🌍

Βαρυτικό Πεδίο & Βαρυτικό Πεδίο της Γης

Νόμος της παγκόσμιας έλξης, ένταση g = GM/r², μεταβολή με το ύψος

Γιατί με νοιάζει;

Οι αστροναύτες στον Διεθνή Διαστημικό Σταθμό, σε ύψος περίπου $400 \ \text{km}$ , αιωρούνται. Σημαίνει ότι εκεί πάνω δεν υπάρχει βαρύτητα; Κάθε άλλο: η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης σε αυτό το ύψος είναι σχεδόν $89\%$ της τιμής στην επιφάνεια. Αιωρούνται επειδή πέφτουν συνεχώς μαζί με τον σταθμό. Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθεις να υπολογίζεις πόσο «τραβάει» η Γη σε οποιοδήποτε ύψος.

Το βαρυτικό πεδίο

Κάθε μάζα δημιουργεί γύρω της βαρυτικό πεδίο: έναν «χώρο επιρροής» όπου κάθε άλλη μάζα δέχεται ελκτική δύναμη. Κατά τον νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα, δύο σημειακές μάζες $m_1$ , $m_2$ σε απόσταση $r$ έλκονται με δύναμη ανάλογη του γινομένου των μαζών και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης.

Η ένταση του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο ορίζεται ως η δύναμη ανά μονάδα μάζας: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$ . Για τη Γη (μάζα $M$ , ακτίνα $R$ ), σε ύψος $h$ από την επιφάνεια:

$g = \frac{GM}{(R + h)^2}$

Στην επιφάνεια ( $h = 0$ ) προκύπτει το γνώριμο $g \approx 9{,}8\ m/s^2$ . Όσο απομακρυνόμαστε, το πεδίο εξασθενεί με τον νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου.

$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}, \quad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \frac{N \cdot m^2}{kg^2}, \qquad g = \frac{GM}{r^2}$

Γρήγορος έλεγχος

Δορυφόρος μεταφέρεται από απόσταση $r$ σε απόσταση $2r$ από το κέντρο της Γης. Πόση γίνεται η βαρυτική δύναμη που δέχεται;

Ήξερες ότι;

Το 1798 ο Henry Cavendish «ζύγισε τη Γη». Με έναν ζυγό στρέψης μέτρησε τη μικροσκοπική έλξη ανάμεσα σε μολύβδινες σφαίρες — δύναμη της τάξης του $10^{-7} \ \text{N}$ — και από αυτή υπολόγισε τη μέση πυκνότητα της Γης. Από τη μέτρησή του προκύπτει και η σταθερά $G$ , γι' αυτό το πείραμα λέγεται συχνά «το πείραμα που μέτρησε το $G$ ».

Το βαρυτικό πεδίο της Γης

Η Γη, ως σφαίρα μάζας $M$ και ακτίνας $R$ , δημιουργεί έξω από αυτήν πεδίο σαν να ήταν όλη η μάζα της συγκεντρωμένη στο κέντρο. Οι δυναμικές γραμμές είναι ακτινικές, με φορά προς το κέντρο.

Στην επιφάνεια: $g_0 = \frac{GM}{R^2} \approx 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ , άρα $GM = g_0R^2$ — χρήσιμο «κλειδί» που αντικαθιστά τα $G$ και $M$ .
Σε ύψος $h$ : $g = \frac{GM}{(R + h)^2} = g_0\frac{R^2}{(R + h)^2}$ .
Κοντά στην επιφάνεια ( $h \ll R$ ) το πεδίο είναι πρακτικά ομογενές: ίδια $\vec{g}$ παντού, κατακόρυφα προς τα κάτω.

Η μάζα ενός σώματος είναι ίδια παντού· το βάρος του $w = mg$ αλλάζει ανάλογα με την ένταση του πεδίου εκεί όπου βρίσκεται.

Κόλπο μνήμης

Δύο κανόνες σώζουν κάθε άσκηση: «μετράμε από το κέντρο» ( $r = R + h$ , ποτέ σκέτο $h$ ) και « $GM = g_0R^2$ », που σε απαλλάσσει από τους τεράστιους αριθμούς της μάζας της Γης και του $G$ . Με αυτά, $g = g_0\left(\frac{R}{R + h}\right)^2$ — μόνο ένας λόγος αποστάσεων στο τετράγωνο.

Μέθοδος: ασκήσεις βαρυτικού πεδίου

Αποστάσεις από το κέντρο του πλανήτη: $r = R + h$ , σε m.
Αν δίνεται η $g_0$ στην επιφάνεια, χρησιμοποίησε $GM = g_0R^2$ .
Ένταση σε απόσταση $r$ : $g = \frac{GM}{r^2}$ · για λόγους, $\frac{g_1}{g_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$ .
Δύναμη σε σώμα μάζας $m$ : $F = mg = G\frac{Mm}{r^2}$ .
Για άλλους πλανήτες: γράψε τον λόγο $\frac{g_\pi}{g_\Gamma} = \frac{M_\pi}{M_\Gamma}\left(\frac{R_\Gamma}{R_\pi}\right)^2$ .

Παράδειγμα: Για τη Γη δίνονται $g_0 = 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ στην επιφάνεια και $R = 6400 \ \text{km}$ . α) Πόση είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου σε ύψος $h = R$ ; β) Σε ποιο ύψος η ένταση γίνεται $\frac{g_0}{9}$ ;

Λύση: Το «κλειδί» είναι η σχέση στην επιφάνεια: $g_0 = \frac{GM}{R^2} \Rightarrow GM = g_0R^2$ . Έτσι δεν χρειαζόμαστε ούτε το $G$ ούτε τη μάζα της Γης.

α) $g = \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{g_0R^2}{(2R)^2} = \frac{g_0}{4} = 2{,}45 \ \text{m/s}^2$ .

β) $\frac{g_0R^2}{(R + h)^2} = \frac{g_0}{9} \Rightarrow (R + h)^2 = 9R^2 \Rightarrow R + h = 3R \Rightarrow h = 2R = 12800 \ \text{km}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Η μάζα ενός αστροναύτη στη Γη είναι $70 \ \text{kg}$ . Στη Σελήνη, όπου η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι περίπου το $\frac{1}{6}$ της γήινης, η μάζα του είναι:

Άσκηση (ζυγίζοντας τη Γη): Από την ένταση $g_0 = 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ στην επιφάνεια και την ακτίνα $R = 6{,}4 \times 10^6 \ \text{m}$ , να υπολογιστεί η μάζα της Γης. ( $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ )

Λύση: Από $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ :

$M = \frac{g_0R^2}{G} = \frac{9{,}8 \cdot (6{,}4 \times 10^6)^2}{6{,}67 \times 10^{-11}} = \frac{9{,}8 \cdot 4{,}096 \times 10^{13}}{6{,}67 \times 10^{-11}} \approx 6{,}0 \times 10^{24} \ \text{kg}$

Έξι τρισεκατομμύρια τρισεκατομμύρια κιλά — από δύο μετρήσεις και μία σταθερά. ✔

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Η μάζα της Σελήνης είναι περίπου $\frac{1}{81}$ της μάζας της Γης και η ακτίνα της περίπου $\frac{1}{3{,}7}$ της ακτίνας της Γης. Η απόσταση των κέντρων τους είναι $3{,}84 \times 10^8 \ \text{m}$ .

Δεδομένα: $g_0 = 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ , $M_\Gamma = 6 \times 10^{24} \ \text{kg}$ , $M_\Sigma = \frac{M_\Gamma}{81}$ , $R_\Sigma = \frac{R_\Gamma}{3{,}7}$ , $d = 3{,}84 \times 10^8 \ \text{m}$ , $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ .

Ζητούμενα: α) η ένταση του βαρυτικού πεδίου στην επιφάνεια της Σελήνης, β) η ένταση του πεδίου της Γης στη θέση της Σελήνης, γ) η δύναμη που ασκεί η Γη στη Σελήνη.

Λύση:

α) $\frac{g_\Sigma}{g_0} = \frac{M_\Sigma}{M_\Gamma}\left(\frac{R_\Gamma}{R_\Sigma}\right)^2 = \frac{3{,}7^2}{81} = \frac{13{,}69}{81} \approx 0{,}169$ , άρα $g_\Sigma \approx 1{,}66 \ \text{m/s}^2$ — περίπου το $\frac{1}{6}$ της γήινης.

β) $g = \frac{GM_\Gamma}{d^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{(3{,}84 \times 10^8)^2} = \frac{4{,}0 \times 10^{14}}{1{,}47 \times 10^{17}} \approx 2{,}7 \times 10^{-3} \ \text{m/s}^2$ .

γ) $M_\Sigma = \frac{6 \times 10^{24}}{81} \approx 7{,}4 \times 10^{22} \ \text{kg}$ και $F = M_\Sigma g \approx 7{,}4 \times 10^{22} \cdot 2{,}7 \times 10^{-3} \approx 2 \times 10^{20} \ \text{N}$ .

Απάντηση: α) $\approx 1{,}66 \ \text{m/s}^2$ β) $\approx 2{,}7 \times 10^{-3} \ \text{m/s}^2$ γ) $\approx 2 \times 10^{20} \ \text{N}$

Γρήγορος έλεγχος

Σε ύψος $h = R$ από την επιφάνεια της Γης ( $R$ η ακτίνα της), η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Η ένταση του βαρυτικού πεδίου της Γης σε ένα σημείο εξαρτάται:

Πρόκληση

Υπάρχει σημείο πάνω στην ευθεία Γης–Σελήνης όπου η συνολική ένταση του βαρυτικού πεδίου τους είναι μηδέν. Πού βρίσκεται; ( $M_\Sigma = \frac{M_\Gamma}{81}$ , απόσταση κέντρων $d = 3{,}84 \times 10^8 \ \text{m}$ )

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ανάμεσα στα δύο σώματα οι εντάσεις έχουν αντίθετες φορές. Σε απόσταση $x$ από το κέντρο της Γης:

$\frac{GM_\Gamma}{x^2} = \frac{GM_\Gamma/81}{(d - x)^2} \Rightarrow \frac{d - x}{x} = \frac{1}{9} \Rightarrow 9d - 9x = x \Rightarrow x = 0{,}9d$

$x = 0{,}9 \cdot 3{,}84 \times 10^8 \approx 3{,}46 \times 10^8 \ \text{m}$ από τη Γη — μόλις $\frac{1}{10}$ της απόστασης από τη Σελήνη. Όπως στο ηλεκτρικό ανάλογο με δύο ομώνυμα φορτία, το σημείο βρίσκεται πιο κοντά στο ασθενέστερο σώμα.

Συνηθισμένα λάθη

Ύψος αντί για απόσταση από το κέντρο: στο $g = \frac{GM}{r^2}$ το $r$ είναι $R + h$ , όχι σκέτο $h$ .
Km στους τύπους: $R = 6400 \ \text{km} = 6{,}4 \times 10^6 \ \text{m}$ πριν από κάθε αντικατάσταση με το $G$ .
Μάζα και βάρος: η μάζα δεν αλλάζει από πλανήτη σε πλανήτη· αλλάζει το βάρος $mg$ .
«Στον διαστημικό σταθμό δεν υπάρχει βαρύτητα»: υπάρχει, σχεδόν όσο στην επιφάνεια· οι αστροναύτες αιωρούνται επειδή πέφτουν συνεχώς μαζί με τον σταθμό.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Νόμος παγκόσμιας έλξης: $F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$ , με $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$
Ένταση βαρυτικού πεδίου: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$ , για σφαιρικό σώμα $g = \frac{GM}{r^2}$ με $r$ από το κέντρο
Γη: $g = \frac{GM}{(R + h)^2}$ , $g_0 \approx 9{,}8 \ \text{m/s}^2$ , χρήσιμο $GM = g_0R^2$
Κοντά στην επιφάνεια το πεδίο είναι πρακτικά ομογενές

Το βαρυτικό πεδίο

m_1

m_2

σε απόσταση

r

έλκονται με δύναμη ανάλογη του γινομένου των μαζών και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης.

Η ένταση του βαρυτικού πεδίου σε ένα σημείο ορίζεται ως η δύναμη ανά μονάδα μάζας:

\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}

. Για τη Γη (μάζα

M

, ακτίνα

R

), σε ύψος

h

από την επιφάνεια:

g = \frac{GM}{(R + h)^2}

Στην επιφάνεια (

h = 0

) προκύπτει το γνώριμο

g \approx 9{,}8\ m/s^2

. Όσο απομακρυνόμαστε, το πεδίο εξασθενεί με τον νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου.