Q_h − |Q_c|, απόδοση e, διατυπώσεις του 2ου νόμου

Πόση από τη βενζίνη κινεί πραγματικά το αυτοκίνητο;

Από την ενέργεια της βενζίνης, ένας κινητήρας αυτοκινήτου μετατρέπει σε κίνηση μόνο περίπου το $25$ – $35\%$ . Το υπόλοιπο φεύγει ως θερμότητα από την εξάτμιση και το ψυγείο. Και δεν φταίει μόνο η κατασκευή: ένα ανώτατο όριο το επιβάλλει ο ίδιος ο 2ος θερμοδυναμικός νόμος. Εδώ θα μάθεις να κάνεις το «λογιστήριο» της ενέργειας ενός αερίου — θερμότητα, έργο, εσωτερική ενέργεια — και να υπολογίζεις την απόδοση μιας μηχανής.

Θερμικές μηχανές και απόδοση

Μια θερμική μηχανή λειτουργεί κυκλικά: απορροφά θερμότητα $Q_h$ από τη θερμή δεξαμενή, παράγει έργο $W$ και αποβάλλει $|Q_c|$ στην ψυχρή. Επειδή στον κύκλο $\Delta U = 0$ , ισχύει $W = Q_h - |Q_c|$ .

$e = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{|Q_c|}{Q_h}$

Ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος λέει ότι καμία μηχανή δεν μετατρέπει όλη τη θερμότητα σε έργο ( $e < 1$ ). Πόσο κοντά στο $100\%$ μπορεί να φτάσει μια μηχανή το καθορίζουν μόνο οι θερμοκρασίες των δεξαμενών — θα το δεις στη μηχανή Carnot.

Οι διατυπώσεις του 2ου θερμοδυναμικού νόμου

Ο 1ος νόμος λέει ότι η ενέργεια διατηρείται. Δεν λέει όμως προς ποια κατεύθυνση γίνονται οι μετατροπές. Αυτό το κάνει ο 2ος νόμος, με δύο ισοδύναμες διατυπώσεις:

Kelvin–Planck: είναι αδύνατο να κατασκευαστεί θερμική μηχανή που, λειτουργώντας κυκλικά, μετατρέπει όλη τη θερμότητα που απορροφά σε έργο. Πάντα ένα μέρος $|Q_c|$ αποβάλλεται σε ψυχρότερη δεξαμενή, άρα $e < 1$ .
Clausius: η θερμότητα ρέει αυθόρμητα μόνο από το θερμότερο στο ψυχρότερο σώμα. Για να μεταφερθεί από ψυχρό σε θερμό (ψυγείο, κλιματιστικό) πρέπει να δαπανηθεί έργο.

Ο 2ος νόμος δεν είναι περιορισμός της τεχνολογίας μας: καμία μηχανή, όσο τέλεια κι αν κατασκευαστεί, δεν μπορεί να τον παραβιάσει.

$W = Q_h - |Q_c|, \qquad e = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{|Q_c|}{Q_h}, \qquad e < 1$

Κόλπο μνήμης

Ο ίδιος ο Carnot σκεφτόταν τη μηχανή σαν νερόμυλο: το νερό (η θερμότητα) πέφτει από ψηλά (θερμή δεξαμενή) χαμηλά (ψυχρή δεξαμενή) και γυρίζει τον τροχό (έργο). Όπως το νερό δεν «εξαφανίζεται» στον τροχό αλλά συνεχίζει προς τα κάτω, έτσι και ένα μέρος της θερμότητας καταλήγει πάντα στην ψυχρή δεξαμενή.

Μέθοδος: ασκήσεις θερμικών μηχανών

Φτιάξε τον πίνακα $Q$ – $\Delta U$ – $W$ για κάθε μεταβολή του κύκλου.
$Q_h$ = άθροισμα μόνο των θετικών θερμοτήτων (όσα απορροφά το αέριο)· $|Q_c|$ = άθροισμα των απόλυτων τιμών των αρνητικών.
Ωφέλιμο έργο: $W = Q_h - |Q_c|$ = εμβαδόν του κύκλου.
Απόδοση: $e = \frac{W}{Q_h}$ — πάντα μικρότερη της μονάδας.
Για μηχανές με ισχύ: έργο ανά κύκλο × κύκλοι ανά δευτερόλεπτο = ισχύς.

Παράδειγμα (κινητήρας αυτοκινήτου): Κινητήρας αποδίδει μηχανική ισχύ $30 \ \text{kW}$ με απόδοση $30\%$ . Πόση θερμότητα παίρνει κάθε δευτερόλεπτο από την καύση και πόση αποβάλλει;

Λύση: Σε $1 \ \text{s}$ : $W = 30 \ \text{kJ}$ . Από $e = \frac{W}{Q_h}$ : $Q_h = \frac{30}{0{,}3} = 100 \ \text{kJ}$ .

$|Q_c| = Q_h - W = 70 \ \text{kJ}$ — περισσότερο από το διπλάσιο του χρήσιμου έργου φεύγει ως θερμότητα από την εξάτμιση και το ψυγείο. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σύμφωνα με τον 2ο θερμοδυναμικό νόμο, μια θερμική μηχανή που λειτουργεί κυκλικά:

Άσκηση: Θερμική μηχανή απορροφά σε κάθε κύκλο $2000 \ \text{J}$ και έχει απόδοση $25\%$ . α) Πόσο έργο παράγει και πόση θερμότητα αποβάλλει ανά κύκλο; β) Πόση είναι η ισχύς της αν εκτελεί $20$ κύκλους το δευτερόλεπτο;

Λύση: α) $W = eQ_h = 0{,}25 \cdot 2000 = 500 \ \text{J}$ και $|Q_c| = 2000 - 500 = 1500 \ \text{J}$ .

β) $P = 20 \cdot 500 = 10\,000 \ \text{W} = 10 \ \text{kW}$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Η θερμότητα ρέει αυθόρμητα:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Μονατομικό ιδανικό αέριο εκτελεί τον κύκλο ΑΒΓΔΑ: ΑΒ ισόχωρη θέρμανση, ΒΓ ισοβαρής εκτόνωση, ΓΔ ισόχωρη ψύξη, ΔΑ ισοβαρής συμπίεση.

Δεδομένα: $p_A = p_\Delta = 10^5 \ \text{Pa}$ , $p_B = p_\Gamma = 3 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ , $V_A = V_B = 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $V_\Gamma = V_\Delta = 3 \cdot 10^{-3} \ \text{m}^3$ .

Ζητούμενο: (α) $Q$ , $\Delta U$ , $W$ για κάθε μεταβολή, (β) το ολικό έργο του κύκλου, (γ) η απόδοση της μηχανής και σύγκριση με μηχανή Carnot που λειτουργεί μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης θερμοκρασίας του κύκλου.

Λύση: Τα γινόμενα $pV$ (ανάλογα της $T$ ) είναι: Α $100 \ \text{J}$ , Β $300 \ \text{J}$ , Γ $900 \ \text{J}$ , Δ $300 \ \text{J}$ . Για μονατομικό αέριο $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$ .

(α)

ΑΒ: $W = 0$ , $\Delta U = \frac{3}{2}(300 - 100) = 300 \ \text{J}$ , $Q = 300 \ \text{J}$
ΒΓ: $W = 3 \cdot 10^5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 600 \ \text{J}$ , $\Delta U = \frac{3}{2}(900 - 300) = 900 \ \text{J}$ , $Q = 1500 \ \text{J}$
ΓΔ: $W = 0$ , $\Delta U = \frac{3}{2}(300 - 900) = -900 \ \text{J}$ , $Q = -900 \ \text{J}$
ΔΑ: $W = 10^5 \cdot (-2 \cdot 10^{-3}) = -200 \ \text{J}$ , $\Delta U = \frac{3}{2}(100 - 300) = -300 \ \text{J}$ , $Q = -500 \ \text{J}$

Έλεγχος: $\sum \Delta U = 300 + 900 - 900 - 300 = 0$ ✔

(β) $W_{o\lambda} = 600 - 200 = 400 \ \text{J}$ — ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου $(3 - 1) \cdot 10^5 \cdot (3 - 1) \cdot 10^{-3} = 400 \ \text{J}$ ✔

(γ) Απορροφούμενη θερμότητα: $Q_h = 300 + 1500 = 1800 \ \text{J}$ , άρα $e = \frac{W}{Q_h} = \frac{400}{1800} = \frac{2}{9} \approx 22\%$ . Η μέγιστη θερμοκρασία είναι στο Γ και η ελάχιστη στο Α, με $\frac{T_\Gamma}{T_A} = \frac{900}{100} = 9$ , οπότε $e_{Carnot} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 89\%$ .

Απάντηση: $W_{o\lambda} = 400 \ \text{J}$ και $e \approx 22\% < e_{Carnot} \approx 89\%$ , όπως επιβάλλει ο 2ος θερμοδυναμικός νόμος.

Γρήγορος έλεγχος

Θερμική μηχανή παράγει έργο $300 \ \text{J}$ ανά κύκλο και αποβάλλει $700 \ \text{J}$ στην ψυχρή δεξαμενή. Η απόδοσή της είναι:

Ήξερες ότι;

Η ατμομηχανή του Thomas Newcomen (1712), η πρώτη που χρησιμοποιήθηκε ευρέως για την άντληση νερού από ορυχεία, είχε απόδοση περίπου $0{,}5\%$ : από κάθε $200$ μονάδες ενέργειας του κάρβουνου, μόνο μία γινόταν χρήσιμο έργο. Οι βελτιώσεις του James Watt τετραπλασίασαν περίπου την απόδοση.

Πρόκληση

Ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει στον αυτοκινητόδρομο και ο κινητήρας του αποδίδει σταθερή μηχανική ισχύ $20 \ \text{kW}$ με απόδοση $25\%$ . Η θερμότητα καύσης της βενζίνης είναι περίπου $4{,}6 \times 10^7 \ \text{J/kg}$ και η πυκνότητά της $0{,}75 \ \text{kg/L}$ . Πόσα λίτρα βενζίνης καίει σε μία ώρα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Θερμότητα ανά δευτερόλεπτο: $\frac{20 \ \text{kW}}{0{,}25} = 80 \ \text{kW}$ . Σε μία ώρα:

$Q_h = 80\,000 \cdot 3600 = 2{,}88 \times 10^8 \ \text{J}$

Μάζα βενζίνης: $\frac{2{,}88 \times 10^8}{4{,}6 \times 10^7} \approx 6{,}3 \ \text{kg}$ , δηλαδή $\frac{6{,}3}{0{,}75} \approx 8{,}4 \ \text{L}$ .

Από αυτά, τα $\frac{3}{4}$ (περίπου $6{,}3 \ \text{L}$ ) «ζεσταίνουν» απλώς το περιβάλλον — το τίμημα του 2ου θερμοδυναμικού νόμου και της κατασκευής του κινητήρα.

Συνηθισμένα λάθη

$Q_h$ ως άθροισμα όλων των θερμοτήτων: στο $Q_h$ μπαίνουν μόνο οι θετικές θερμότητες (όσα απορροφά το αέριο).
Απόδοση με λάθος παρονομαστή: $e = \frac{W}{Q_h}$ , όχι $\frac{W}{|Q_c|}$ .
«Χωρίς τριβές, $e = 100\%$ »: ο 2ος νόμος απαγορεύει το $100\%$ ακόμη και σε ιδανική μηχανή.
Ξεχασμένο $\Delta U = 0$ στον κύκλο: σε κάθε πλήρη κύκλο $W_{o\lambda} = Q_h - |Q_c|$ ακριβώς επειδή $\Delta U = 0$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θερμική μηχανή: λειτουργεί κυκλικά, απορροφά $Q_h$ , παράγει $W$ και αποβάλλει $|Q_c|$
$W = Q_h - |Q_c|$ και απόδοση $e = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{|Q_c|}{Q_h}$
2ος νόμος (Kelvin–Planck): καμία κυκλική μηχανή δεν μετατρέπει όλη τη θερμότητα σε έργο, $e < 1$
2ος νόμος (Clausius): η θερμότητα ρέει αυθόρμητα μόνο από θερμό σε ψυχρό

🚂

Θερμικές Μηχανές & 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος

Κυκλική λειτουργία, W = Q_h − |Q_c|, απόδοση e, διατυπώσεις του 2ου νόμου

Πόση από τη βενζίνη κινεί πραγματικά το αυτοκίνητο;

Θερμικές μηχανές και απόδοση

$e = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{|Q_c|}{Q_h}$

Οι διατυπώσεις του 2ου θερμοδυναμικού νόμου

Kelvin–Planck: είναι αδύνατο να κατασκευαστεί θερμική μηχανή που, λειτουργώντας κυκλικά, μετατρέπει όλη τη θερμότητα που απορροφά σε έργο. Πάντα ένα μέρος $|Q_c|$ αποβάλλεται σε ψυχρότερη δεξαμενή, άρα $e < 1$ .
Clausius: η θερμότητα ρέει αυθόρμητα μόνο από το θερμότερο στο ψυχρότερο σώμα. Για να μεταφερθεί από ψυχρό σε θερμό (ψυγείο, κλιματιστικό) πρέπει να δαπανηθεί έργο.

$W = Q_h - |Q_c|, \qquad e = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{|Q_c|}{Q_h}, \qquad e < 1$

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: ασκήσεις θερμικών μηχανών

Φτιάξε τον πίνακα $Q$ – $\Delta U$ – $W$ για κάθε μεταβολή του κύκλου.
$Q_h$ = άθροισμα μόνο των θετικών θερμοτήτων (όσα απορροφά το αέριο)· $|Q_c|$ = άθροισμα των απόλυτων τιμών των αρνητικών.
Ωφέλιμο έργο: $W = Q_h - |Q_c|$ = εμβαδόν του κύκλου.
Απόδοση: $e = \frac{W}{Q_h}$ — πάντα μικρότερη της μονάδας.
Για μηχανές με ισχύ: έργο ανά κύκλο × κύκλοι ανά δευτερόλεπτο = ισχύς.

Λύση: Σε $1 \ \text{s}$ : $W = 30 \ \text{kJ}$ . Από $e = \frac{W}{Q_h}$ : $Q_h = \frac{30}{0{,}3} = 100 \ \text{kJ}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σύμφωνα με τον 2ο θερμοδυναμικό νόμο, μια θερμική μηχανή που λειτουργεί κυκλικά:

Λύση: α) $W = eQ_h = 0{,}25 \cdot 2000 = 500 \ \text{J}$ και $|Q_c| = 2000 - 500 = 1500 \ \text{J}$ .

β) $P = 20 \cdot 500 = 10\,000 \ \text{W} = 10 \ \text{kW}$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Η θερμότητα ρέει αυθόρμητα:

Δεδομένα: $p_A = p_\Delta = 10^5 \ \text{Pa}$ , $p_B = p_\Gamma = 3 \cdot 10^5 \ \text{Pa}$ , $V_A = V_B = 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $V_\Gamma = V_\Delta = 3 \cdot 10^{-3} \ \text{m}^3$ .

(α)

ΑΒ: $W = 0$ , $\Delta U = \frac{3}{2}(300 - 100) = 300 \ \text{J}$ , $Q = 300 \ \text{J}$
ΒΓ: $W = 3 \cdot 10^5 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 600 \ \text{J}$ , $\Delta U = \frac{3}{2}(900 - 300) = 900 \ \text{J}$ , $Q = 1500 \ \text{J}$
ΓΔ: $W = 0$ , $\Delta U = \frac{3}{2}(300 - 900) = -900 \ \text{J}$ , $Q = -900 \ \text{J}$
ΔΑ: $W = 10^5 \cdot (-2 \cdot 10^{-3}) = -200 \ \text{J}$ , $\Delta U = \frac{3}{2}(100 - 300) = -300 \ \text{J}$ , $Q = -500 \ \text{J}$

Έλεγχος: $\sum \Delta U = 300 + 900 - 900 - 300 = 0$ ✔

(β) $W_{o\lambda} = 600 - 200 = 400 \ \text{J}$ — ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου $(3 - 1) \cdot 10^5 \cdot (3 - 1) \cdot 10^{-3} = 400 \ \text{J}$ ✔

Απάντηση: $W_{o\lambda} = 400 \ \text{J}$ και $e \approx 22\% < e_{Carnot} \approx 89\%$ , όπως επιβάλλει ο 2ος θερμοδυναμικός νόμος.

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Θερμότητα ανά δευτερόλεπτο: $\frac{20 \ \text{kW}}{0{,}25} = 80 \ \text{kW}$ . Σε μία ώρα:

$Q_h = 80\,000 \cdot 3600 = 2{,}88 \times 10^8 \ \text{J}$

Μάζα βενζίνης: $\frac{2{,}88 \times 10^8}{4{,}6 \times 10^7} \approx 6{,}3 \ \text{kg}$ , δηλαδή $\frac{6{,}3}{0{,}75} \approx 8{,}4 \ \text{L}$ .

Συνηθισμένα λάθη

$Q_h$ ως άθροισμα όλων των θερμοτήτων: στο $Q_h$ μπαίνουν μόνο οι θετικές θερμότητες (όσα απορροφά το αέριο).
Απόδοση με λάθος παρονομαστή: $e = \frac{W}{Q_h}$ , όχι $\frac{W}{|Q_c|}$ .
«Χωρίς τριβές, $e = 100\%$ »: ο 2ος νόμος απαγορεύει το $100\%$ ακόμη και σε ιδανική μηχανή.
Ξεχασμένο $\Delta U = 0$ στον κύκλο: σε κάθε πλήρη κύκλο $W_{o\lambda} = Q_h - |Q_c|$ ακριβώς επειδή $\Delta U = 0$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θερμική μηχανή: λειτουργεί κυκλικά, απορροφά $Q_h$ , παράγει $W$ και αποβάλλει $|Q_c|$
$W = Q_h - |Q_c|$ και απόδοση $e = \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{|Q_c|}{Q_h}$
2ος νόμος (Kelvin–Planck): καμία κυκλική μηχανή δεν μετατρέπει όλη τη θερμότητα σε έργο, $e < 1$
2ος νόμος (Clausius): η θερμότητα ρέει αυθόρμητα μόνο από θερμό σε ψυχρό