🔁

Αντιστρεπτές Μεταβολές

Οιονεί στατικές μεταβολές, διαδοχικές καταστάσεις ισορροπίας, γραμμές στο p–V

Γιατί με νοιάζει;

Ρίχνεις μια σταγόνα μελάνι σε ένα ποτήρι νερό και σε λίγο όλο το νερό έχει χρωματιστεί. Όσο κι αν περιμένεις, το μελάνι δεν θα ξαναμαζευτεί μόνο του σε μια σταγόνα. Γιατί κάποιες μεταβολές γίνονται μόνο προς τη μία κατεύθυνση; Για να απαντήσει η θερμοδυναμική, ξεχωρίζει πρώτα τις ιδανικές αντιστρεπτές μεταβολές από τις πραγματικές.

Αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές μεταβολές

Μια μεταβολή από κατάσταση Α σε κατάσταση Β λέγεται αντιστρεπτή όταν μπορεί να πραγματοποιηθεί και κατά την αντίθετη φορά, περνώντας από τις ίδιες ενδιάμεσες καταστάσεις — και αυτό απαιτεί όλες οι ενδιάμεσες καταστάσεις να είναι καταστάσεις ισορροπίας.

Πρακτικά: η μεταβολή πρέπει να γίνεται πολύ αργά (οιονεί στατικά), ώστε σε κάθε βήμα το αέριο να προλαβαίνει να αποκαταστήσει ενιαία πίεση και θερμοκρασία. Μια αντιστρεπτή μεταβολή παριστάνεται με συνεχή γραμμή στο διάγραμμα $p\text{–}V$ — μια αλυσίδα από άπειρα σημεία ισορροπίας.

Οι πραγματικές μεταβολές (απότομη εκτόνωση, ανάμειξη αερίων, ροή θερμότητας από θερμό σε ψυχρό) είναι μη αντιστρεπτές: οι ενδιάμεσες καταστάσεις δεν είναι καταστάσεις ισορροπίας και δεν παριστάνονται με γραμμή στο $p\text{–}V$ . Η αντιστρεπτή μεταβολή είναι εξιδανίκευση — αλλά πάνω της χτίζεται όλη η θεωρία.

Μετακίνησε το έμβολο αργά-αργά και παρακολούθησε το αέριο: σε κάθε μικρό βήμα προλαβαίνει να αποκτήσει ενιαία πίεση και θερμοκρασία, σαν να σταματά σε διαδοχικές καταστάσεις ισορροπίας — έτσι γεννιέται η συνεχής καμπύλη του διαγράμματος p–V που λέμε αντιστρεπτή μεταβολή.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω μεταβολές μπορεί να παρασταθεί με συνεχή γραμμή σε διάγραμμα $p\text{–}V$ ;

Οι βασικές αντιστρεπτές μεταβολές στο $p\text{–}V$

Επειδή κάθε ενδιάμεση κατάσταση μιας αντιστρεπτής μεταβολής είναι κατάσταση ισορροπίας, σε κάθε σημείο της γραμμής ισχύει $pV = nRT$ και μπορούμε να βρούμε τη θερμοκρασία $T = \frac{pV}{nR}$ . Οι βασικές αντιστρεπτές μεταβολές σχεδιάζονται ως εξής:

Ισόθερμη: υπερβολή ( $pV$ σταθερό).
Ισόχωρη: κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα.
Ισοβαρής: οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα.
Αδιαβατική (χωρίς ανταλλαγή θερμότητας): καμπύλη πιο απότομη από την ισόθερμη.

Μια κυκλική μεταβολή, που επιστρέφει στην αρχική κατάσταση, παριστάνεται με κλειστή γραμμή.

$T = \frac{pV}{nR} \ \ (\text{σε κάθε σημείο αντιστρεπτής μεταβολής}), \qquad \text{ισόθερμη: } p_AV_A = p_BV_B$

Μέθοδος: αντιστρεπτή ή μη αντιστρεπτή;

Ρώτα: γίνεται η μεταβολή πολύ αργά, ώστε σε κάθε βήμα το αέριο να έχει ενιαία $p$ και $T$ ;
Υπάρχουν στοιχεία μη αντιστρεπτότητας; Απότομη εκτόνωση, εκτόνωση στο κενό, ανάμειξη, τριβές, ροή θερμότητας με πεπερασμένη διαφορά θερμοκρασίας.
Αν είναι αντιστρεπτή, σχεδίασέ τη ως συνεχή γραμμή και υπολόγισε τη $T$ σε όποιο σημείο θέλεις με $T = \frac{pV}{nR}$ .
Αν δεν είναι, σημείωσε μόνο την αρχική και την τελική κατάσταση (αν είναι ισορροπίας) — χωρίς γραμμή ανάμεσα.

Παράδειγμα: Να χαρακτηριστούν ως αντιστρεπτές ή μη αντιστρεπτές: α) αέριο συμπιέζεται προσθέτοντας κόκκους άμμου έναν-έναν πάνω στο έμβολο, β) φουσκωμένο μπαλόνι σκάει, γ) ζεστό κουτάλι βυθίζεται σε κρύο νερό.

Λύση: α) Αντιστρεπτή (σχεδόν): κάθε κόκκος αλλάζει ελάχιστα την πίεση και το αέριο προλαβαίνει να ισορροπήσει· αφαιρώντας τους κόκκους έναν-έναν γυρίζει από τις ίδιες καταστάσεις.

β) Μη αντιστρεπτή: απότομη εκτόνωση, ο αέρας δεν έχει ενιαία πίεση — και δεν ξαναμπαίνει ποτέ μόνος του στο μπαλόνι.

γ) Μη αντιστρεπτή: ροή θερμότητας από θερμό σε ψυχρό με μεγάλη διαφορά θερμοκρασίας· το αντίστροφο δεν γίνεται αυθόρμητα. ✔

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου ότι βιντεοσκοπείς τη μεταβολή και παίζεις την ταινία ανάποδα. Αν αυτό που βλέπεις θα μπορούσε να συμβεί στην πραγματικότητα (το έμβολο ανεβαίνει αργά, κόκκος-κόκκος), η μεταβολή είναι αντιστρεπτή. Αν είναι ολοφάνερα «ψεύτικο» (το σπασμένο μπαλόνι ξαναφουσκώνει), είναι μη αντιστρεπτή.

Άσκηση (θερμοκρασία πάνω σε ευθεία): Αντιστρεπτή μεταβολή ιδανικού αερίου με $nR = 2 \ \text{J/K}$ παριστάνεται στο $p\text{–}V$ με ευθύγραμμο τμήμα από την κατάσταση Α ( $10^5 \ \text{Pa}$ , $2 \ \text{L}$ ) στην Β ( $3 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $6 \ \text{L}$ ). Να βρεθούν οι θερμοκρασίες στα Α, Β και στο μέσο Μ της ευθείας.

Λύση: $T_A = \frac{10^5 \cdot 2 \times 10^{-3}}{2} = 100 \ \text{K}$ και $T_B = \frac{3 \times 10^5 \cdot 6 \times 10^{-3}}{2} = 900 \ \text{K}$ .

Το Μ έχει $p = 2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ και $V = 4 \ \text{L}$ : $T_M = \frac{800}{2} = 400 \ \text{K}$ .

Όχι $500 \ \text{K}$ , όπως θα έδινε ο μέσος όρος: η θερμοκρασία εξαρτάται από το γινόμενο $pV$ . Αυτός ο υπολογισμός είναι δυνατός μόνο επειδή η μεταβολή είναι αντιστρεπτή. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω διεργασίες είναι μη αντιστρεπτή;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ιδανικό αέριο με $nR = \frac{5}{6} \ \text{J/K}$ εκτελεί αντιστρεπτά τον κύκλο ΑΒΓΑ: ΑΒ ισοβαρής εκτόνωση από $V_A = 2{,}5 \ \text{L}$ σε $V_B = 5 \ \text{L}$ με $p_A = 10^5 \ \text{Pa}$ , ΒΓ ισόχωρη ψύξη μέχρι η θερμοκρασία να γίνει ίση με $T_A$ , ΓΑ ισόθερμη συμπίεση πίσω στην Α.

Δεδομένα: $nR = \frac{5}{6} \ \text{J/K}$ , $p_A = 10^5 \ \text{Pa}$ , $V_A = 2{,}5 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $V_B = 5 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ .

Ζητούμενα: α) οι θερμοκρασίες $T_A$ και $T_B$ , β) η πίεση στη Γ, γ) η περιγραφή του κύκλου στο $p\text{–}V$ και γιατί μπορεί να σχεδιαστεί.

Λύση:

α) $T_A = \frac{p_AV_A}{nR} = \frac{250}{5/6} = 300 \ \text{K}$ . Ισοβαρής: $T_B = T_A\frac{V_B}{V_A} = 600 \ \text{K}$ .

β) Η Γ έχει $V_\Gamma = 5 \ \text{L}$ και $T_\Gamma = 300 \ \text{K}$ : $p_\Gamma = \frac{nRT_\Gamma}{V_\Gamma} = \frac{250}{5 \times 10^{-3}} = 0{,}5 \times 10^5 \ \text{Pa}$ (έλεγχος με Boyle στη ΓΑ: $p_\Gamma V_\Gamma = p_AV_A = 250 \ \text{J}$ ✔).

γ) ΑΒ: οριζόντιο τμήμα προς τα δεξιά· ΒΓ: κατακόρυφο τμήμα προς τα κάτω· ΓΑ: τόξο υπερβολής προς τα πάνω-αριστερά. Κλειστή γραμμή, γιατί ο κύκλος επιστρέφει στην Α. Σχεδιάζεται επειδή όλες οι μεταβολές είναι αντιστρεπτές — κάθε σημείο είναι κατάσταση ισορροπίας.

Απάντηση: α) $300 \ \text{K}$ και $600 \ \text{K}$ β) $5 \times 10^4 \ \text{Pa}$ γ) κλειστή γραμμή: οριζόντιο, κατακόρυφο τμήμα και τόξο ισόθερμης

Γρήγορος έλεγχος

Για να είναι μια μεταβολή αντιστρεπτή, πρέπει οπωσδήποτε:

Ήξερες ότι;

Ο αστροφυσικός Arthur Eddington έγραψε το 1927 για το «βέλος του χρόνου»: οι νόμοι της μηχανικής δεν ξεχωρίζουν το παρελθόν από το μέλλον, αλλά οι μη αντιστρεπτές διεργασίες ναι. Το ότι θυμόμαστε το χθες και όχι το αύριο συνδέεται με το ότι στη φύση κυριαρχούν οι μη αντιστρεπτές μεταβολές.

Πρόκληση

Αέριο κλείνεται σε κατακόρυφο κύλινδρο με αβαρές έμβολο εμβαδού $10 \ \text{cm}^2$ , χωρίς τριβές. Αρχικά ο όγκος είναι $1 \ \text{L}$ και η πίεση ίση με την ατμοσφαιρική, $10^5 \ \text{Pa}$ . Ρίχνουμε πάνω στο έμβολο άμμο κόκκο-κόκκο, πολύ αργά, με σταθερή θερμοκρασία. Πόση άμμος έχει προστεθεί όταν ο όγκος γίνει $0{,}8 \ \text{L}$ και πόση όταν γίνει $0{,}5 \ \text{L}$ ; ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ )

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Αντιστρεπτή ισόθερμη: $p = p_0\frac{V_0}{V}$ . Στο έμβολο ισορροπούν $pA = p_0A + m_{\alpha}g$ , άρα $m_{\alpha}g = (p - p_0)A$ με $A = 10^{-3} \ \text{m}^2$ .

$V = 0{,}8 \ \text{L}$ : $p = 1{,}25 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $m_{\alpha}g = 0{,}25 \times 10^5 \cdot 10^{-3} = 25 \ \text{N}$ → $2{,}5 \ \text{kg}$ .
$V = 0{,}5 \ \text{L}$ : $p = 2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $m_{\alpha}g = 100 \ \text{N}$ → $10 \ \text{kg}$ .

Η άμμος δεν αυξάνεται γραμμικά με τη συμπίεση: για το τελευταίο $0{,}3 \ \text{L}$ χρειάστηκαν $7{,}5 \ \text{kg}$ — η ισόθερμη υπερβολή «ανεβαίνει» όλο και πιο απότομα. Αν ρίχναμε τα $10 \ \text{kg}$ απότομα, η μεταβολή θα ήταν μη αντιστρεπτή.

Συνηθισμένα λάθη

Γραμμή στο $p\text{–}V$ για μη αντιστρεπτή μεταβολή: μόνο οι αντιστρεπτές (οιονεί στατικές) μεταβολές σχεδιάζονται ως γραμμή.
«Αντιστρεπτή = ισόθερμη»: αντιστρεπτή μπορεί να είναι κάθε είδους μεταβολή, αρκεί να γίνεται μέσω καταστάσεων ισορροπίας.
Θερμοκρασία στο μέσο ως μέσος όρος: η $T = \frac{pV}{nR}$ εξαρτάται από το γινόμενο $pV$ , όχι από τον μέσο όρο των άκρων.
Πραγματικές μεταβολές ως αντιστρεπτές: η αντιστρεπτή μεταβολή είναι εξιδανίκευση· οι πραγματικές την προσεγγίζουν μόνο όταν γίνονται πολύ αργά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αντιστρεπτή μεταβολή: μπορεί να γίνει και αντίστροφα από τις ίδιες ενδιάμεσες καταστάσεις, που είναι όλες καταστάσεις ισορροπίας
Πρακτικά γίνεται πολύ αργά (οιονεί στατικά) και παριστάνεται με συνεχή γραμμή στο $p\text{–}V$
Σε κάθε σημείο της ισχύει $pV = nRT$
Μη αντιστρεπτές: απότομες εκτονώσεις, αναμείξεις, ροή θερμότητας με μεγάλη διαφορά θερμοκρασίας — δεν σχεδιάζονται ως γραμμή
Κυκλική μεταβολή: κλειστή γραμμή στο $p\text{–}V$

🔁

Αντιστρεπτές Μεταβολές

Οιονεί στατικές μεταβολές, διαδοχικές καταστάσεις ισορροπίας, γραμμές στο p–V

Γιατί με νοιάζει;

Αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές μεταβολές

\frac{p\,V}{T} = \frac{100\cdot2}{300} = 0.67\;\sigma\tau\alpha\theta\epsilon\rho\acute{o}

V = 2 L

T = 300 K

Σταθερό T: σύρε το V και κοίτα το μανόμετρο — όσο μικραίνει ο χώρος, τα μόρια χτυπούν πιο συχνά τα τοιχώματα: p·V σταθερό.

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω μεταβολές μπορεί να παρασταθεί με συνεχή γραμμή σε διάγραμμα $p\text{–}V$ ;

Οι βασικές αντιστρεπτές μεταβολές στο $p\text{–}V$

Ισόθερμη: υπερβολή ( $pV$ σταθερό).
Ισόχωρη: κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα.
Ισοβαρής: οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα.
Αδιαβατική (χωρίς ανταλλαγή θερμότητας): καμπύλη πιο απότομη από την ισόθερμη.

Μια κυκλική μεταβολή, που επιστρέφει στην αρχική κατάσταση, παριστάνεται με κλειστή γραμμή.

$T = \frac{pV}{nR} \ \ (\text{σε κάθε σημείο αντιστρεπτής μεταβολής}), \qquad \text{ισόθερμη: } p_AV_A = p_BV_B$

Μέθοδος: αντιστρεπτή ή μη αντιστρεπτή;

Ρώτα: γίνεται η μεταβολή πολύ αργά, ώστε σε κάθε βήμα το αέριο να έχει ενιαία $p$ και $T$ ;
Υπάρχουν στοιχεία μη αντιστρεπτότητας; Απότομη εκτόνωση, εκτόνωση στο κενό, ανάμειξη, τριβές, ροή θερμότητας με πεπερασμένη διαφορά θερμοκρασίας.
Αν είναι αντιστρεπτή, σχεδίασέ τη ως συνεχή γραμμή και υπολόγισε τη $T$ σε όποιο σημείο θέλεις με $T = \frac{pV}{nR}$ .
Αν δεν είναι, σημείωσε μόνο την αρχική και την τελική κατάσταση (αν είναι ισορροπίας) — χωρίς γραμμή ανάμεσα.

Κόλπο μνήμης

Λύση: $T_A = \frac{10^5 \cdot 2 \times 10^{-3}}{2} = 100 \ \text{K}$ και $T_B = \frac{3 \times 10^5 \cdot 6 \times 10^{-3}}{2} = 900 \ \text{K}$ .

Το Μ έχει $p = 2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ και $V = 4 \ \text{L}$ : $T_M = \frac{800}{2} = 400 \ \text{K}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ποια από τις παρακάτω διεργασίες είναι μη αντιστρεπτή;

Δεδομένα: $nR = \frac{5}{6} \ \text{J/K}$ , $p_A = 10^5 \ \text{Pa}$ , $V_A = 2{,}5 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ , $V_B = 5 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ .

Λύση:

α) $T_A = \frac{p_AV_A}{nR} = \frac{250}{5/6} = 300 \ \text{K}$ . Ισοβαρής: $T_B = T_A\frac{V_B}{V_A} = 600 \ \text{K}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Για να είναι μια μεταβολή αντιστρεπτή, πρέπει οπωσδήποτε:

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$V = 0{,}8 \ \text{L}$ : $p = 1{,}25 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $m_{\alpha}g = 0{,}25 \times 10^5 \cdot 10^{-3} = 25 \ \text{N}$ → $2{,}5 \ \text{kg}$ .
$V = 0{,}5 \ \text{L}$ : $p = 2 \times 10^5 \ \text{Pa}$ , $m_{\alpha}g = 100 \ \text{N}$ → $10 \ \text{kg}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Γραμμή στο $p\text{–}V$ για μη αντιστρεπτή μεταβολή: μόνο οι αντιστρεπτές (οιονεί στατικές) μεταβολές σχεδιάζονται ως γραμμή.
«Αντιστρεπτή = ισόθερμη»: αντιστρεπτή μπορεί να είναι κάθε είδους μεταβολή, αρκεί να γίνεται μέσω καταστάσεων ισορροπίας.
Θερμοκρασία στο μέσο ως μέσος όρος: η $T = \frac{pV}{nR}$ εξαρτάται από το γινόμενο $pV$ , όχι από τον μέσο όρο των άκρων.
Πραγματικές μεταβολές ως αντιστρεπτές: η αντιστρεπτή μεταβολή είναι εξιδανίκευση· οι πραγματικές την προσεγγίζουν μόνο όταν γίνονται πολύ αργά.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αντιστρεπτή μεταβολή: μπορεί να γίνει και αντίστροφα από τις ίδιες ενδιάμεσες καταστάσεις, που είναι όλες καταστάσεις ισορροπίας
Πρακτικά γίνεται πολύ αργά (οιονεί στατικά) και παριστάνεται με συνεχή γραμμή στο $p\text{–}V$
Σε κάθε σημείο της ισχύει $pV = nRT$
Μη αντιστρεπτές: απότομες εκτονώσεις, αναμείξεις, ροή θερμότητας με μεγάλη διαφορά θερμοκρασίας — δεν σχεδιάζονται ως γραμμή
Κυκλική μεταβολή: κλειστή γραμμή στο $p\text{–}V$

Αντιστρεπτές Μεταβολές

Αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές μεταβολές

Οι βασικές αντιστρεπτές μεταβολές στο p–Vp\text{–}Vp–V

Μέθοδος: αντιστρεπτή ή μη αντιστρεπτή;

Αντιστρεπτές Μεταβολές

Αντιστρεπτές και μη αντιστρεπτές μεταβολές

Οι βασικές αντιστρεπτές μεταβολές στο p–Vp\text{–}Vp–V

Μέθοδος: αντιστρεπτή ή μη αντιστρεπτή;

Οι βασικές αντιστρεπτές μεταβολές στο $p\text{–}V$

Οι βασικές αντιστρεπτές μεταβολές στο $p\text{–}V$