📈

Ανάλογα & Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά

Αναλογίες, y = αx, y = α/x, μέθοδος των τριών

Εκτός ύλης 2026

Γιατί με νοιάζει;

Αν μια σοκολάτα κοστίζει $2$ €, οι $5$ σοκολάτες κοστίζουν $10$ €. Λογικό. Αν όμως ένας ελαιοχρωματιστής βάφει ένα σπίτι σε $12$ μέρες, οι $3$ ελαιοχρωματιστές το βάφουν σε $36$ ; Όχι βέβαια, το βάφουν σε $4$ !

Κάποια ποσά μεγαλώνουν μαζί και κάποια κινούνται αντίθετα. Αν καταλάβεις ποιο είναι ποιο, λύνεις ένα σωρό προβλήματα της καθημερινής ζωής.

Λόγος και αναλογία

Λόγος δύο αριθμών είναι το πηλίκο τους, π.χ. ο λόγος του 6 προς το 4 είναι $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . Αναλογία λέγεται η ισότητα δύο λόγων: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}$ .

Σε κάθε αναλογία ισχύει η ιδιότητα των χιαστί γινομένων: τα γινόμενα των άκρων και των μέσων όρων είναι ίσα.

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} \iff \alpha \cdot \delta = \beta \cdot \gamma$

Άλλαξε τον συντελεστή α και εναλλάξου ανάμεσα σε ανάλογα (ευθεία) και αντιστρόφως ανάλογα (υπερβολή).

Ανάλογα ποσά

Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν, αν πολλαπλασιαστούν οι τιμές του ενός με έναν αριθμό, οι αντίστοιχες τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό. Ο λόγος $\frac{y}{x}$ μένει σταθερός και λέγεται συντελεστής αναλογίας $\alpha$ , δηλαδή $y = \alpha x$ .

Στη γραφική παράσταση, τα ζεύγη $(x, y)$ ανάλογων ποσών βρίσκονται σε ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων $O(0, 0)$ .

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν, αν πολλαπλασιαστούν οι τιμές του ενός με έναν αριθμό, οι αντίστοιχες τιμές του άλλου διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό. Τότε το γινόμενό τους μένει σταθερό: $x \cdot y = \alpha$ , δηλαδή $y = \frac{\alpha}{x}$ .

Η γραφική τους παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται υπερβολή και δεν τέμνει ποτέ τους άξονες.

Κόλπο μνήμης

Τα ανάλογα ποσά είναι «φίλοι που περπατούν μαζί»: ανεβαίνει το ένα, ανεβαίνει και το άλλο, και ο λόγος τους $\frac{y}{x}$ μένει σταθερός. Τα αντιστρόφως ανάλογα είναι σαν τραμπάλα: ανεβαίνει το ένα, κατεβαίνει το άλλο, και σταθερό μένει το γινόμενο $x \cdot y$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος πίνακας τιμών δείχνει ανάλογα ποσά;

Γρήγορος έλεγχος

Ποιο ζευγάρι ποσών είναι αντιστρόφως ανάλογα;

Μέθοδος: προβλήματα με ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Γράψε τα δύο ποσά σε πίνακα: τις γνωστές τιμές και την άγνωστη $x$ .
Ρώτα: αν διπλασιαστεί το ένα, το άλλο διπλασιάζεται ή υποδιπλασιάζεται;
Ανάλογα: ίσοι λόγοι $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ και χιαστί γινόμενα.
Αντιστρόφως ανάλογα: ίσα γινόμενα $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$ .
Λύσε την εξίσωση και έλεγξε αν η απάντηση «βγάζει νόημα» (περισσότεροι εργάτες → λιγότερες μέρες).

Απλή μέθοδος των τριών (ανάλογα): Τα 3 kg μήλα κοστίζουν 6 €. Πόσο κοστίζουν τα 5 kg;

$\frac{3}{5} = \frac{6}{x} \Rightarrow 3x = 5 \cdot 6 = 30 \Rightarrow x = 10$ €.

Αντιστρόφως ανάλογα: 4 εργάτες χρειάζονται 6 ημέρες για ένα έργο. Οι 8 εργάτες; Σταθερό γινόμενο: $4 \cdot 6 = 24$ , άρα $8 \cdot x = 24 \Rightarrow x = 3$ ημέρες.

Άσκηση: (α) Ένα αυτοκίνητο καταναλώνει $6$ λίτρα βενζίνη στα $100$ km. Πόσα λίτρα θα καταναλώσει σε $250$ km; (β) Ένας οδηγός κάνει μια διαδρομή σε $3$ ώρες με μέση ταχύτητα $80$ km/h. Σε πόσες ώρες θα την κάνει με $60$ km/h;

(α) Περισσότερα χιλιόμετρα → περισσότερη βενζίνη, με τον ίδιο λόγο: ανάλογα ποσά.

$\frac{6}{100} = \frac{x}{250} \Rightarrow 100x = 6 \cdot 250 = 1500 \Rightarrow x = 15 \text{ λίτρα}$

(β) Μικρότερη ταχύτητα → περισσότερος χρόνος: αντιστρόφως ανάλογα ποσά, σταθερό γινόμενο (η απόσταση).

$80 \cdot 3 = 60 \cdot x \Rightarrow 60x = 240 \Rightarrow x = 4 \text{ ώρες}$

Ήξερες ότι;

Στο ποδήλατο, το μπροστινό και το πίσω γρανάζι συνδέονται με την αλυσίδα. Αν το μπροστινό έχει $48$ δόντια και το πίσω $16$ , κάθε πεταλιά γυρίζει την πίσω ρόδα $48 : 16 = 3$ φορές. Το πλήθος των δοντιών και οι στροφές του γραναζιού είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά: τα γρανάζια με λιγότερα δόντια γυρίζουν πιο γρήγορα.

Γρήγορος έλεγχος

$6$ ίδιες βρύσες γεμίζουν μια δεξαμενή σε $4$ ώρες. Σε πόσες ώρες τη γεμίζουν $3$ τέτοιες βρύσες;

Πριν στήσεις αναλογία, ρώτα: «αν διπλασιαστεί το ένα ποσό, το άλλο διπλασιάζεται ή υποδιπλασιάζεται;». Διπλασιάζεται → ανάλογα ( $y = \alpha x$ ). Υποδιπλασιάζεται → αντιστρόφως ανάλογα ( $xy = \alpha$ ). Η λάθος επιλογή εδώ είναι το συχνότερο λάθος στις ασκήσεις.

Πρόκληση

$4$ ίδιες βρύσες γεμίζουν μια πισίνα σε $6$ ώρες. Ανοίγουν και οι $4$ μαζί, αλλά μετά από $2$ ώρες η μία χαλάει και κλείνει. Σε πόσες ώρες συνολικά θα γεμίσει η πισίνα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Μέτρα τη δουλειά σε «βρυσο-ώρες»: η πισίνα χρειάζεται $4 \cdot 6 = 24$ βρυσο-ώρες.

Στις πρώτες $2$ ώρες οι $4$ βρύσες δίνουν $4 \cdot 2 = 8$ βρυσο-ώρες. Μένουν $24 - 8 = 16$ .

Τις κάνουν $3$ βρύσες σε $\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$ ώρες, δηλαδή $5$ ώρες και $20$ λεπτά.

Συνολικά: $2 + 5\frac{1}{3} = 7\frac{1}{3}$ ώρες, δηλαδή $7$ ώρες και $20$ λεπτά.

Συνηθισμένα λάθη

«Μεγαλώνουν μαζί, άρα είναι ανάλογα». Χρειάζεται σταθερός λόγος: η ηλικία και το ύψος μεγαλώνουν μαζί, αλλά δεν είναι ανάλογα.
Απλή αναλογία σε αντιστρόφως ανάλογα. Για εργάτες–μέρες ή ταχύτητα–χρόνο στήνεις ίσα γινόμενα, όχι ίσους λόγους.
Ανάμεικτες μονάδες. Αν η μία τιμή είναι σε λεπτά και η άλλη σε ώρες, μετάτρεψε πρώτα στην ίδια μονάδα.
Ευθεία που δεν περνά από το $O$ . Μια τέτοια γραφική παράσταση δεν δείχνει ανάλογα ποσά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αναλογία: $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta} \iff \alpha\delta = \beta\gamma$ .
Ανάλογα ποσά: $\frac{y}{x} = \alpha$ σταθερό, $y = \alpha x$ , ευθεία που περνά από την αρχή $O$ .
Αντιστρόφως ανάλογα: $x \cdot y = \alpha$ σταθερό, $y = \frac{\alpha}{x}$ , υπερβολή.
Έλεγχος: διπλασιάζονται μαζί → ανάλογα· το ένα διπλασιάζεται και το άλλο υποδιπλασιάζεται → αντιστρόφως ανάλογα.

Λόγος και αναλογία

Λόγος δύο αριθμών είναι το πηλίκο τους, π.χ. ο λόγος του 6 προς το 4 είναι

\frac{6}{4} = \frac{3}{2}

. Αναλογία λέγεται η ισότητα δύο λόγων:

\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}