📊

Ο 1ος Νόμος στις Βασικές Μεταβολές

Ισόθερμη, ισόχωρη, ισοβαρής, αδιαβατική — ο πίνακας Q, ΔU, W

Γιατί με νοιάζει;

Ξεφουσκώνεις ένα λάστιχο ποδηλάτου και ο αέρας που βγαίνει από τη βαλβίδα είναι αισθητά δροσερός. Ο αέρας εκτονώνεται τόσο γρήγορα που δεν προλαβαίνει να πάρει θερμότητα από το περιβάλλον: παράγει έργο «πληρώνοντας» από την εσωτερική του ενέργεια, και ψύχεται. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δεις τι λέει ο 1ος νόμος για κάθε βασική μεταβολή.

Ο 1ος νόμος στις τέσσερις μεταβολές

Ισόθερμη: $\Delta U = 0 \Rightarrow Q = W$ — όλη η θερμότητα γίνεται έργο
Ισόχωρη: $W = 0 \Rightarrow Q = \Delta U = nC_V\Delta T$
Ισοβαρής: $Q = \Delta U + p\Delta V = nC_p\Delta T$
Αδιαβατική ( $Q = 0$ ): $W = -\Delta U$ — στην αδιαβατική εκτόνωση το αέριο «πληρώνει» το έργο από την εσωτερική του ενέργεια και ψύχεται! Ισχύει $pV^{\gamma} = \sigma\tau\alpha\theta.$ με $\gamma = \frac{C_p}{C_V} > 1$ , γι' αυτό η αδιαβατική είναι πιο απότομη από την ισόθερμη στο p–V.

Για μονατομικό ιδανικό αέριο: $C_V = \frac{3}{2}R$ , $C_p = \frac{5}{2}R$ , $\gamma = \frac{5}{3}$ .

$\text{Ισόθερμη: } Q = W, \qquad \text{Ισόχωρη: } Q = \Delta U = nC_V\Delta T, \qquad \text{Ισοβαρής: } Q = \Delta U + p\Delta V, \qquad \text{Αδιαβατική: } W = -\Delta U$

Κόλπο μνήμης

Κάθε μεταβολή «μηδενίζει» κάτι, και το όνομα σε βοηθά: ισό-θερμη → ίδια θερμοκρασία → $\Delta U = 0$ · ισό-χωρη → ίδιος χώρος (όγκος) → $W = 0$ · α-διαβατική → «δεν διαβαίνει» θερμότητα → $Q = 0$ . Μόνο η ισοβαρής δεν μηδενίζει τίποτα — εκεί χρειάζεσαι και τα τρία.

Μέθοδος: ο πίνακας $Q$ – $\Delta U$ – $W$

Για κάθε μεταβολή γράψε μία γραμμή με τρεις στήλες: $Q$ , $\Delta U$ , $W$ .
$\Delta U$ από τη θερμοκρασία, σε κάθε μεταβολή: $\Delta U = nC_V\Delta T$ (για μονατομικό $\frac{3}{2}nR\Delta T$ ). Χρήσιμο: επειδή $nRT = pV$ , ισχύει και $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$ .
$W$ από τη γεωμετρία: $0$ στην ισόχωρη, $p\Delta V = nR\Delta T$ στην ισοβαρή, γενικά το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη· στην αδιαβατική από τον 1ο νόμο, $W = -\Delta U$ .
$Q$ από τον 1ο νόμο: $Q = \Delta U + W$ (επαλήθευση με $nC_V\Delta T$ ή $nC_p\Delta T$ όπου ταιριάζει).
Σε κύκλο έλεγξε ότι $\sum \Delta U = 0$ και ότι $W_{o\lambda} = \sum Q$ , ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.

Παράδειγμα: $n = 2 \ \text{mol}$ μονατομικού ιδανικού αερίου θερμαίνονται ισοβαρώς από $T_1 = 300 \ \text{K}$ σε $T_2 = 400 \ \text{K}$ . Να βρεθούν $W$ , $\Delta U$ και $Q$ . Δίνεται $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ .

Λύση: Έργο ισοβαρούς: $W = p\Delta V = nR\Delta T = 2 \cdot 8{,}314 \cdot 100 = 1662{,}8 \ \text{J}$ .

Εσωτερική ενέργεια: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = \frac{3}{2} \cdot 1662{,}8 = 2494{,}2 \ \text{J}$ .

1ος νόμος: $Q = \Delta U + W = 2494{,}2 + 1662{,}8 = 4157 \ \text{J}$ .

Επαλήθευση με $C_p = \frac{5}{2}R$ : $Q = nC_p\Delta T = 2 \cdot \frac{5}{2} \cdot 8{,}314 \cdot 100 = 4157 \ \text{J}$ ✔

Σχόλιο: στην ισοβαρή θέρμανση μονατομικού αερίου μόνο το $\frac{W}{Q} = \frac{2}{5} = 40\%$ της θερμότητας γίνεται έργο — το υπόλοιπο $60\%$ αυξάνει την εσωτερική ενέργεια.

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο θερμαίνεται ισόχωρα απορροφώντας θερμότητα $Q = 500 \ \text{J}$ . Η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας είναι:

Άσκηση (ισόχωρη θέρμανση): $1 \ \text{mol}$ μονατομικού ιδανικού αερίου θερμαίνεται ισόχωρα από $300 \ \text{K}$ σε $500 \ \text{K}$ . Να βρεθούν $W$ , $\Delta U$ και $Q$ . ( $R = 8{,}314 \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ )

Λύση: Ισόχωρη: $W = 0$ .

$\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = 1{,}5 \cdot 1 \cdot 8{,}314 \cdot 200 = 2494{,}2 \ \text{J}$

1ος νόμος: $Q = \Delta U = 2494{,}2 \ \text{J}$ — όλη η θερμότητα έγινε εσωτερική ενέργεια. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο συμπιέζεται ισόθερμα και το περιβάλλον του προσφέρει έργο $300 \ \text{J}$ . Τι ισχύει για τη θερμότητα;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: $n = 1 \ \text{mol}$ μονατομικού ιδανικού αερίου εκτελεί τον κύκλο ΑΒΓΑ: ΑΒ ισόθερμη εκτόνωση στους $600 \ \text{K}$ μέχρι διπλασιασμού του όγκου, ΒΓ ισοβαρής ψύξη μέχρι τους $300 \ \text{K}$ , ΓΑ ισόχωρη θέρμανση πίσω στην Α.

Δεδομένα: $R = \frac{25}{3} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ , $T_A = T_B = 600 \ \text{K}$ , $T_\Gamma = 300 \ \text{K}$ , $V_B = 2V_A$ , η θερμότητα που απορροφά το αέριο στην ισόθερμη ΑΒ είναι $Q_{AB} \approx 3465 \ \text{J}$ .

Ζητούμενα: α) να δειχθεί ότι $V_\Gamma = V_A$ , β) $Q$ , $\Delta U$ , $W$ για κάθε μεταβολή, γ) το ολικό έργο του κύκλου.

Λύση:

α) Στη ΒΓ η πίεση είναι σταθερή: $\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_\Gamma}{T_\Gamma} \Rightarrow V_\Gamma = 2V_A \cdot \frac{300}{600} = V_A$ ✔ — γι' αυτό η ΓΑ είναι ισόχωρη.

β) $nR = \frac{25}{3} \ \text{J/K}$ .

ΑΒ (ισόθερμη): $\Delta U = 0$ , $W = Q = 3465 \ \text{J}$
ΒΓ (ισοβαρής, $\Delta T = -300 \ \text{K}$ ): $W = nR\Delta T = -2500 \ \text{J}$ , $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = -3750 \ \text{J}$ , $Q = -6250 \ \text{J}$
ΓΑ (ισόχωρη, $\Delta T = +300 \ \text{K}$ ): $W = 0$ , $\Delta U = Q = 3750 \ \text{J}$

Έλεγχος: $\sum \Delta U = 0 - 3750 + 3750 = 0$ ✔

γ) $W_{o\lambda} = 3465 - 2500 = 965 \ \text{J}$ , θετικό — ο κύκλος διαγράφεται δεξιόστροφα.

Απάντηση: β) ΑΒ: $3465$ , $0$ , $3465 \ \text{J}$ · ΒΓ: $-6250$ , $-3750$ , $-2500 \ \text{J}$ · ΓΑ: $3750$ , $3750$ , $0$ γ) $965 \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο εκτονώνεται αδιαβατικά. Τι ισχύει για τη θερμοκρασία του;

Στις ασκήσεις κύκλων φτιάξε πίνακα με στήλες $Q$ , $\Delta U$ , $W$ — μία γραμμή για κάθε μεταβολή — και θυμήσου ότι στον πλήρη κύκλο $\Delta U = 0$ . Πρόσεξε τα πρόσημα: συμπίεση σημαίνει $W < 0$ , ψύξη σημαίνει $\Delta U < 0$ .

Ήξερες ότι;

Οι πετρελαιοκινητήρες (Diesel) δεν έχουν μπουζί. Ο αέρας στον κύλινδρο συμπιέζεται τόσο γρήγορα, σχεδόν αδιαβατικά, ώστε η θερμοκρασία του ανεβαίνει πάνω από $500 \ ^{\circ}\text{C}$ — και το καύσιμο που ψεκάζεται μέσα αναφλέγεται μόνο του.

Πρόκληση

Θερμαίνεις ισοβαρώς $n = 1 \ \text{mol}$ μονατομικού ιδανικού αερίου, δίνοντάς του θερμότητα $Q = 500 \ \text{J}$ . ( $R = \frac{25}{3} \ \text{J/(mol} \cdot \text{K)}$ , $C_V = \frac{3}{2}R$ )

α) Απόδειξε ότι, όποια κι αν είναι η ποσότητα του αερίου και η θερμότητα, ακριβώς το $40\%$ της θερμότητας γίνεται έργο.

β) Βρες το $W$ , τη $\Delta U$ και την αύξηση της θερμοκρασίας.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Στην ισοβαρή: $W = p\Delta V = nR\Delta T$ και $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}nR\Delta T$ . Άρα

$Q = \Delta U + W = \frac{5}{2}nR\Delta T \Rightarrow \frac{W}{Q} = \frac{nR\Delta T}{\frac{5}{2}nR\Delta T} = \frac{2}{5} = 40\%$

Το $n$ και το $\Delta T$ απλοποιούνται — το ποσοστό είναι πάντα το ίδιο. Το υπόλοιπο $60\%$ μένει ως εσωτερική ενέργεια.

β) $W = 0{,}4 \cdot 500 = 200 \ \text{J}$ και $\Delta U = 0{,}6 \cdot 500 = 300 \ \text{J}$ . Τέλος

$\Delta T = \frac{W}{nR} = \frac{200}{\frac{25}{3}} = 24 \ \text{K}$

Έλεγχος: $\Delta U = \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot \frac{25}{3} \cdot 24 = 300 \ \text{J}$ ✔. Γι' αυτό η ισοβαρής θέρμανση θέλει περισσότερη θερμότητα από την ισόχωρη για την ίδια $\Delta T$ : ένα μέρος της «ξοδεύεται» σε έργο.

Συνηθισμένα λάθη

Αδιαβατική με $\Delta U = 0$ : αδιαβατική σημαίνει $Q = 0$ , όχι σταθερή θερμοκρασία. Διόρθωση: $\Delta U = -W$ , άρα στην εκτόνωση το αέριο ψύχεται.
Ισόθερμη με $Q = 0$ : στην ισόθερμη μηδέν είναι η $\Delta U$ · η θερμότητα ισούται με το έργο.
$nR\Delta T$ ως έργο κάθε μεταβολής: ισχύει μόνο για την ισοβαρή· στην ισόχωρη $W = 0$ .
Ξεχασμένος έλεγχος στον κύκλο: το άθροισμα των $\Delta U$ πρέπει να βγαίνει μηδέν — αν όχι, κάπου υπάρχει λάθος πρόσημο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ισόθερμη: $\Delta U = 0$ , $Q = W$
Ισόχωρη: $W = 0$ , $Q = \Delta U = nC_V\Delta T$
Ισοβαρής: $W = p\Delta V = nR\Delta T$ , $Q = \Delta U + W = nC_p\Delta T$
Αδιαβατική: $Q = 0$ , $W = -\Delta U$ — εκτόνωση με ψύξη, συμπίεση με θέρμανση
Πίνακας $Q$ – $\Delta U$ – $W$ ανά μεταβολή, με $\sum \Delta U = 0$ στον κύκλο

📊

Ο 1ος Νόμος στις Βασικές Μεταβολές

Ισόθερμη, ισόχωρη, ισοβαρής, αδιαβατική — ο πίνακας Q, ΔU, W

Γιατί με νοιάζει;

Ο 1ος νόμος στις τέσσερις μεταβολές

Ισόθερμη: $\Delta U = 0 \Rightarrow Q = W$ — όλη η θερμότητα γίνεται έργο
Ισόχωρη: $W = 0 \Rightarrow Q = \Delta U = nC_V\Delta T$
Ισοβαρής: $Q = \Delta U + p\Delta V = nC_p\Delta T$
Αδιαβατική ( $Q = 0$ ): $W = -\Delta U$ — στην αδιαβατική εκτόνωση το αέριο «πληρώνει» το έργο από την εσωτερική του ενέργεια και ψύχεται! Ισχύει $pV^{\gamma} = \sigma\tau\alpha\theta.$ με $\gamma = \frac{C_p}{C_V} > 1$ , γι' αυτό η αδιαβατική είναι πιο απότομη από την ισόθερμη στο p–V.

Για μονατομικό ιδανικό αέριο: $C_V = \frac{3}{2}R$ , $C_p = \frac{5}{2}R$ , $\gamma = \frac{5}{3}$ .

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: ο πίνακας $Q$ – $\Delta U$ – $W$

Για κάθε μεταβολή γράψε μία γραμμή με τρεις στήλες: $Q$ , $\Delta U$ , $W$ .
$\Delta U$ από τη θερμοκρασία, σε κάθε μεταβολή: $\Delta U = nC_V\Delta T$ (για μονατομικό $\frac{3}{2}nR\Delta T$ ). Χρήσιμο: επειδή $nRT = pV$ , ισχύει και $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$ .
$W$ από τη γεωμετρία: $0$ στην ισόχωρη, $p\Delta V = nR\Delta T$ στην ισοβαρή, γενικά το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη· στην αδιαβατική από τον 1ο νόμο, $W = -\Delta U$ .
$Q$ από τον 1ο νόμο: $Q = \Delta U + W$ (επαλήθευση με $nC_V\Delta T$ ή $nC_p\Delta T$ όπου ταιριάζει).
Σε κύκλο έλεγξε ότι $\sum \Delta U = 0$ και ότι $W_{o\lambda} = \sum Q$ , ίσο με το εμβαδόν του κύκλου.

Λύση: Έργο ισοβαρούς: $W = p\Delta V = nR\Delta T = 2 \cdot 8{,}314 \cdot 100 = 1662{,}8 \ \text{J}$ .

Εσωτερική ενέργεια: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = \frac{3}{2} \cdot 1662{,}8 = 2494{,}2 \ \text{J}$ .

1ος νόμος: $Q = \Delta U + W = 2494{,}2 + 1662{,}8 = 4157 \ \text{J}$ .

Επαλήθευση με $C_p = \frac{5}{2}R$ : $Q = nC_p\Delta T = 2 \cdot \frac{5}{2} \cdot 8{,}314 \cdot 100 = 4157 \ \text{J}$ ✔

Γρήγορος έλεγχος

Λύση: Ισόχωρη: $W = 0$ .

$\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = 1{,}5 \cdot 1 \cdot 8{,}314 \cdot 200 = 2494{,}2 \ \text{J}$

1ος νόμος: $Q = \Delta U = 2494{,}2 \ \text{J}$ — όλη η θερμότητα έγινε εσωτερική ενέργεια. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ζητούμενα: α) να δειχθεί ότι $V_\Gamma = V_A$ , β) $Q$ , $\Delta U$ , $W$ για κάθε μεταβολή, γ) το ολικό έργο του κύκλου.

Λύση:

β) $nR = \frac{25}{3} \ \text{J/K}$ .

ΑΒ (ισόθερμη): $\Delta U = 0$ , $W = Q = 3465 \ \text{J}$
ΒΓ (ισοβαρής, $\Delta T = -300 \ \text{K}$ ): $W = nR\Delta T = -2500 \ \text{J}$ , $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T = -3750 \ \text{J}$ , $Q = -6250 \ \text{J}$
ΓΑ (ισόχωρη, $\Delta T = +300 \ \text{K}$ ): $W = 0$ , $\Delta U = Q = 3750 \ \text{J}$

Έλεγχος: $\sum \Delta U = 0 - 3750 + 3750 = 0$ ✔

γ) $W_{o\lambda} = 3465 - 2500 = 965 \ \text{J}$ , θετικό — ο κύκλος διαγράφεται δεξιόστροφα.

Απάντηση: β) ΑΒ: $3465$ , $0$ , $3465 \ \text{J}$ · ΒΓ: $-6250$ , $-3750$ , $-2500 \ \text{J}$ · ΓΑ: $3750$ , $3750$ , $0$ γ) $965 \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Ιδανικό αέριο εκτονώνεται αδιαβατικά. Τι ισχύει για τη θερμοκρασία του;

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

β) Βρες το $W$ , τη $\Delta U$ και την αύξηση της θερμοκρασίας.

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Στην ισοβαρή: $W = p\Delta V = nR\Delta T$ και $\Delta U = nC_V\Delta T = \frac{3}{2}nR\Delta T$ . Άρα

$Q = \Delta U + W = \frac{5}{2}nR\Delta T \Rightarrow \frac{W}{Q} = \frac{nR\Delta T}{\frac{5}{2}nR\Delta T} = \frac{2}{5} = 40\%$

β) $W = 0{,}4 \cdot 500 = 200 \ \text{J}$ και $\Delta U = 0{,}6 \cdot 500 = 300 \ \text{J}$ . Τέλος

$\Delta T = \frac{W}{nR} = \frac{200}{\frac{25}{3}} = 24 \ \text{K}$

Συνηθισμένα λάθη

Αδιαβατική με $\Delta U = 0$ : αδιαβατική σημαίνει $Q = 0$ , όχι σταθερή θερμοκρασία. Διόρθωση: $\Delta U = -W$ , άρα στην εκτόνωση το αέριο ψύχεται.
Ισόθερμη με $Q = 0$ : στην ισόθερμη μηδέν είναι η $\Delta U$ · η θερμότητα ισούται με το έργο.
$nR\Delta T$ ως έργο κάθε μεταβολής: ισχύει μόνο για την ισοβαρή· στην ισόχωρη $W = 0$ .
Ξεχασμένος έλεγχος στον κύκλο: το άθροισμα των $\Delta U$ πρέπει να βγαίνει μηδέν — αν όχι, κάπου υπάρχει λάθος πρόσημο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ισόθερμη: $\Delta U = 0$ , $Q = W$
Ισόχωρη: $W = 0$ , $Q = \Delta U = nC_V\Delta T$
Ισοβαρής: $W = p\Delta V = nR\Delta T$ , $Q = \Delta U + W = nC_p\Delta T$
Αδιαβατική: $Q = 0$ , $W = -\Delta U$ — εκτόνωση με ψύξη, συμπίεση με θέρμανση
Πίνακας $Q$ – $\Delta U$ – $W$ ανά μεταβολή, με $\sum \Delta U = 0$ στον κύκλο

Ο 1ος Νόμος στις Βασικές Μεταβολές

Ο 1ος νόμος στις τέσσερις μεταβολές

Μέθοδος: ο πίνακας QQQ – ΔU\Delta UΔU – WWW

Ο 1ος Νόμος στις Βασικές Μεταβολές

Ο 1ος νόμος στις τέσσερις μεταβολές

Μέθοδος: ο πίνακας QQQ – ΔU\Delta UΔU – WWW

Μέθοδος: ο πίνακας $Q$ – $\Delta U$ – $W$

Μέθοδος: ο πίνακας $Q$ – $\Delta U$ – $W$