🛣️

Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση

Θέση, μετατόπιση, ταχύτητα, x = x₀ + υt, διαγράμματα x-t και υ-t, συνάντηση κινητών

Γιατί με νοιάζει;

Το GPS σου λέει «άφιξη σε 12 λεπτά» πριν καν ξεκινήσεις. Πώς το ξέρει; Υποθέτει ότι σε κάθε κομμάτι του δρόμου θα κινηθείς με σταθερή ταχύτητα και διαιρεί απόσταση με ταχύτητα. Αυτό είναι το απλούστερο μοντέλο κίνησης, η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Εδώ θα μάθεις να γράφεις την εξίσωση κίνησης ενός κινητού, να διαβάζεις τα διαγράμματα x-t και υ-t και να βρίσκεις πότε και πού συναντιούνται δύο οχήματα.

Θέση, μετατόπιση, διάστημα

Για να περιγράψεις μια κίνηση χρειάζεσαι πρώτα έναν άξονα με αρχή και θετική φορά. Η θέση $x$ του κινητού είναι η συντεταγμένη του πάνω στον άξονα — μπορεί να είναι θετική ή αρνητική.

Η μετατόπιση στη χρονική διάρκεια $\Delta t = t_2 - t_1$ είναι η μεταβολή της θέσης:

$\Delta x = x_2 - x_1$

Είναι διανυσματικό μέγεθος — το πρόσημό της δείχνει προς τα πού κινήθηκε το σώμα. Μην τη μπερδεύεις με το διάστημα $s$ , το συνολικό μήκος της διαδρομής: αν πας 8 m δεξιά και μετά 3 m αριστερά, το διάστημα είναι $s = 11$ m, αλλά η μετατόπιση μόλις $\Delta x = +5$ m!

Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση (ΕΟΚ)

Στην ΕΟΚ το κινητό διανύει ίσες μετατοπίσεις σε ίσους χρόνους — η ταχύτητά του είναι σταθερή:

$\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \text{σταθερή}, \qquad x = \upsilon \cdot t$

Στο διάγραμμα x-t η ΕΟΚ είναι ευθεία με κλίση $\upsilon$ , ενώ στο υ-t μια οριζόντια γραμμή.

Αν τη στιγμή $t = 0$ το κινητό δεν βρίσκεται στην αρχή αλλά στη θέση $x_0$ , η εξίσωση κίνησης γίνεται $x = x_0 + \upsilon t$ . Η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος: στην ευθύγραμμη κίνηση το πρόσημό της δείχνει τη φορά — θετική ταχύτητα σημαίνει κίνηση προς τη θετική φορά του άξονα, αρνητική προς την αντίθετη. Μονάδα στο S.I. είναι το $1 \ \text{m/s}$ .

$x = x_0 + \upsilon t, \qquad \Delta x = \upsilon \cdot \Delta t$

Γρήγορος έλεγχος

Κινητό έχει εξίσωση κίνησης $x = 12 - 3t$ (S.I.). Ποια πρόταση είναι σωστή;

Τα διαγράμματα της ΕΟΚ

Διάγραμμα x-t: ευθεία γραμμή. Η κλίση της ισούται με την ταχύτητα, $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ . Γραμμή που ανεβαίνει σημαίνει θετική ταχύτητα, που κατεβαίνει αρνητική, οριζόντια σημαίνει ακινησία.
Διάγραμμα υ-t: οριζόντια ευθεία στο ύψος $\upsilon$ . Το εμβαδόν του ορθογωνίου ανάμεσα στη γραμμή και τον άξονα του χρόνου ισούται με τη μετατόπιση, $\Delta x = \upsilon \Delta t$ · αν η γραμμή είναι κάτω από τον άξονα, η μετατόπιση είναι αρνητική.

Γρήγορος έλεγχος

Στο διάγραμμα x-t ενός κινητού η γραμμή είναι ευθεία από το σημείο ( $t = 0$ , $x = 10 \ \text{m}$ ) μέχρι το ( $t = 4 \ \text{s}$ , $x = -10 \ \text{m}$ ). Η ταχύτητά του είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Στο διάγραμμα x-t ενός κινητού η γραμμή είναι οριζόντια από $t = 2 \ \text{s}$ έως $t = 5 \ \text{s}$ . Στο διάστημα αυτό το κινητό:

Ήξερες ότι;

Το φως κινείται στο κενό με σταθερή ταχύτητα περίπου $3 \times 10^{8} \ \text{m/s}$ . Ο Ήλιος απέχει από τη Γη περίπου $1{,}5 \times 10^{11} \ \text{m}$ , οπότε το φως του χρειάζεται $\frac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^{8}} = 500 \ \text{s}$ , δηλαδή περίπου 8 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα, για να φτάσει σε εμάς. Τον Ήλιο τον βλέπουμε πάντα όπως ήταν πριν από 8 λεπτά!

Μέθοδος: ασκήσεις ΕΟΚ και συνάντησης

Σχεδίασε άξονα, διάλεξε αρχή $x = 0$ , θετική φορά και τη στιγμή $t = 0$ .
Για κάθε κινητό γράψε την αρχική θέση $x_0$ και την ταχύτητα με πρόσημο (αρνητική αν κινείται αντίθετα στη θετική φορά).
Γράψε την εξίσωση κίνησης $x = x_0 + \upsilon t$ για καθένα.
Συνάντηση: θέσε $x_A = x_B$ και λύσε ως προς $t$ · η θέση συνάντησης βγαίνει με αντικατάσταση σε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις.
Έλεγξε ότι $t > 0$ και ότι οι μονάδες είναι συμβατές (m με m/s, ή km με km/h).

Παράδειγμα (εξίσωση κίνησης): Ποδηλάτης κινείται ευθύγραμμα ομαλά και τη στιγμή $t = 0$ περνά από τη θέση $x_0 = -20 \ \text{m}$ . Τη στιγμή $t = 10 \ \text{s}$ βρίσκεται στη θέση $x = 40 \ \text{m}$ . α) Βρες την ταχύτητά του. β) Γράψε την εξίσωση κίνησης. γ) Πότε περνά από την αρχή $x = 0$ ;

Λύση: α) $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{40 - (-20)}{10} = \frac{60}{10} = 6 \ \text{m/s}$ .

β) $x = -20 + 6t$ ( $x$ σε m, $t$ σε s).

γ) $0 = -20 + 6t \Rightarrow t = \frac{20}{6} \approx 3{,}3 \ \text{s}$ .

Πρόσεξε το α): η μετατόπιση είναι $60 \ \text{m}$ , όχι $40 \ \text{m}$ — η αρχική θέση ήταν αρνητική.

Παράδειγμα (αντίθετη φορά): Δύο αυτοκίνητα Α και Β απέχουν $d = 900 \ \text{m}$ και κινούνται το ένα προς το άλλο με σταθερές ταχύτητες μέτρων $\upsilon_A = 20 \ \text{m/s}$ και $\upsilon_B = 25 \ \text{m/s}$ . Πότε και πού συναντώνται;

Λύση: Αρχή η θέση του Α, θετική φορά προς το Β. Εξισώσεις: $x_A = 20t$ και $x_B = 900 - 25t$ (το Β κινείται προς την αρνητική φορά).

Συνάντηση: $20t = 900 - 25t \Rightarrow 45t = 900 \Rightarrow t = 20 \ \text{s}$ .

Θέση: $x_A = 20 \cdot 20 = 400 \ \text{m}$ από την αρχική θέση του Α. Έλεγχος: $x_B = 900 - 25 \cdot 20 = 400 \ \text{m}$ ✔

Κόλπο μνήμης

σε ασκήσεις συνάντησης σκέψου πόσο γρήγορα κλείνει η απόσταση. Αντίθετα κινούμενα οχήματα την «τρώνε» με $\upsilon_1 + \upsilon_2$ , ομόρροπα με $\upsilon_1 - \upsilon_2$ . Στο παράδειγμα με τα $900 \ \text{m}$ : $\frac{900}{20 + 25} = 20 \ \text{s}$ — ίδιο αποτέλεσμα με τις εξισώσεις, σε μία γραμμή. Χρησιμοποίησέ το για γρήγορο έλεγχο.

Γρήγορος έλεγχος

Σε διάγραμμα υ-t, κινητό έχει σταθερή ταχύτητα $\upsilon = 4 \ \text{m/s}$ επί $t = 6 \ \text{s}$ . Ποια είναι η μετατόπισή του;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Λεωφορείο περνά τη στιγμή $t = 0$ από στάση Σ, κινούμενο ευθύγραμμα ομαλά με $\upsilon_1 = 54 \ \text{km/h}$ . Ένα αυτοκίνητο περνά από την ίδια στάση $20 \ \text{s}$ αργότερα, κινούμενο ομόρροπα με σταθερή ταχύτητα $\upsilon_2 = 72 \ \text{km/h}$ .

Δεδομένα: $\upsilon_1 = 54 \ \text{km/h} = 15 \ \text{m/s}$ , $\upsilon_2 = 72 \ \text{km/h} = 20 \ \text{m/s}$ , καθυστέρηση $20 \ \text{s}$ .

Ζητούμενα: α) οι εξισώσεις κίνησης, β) πότε και πού το αυτοκίνητο φτάνει το λεωφορείο, γ) η απόστασή τους τη στιγμή $t = 50 \ \text{s}$ .

Λύση: Αρχή η στάση Σ, θετική φορά η φορά κίνησης.

α) $x_1 = 15t$ για $t \ge 0$ και $x_2 = 20(t - 20)$ για $t \ge 20 \ \text{s}$ .

β) $15t = 20t - 400 \Rightarrow 5t = 400 \Rightarrow t = 80 \ \text{s}$ , στη θέση $x = 15 \cdot 80 = 1200 \ \text{m}$ .

γ) $x_1 = 15 \cdot 50 = 750 \ \text{m}$ και $x_2 = 20 \cdot 30 = 600 \ \text{m}$ , άρα απέχουν $150 \ \text{m}$ (το λεωφορείο προηγείται ακόμα).

Απάντηση: α) $x_1 = 15t$ , $x_2 = 20(t - 20)$ β) $t = 80 \ \text{s}$ , $x = 1200 \ \text{m}$ γ) $150 \ \text{m}$ .

Πρόκληση

Η μέλισσα ανάμεσα στα τρένα. Δύο τρένα απέχουν $30 \ \text{km}$ και κινούνται το ένα προς το άλλο στην ίδια γραμμή με $50 \ \text{km/h}$ το καθένα. Μια μέλισσα ξεκινά από το πρώτο τρένο με $80 \ \text{km/h}$ , φτάνει στο δεύτερο, γυρίζει αμέσως πίσω και συνεχίζει έτσι πέρα-δώθε μέχρι να συναντηθούν τα τρένα. Πόσο συνολικό διάστημα διανύει η μέλισσα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Μην προσπαθήσεις να αθροίσεις άπειρα «πήγαινε-έλα»! Βρες πρώτα πόσο χρόνο πετάει. Με αρχή το πρώτο τρένο: $x_1 = 50t$ και $x_2 = 30 - 50t$ (km, h). Συνάντηση: $100t = 30 \Rightarrow t = 0{,}3 \ \text{h}$ .

Όλο αυτό το διάστημα η μέλισσα κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας $80 \ \text{km/h}$ , άρα $s = 80 \cdot 0{,}3 = 24 \ \text{km}$ .

Απάντηση: $24 \ \text{km}$ . Η μετατόπισή της όμως είναι μόλις $50 \cdot 0{,}3 = 15 \ \text{km}$ : καταλήγει εκεί που συναντώνται τα τρένα, στη μέση.

Συνηθισμένα λάθη

Θέση αντί για μετατόπιση: το $\upsilon = \frac{x}{t}$ ισχύει μόνο αν $x_0 = 0$ . Διόρθωση: πάντα $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x - x_0}{t}$ .
Ταχύτητα χωρίς πρόσημο: κινητό που πηγαίνει προς την αρνητική φορά έχει $\upsilon < 0$ . Διόρθωση: γράψε $x = x_0 - |\upsilon| t$ .
Κοινό $t = 0$ για κινητά που ξεκινούν σε άλλη στιγμή: Διόρθωση: για κινητό που περνά από την αρχή τη στιγμή $t_1$ γράψε $x = \upsilon (t - t_1)$ .
Ανάμικτες μονάδες: km/h μαζί με m και s. Διόρθωση: μετάτρεψε πρώτα ( $\div 3{,}6$ ).

Σύνοψη — τι κρατάμε

Θέση $x$ (με πρόσημο), μετατόπιση $\Delta x = x_2 - x_1$ , διάστημα $s$ = μήκος διαδρομής.
ΕΟΚ: σταθερή ταχύτητα $\upsilon = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ , εξίσωση κίνησης $x = x_0 + \upsilon t$ .
Το πρόσημο της $\upsilon$ δείχνει τη φορά κίνησης.
x-t: ευθεία με κλίση $\upsilon$ · υ-t: οριζόντια γραμμή, εμβαδόν = μετατόπιση.
Συνάντηση: $x_A = x_B$ με κοινή αρχή και κοινό $t = 0$ .

Θέση, μετατόπιση, διάστημα

Για να περιγράψεις μια κίνηση χρειάζεσαι πρώτα έναν άξονα με αρχή και θετική φορά. Η θέση

x

του κινητού είναι η συντεταγμένη του πάνω στον άξονα — μπορεί να είναι θετική ή αρνητική.

Η μετατόπιση στη χρονική διάρκεια

\Delta t = t_2 - t_1

είναι η μεταβολή της θέσης:

\Delta x = x_2 - x_1

Είναι διανυσματικό μέγεθος — το πρόσημό της δείχνει προς τα πού κινήθηκε το σώμα. Μην τη μπερδεύεις με το διάστημα

s

, το συνολικό μήκος της διαδρομής: αν πας 8 m δεξιά και μετά 3 m αριστερά, το διάστημα είναι

s = 11

m, αλλά η μετατόπιση μόλις

\Delta x = +5