🚀

2ος Νόμος Newton & Ελεύθερη Πτώση

Δύναμη και μεταβολή της ταχύτητας, επιτάχυνση, ΣF = m·α, ελεύθερη πτώση

Γιατί το φορτηγό φεύγει τελευταίο από το φανάρι;

Ανάβει πράσινο: το σκούτερ «φεύγει» πρώτο, το φορτωμένο φορτηγό ξεκινά νωχελικά — κι ας έχει πολύ πιο δυνατή μηχανή. Ποιος κερδίζει αυτή την κούρσα το αποφασίζει μια σχέση ανάμεσα σε δύναμη και μάζα: ο 2ος νόμος του Νεύτωνα.

Όταν η συνισταμένη δεν είναι μηδέν

Ξέρεις ήδη από τον 1ο νόμο: αν $\Sigma F = 0$ , το σώμα μένει ακίνητο ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Τι γίνεται όμως όταν $\Sigma F \neq 0$ ;

Τότε η ταχύτητα μεταβάλλεται: το σώμα επιταχύνεται όταν η δύναμη έχει την κατεύθυνση της κίνησης, επιβραδύνεται όταν είναι αντίθετη, ή στρίβει όταν είναι πλάγια.

Σκέψου ένα καρότσι του σούπερ μάρκετ: όσο το σπρώχνεις, παίρνει ταχύτητα· αν το σπρώχνεις πιο δυνατά, παίρνει ταχύτητα πιο γρήγορα. Το πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα το μετράει ένα νέο μέγεθος, η επιτάχυνση $\alpha$ , με μονάδα το $1 \; \text{m/s}^2$ — «η ταχύτητα μεγαλώνει κατά 1 m/s σε κάθε δευτερόλεπτο».

Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα

Τα πειράματα δείχνουν δύο καθαρές σχέσεις:

Για το ίδιο σώμα: διπλάσια συνισταμένη δύναμη → διπλάσια επιτάχυνση. Η επιτάχυνση είναι ανάλογη της δύναμης.
Για την ίδια δύναμη: διπλάσια μάζα → μισή επιτάχυνση. Η επιτάχυνση είναι αντιστρόφως ανάλογη της μάζας.

Γι' αυτό το ίδιο σπρώξιμο εκτοξεύει ένα άδειο καρότσι αλλά μετά βίας κουνάει ένα γεμάτο: η μάζα είναι το μέτρο της αδράνειας, της «αντίστασης» του σώματος στην αλλαγή της κίνησής του.

Οι δύο σχέσεις μαζί δίνουν τον 2ο νόμο του Νεύτωνα — και μας χαρίζουν τη μονάδα δύναμης: $1 \; \text{N}$ είναι η δύναμη που δίνει σε μάζα $1 \; \text{kg}$ επιτάχυνση $1 \; \text{m/s}^2$ .

$\Sigma F = m \cdot \alpha \qquad 1 \; \text{N} = 1 \; \text{kg} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Μεγάλωσε σταδιακά τη δύναμη και δες το σημείο να χαράζει το γράφημα δύναμης–επιτάχυνσης: θα ανακαλύψεις ότι τα σημεία πέφτουν πάνω σε ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων — διπλάσια δύναμη, διπλάσια επιτάχυνση — και ότι η κλίση της ευθείας κρύβει τη μάζα του σώματος.

Γρήγορος έλεγχος

Στο ίδιο σώμα ασκούμε τριπλάσια συνισταμένη δύναμη. Τι θα συμβεί στην επιτάχυνσή του;

Κόλπο μνήμης

Σκέψου το καρότσι του σούπερ μάρκετ: σπρώξε πιο δυνατά → η ταχύτητα αλλάζει πιο γρήγορα ( $\alpha$ μεγαλώνει με τη $\Sigma F$ ). Γέμισέ το με νερά → με το ίδιο σπρώξιμο αλλάζει πιο αργά ( $\alpha$ μικραίνει με τη $m$ ). Όλο αυτό χωράει στο $\alpha = \frac{\Sigma F}{m}$ .

Μέθοδος: ασκήσεις με τον 2ο νόμο

Σχεδίασε το σώμα και όλες τις δυνάμεις (σπρώξιμο, τριβή, βάρος, στήριξη...).
Βρες τη συνισταμένη $\Sigma F$ στη διεύθυνση της κίνησης: οι δυνάμεις με τη φορά της κίνησης θετικές, οι αντίθετες αρνητικές.
Υπολόγισε την επιτάχυνση: $\alpha = \frac{\Sigma F}{m}$ (μάζα σε kg, όχι βάρος!).
Αν ξεκινά από την ηρεμία, η ταχύτητα μετά από χρόνο $t$ είναι $\upsilon = \alpha \cdot t$ · αν φρενάρει από $\upsilon_0$ ως το σταμάτημα, ο χρόνος είναι $t = \frac{\upsilon_0}{\alpha}$ .
Έλεγξε το πρόσημο: $\Sigma F$ αντίθετη στην κίνηση σημαίνει επιβράδυνση.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Σε κιβώτιο μάζας $m = 20 \; \text{kg}$ πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο ασκείται οριζόντια δύναμη $F = 60 \; \text{N}$ .

(α) Επιτάχυνση: $\alpha = \frac{\Sigma F}{m} = \frac{60}{20} = 3 \; \text{m/s}^2$ — η ταχύτητα μεγαλώνει κατά 3 m/s σε κάθε δευτερόλεπτο.

(β) Αν ξεκίνησε από την ηρεμία, μετά από $t = 4 \; \text{s}$ έχει ταχύτητα $\upsilon = 3 \cdot 4 = 12 \; \text{m/s}$ .

(γ) Με διπλάσιο φορτίο ( $m' = 40 \; \text{kg}$ ) και ίδια δύναμη: $\alpha' = \frac{60}{40} = 1{,}5 \; \text{m/s}^2$ — διπλάσια μάζα, μισή επιτάχυνση, όπως ακριβώς προβλέπει ο 2ος νόμος.

Γρήγορος έλεγχος

Σε σώμα μάζας 4 kg ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάμεις: 20 N προς τα δεξιά και 8 N προς τα αριστερά. Ποια είναι η επιτάχυνσή του;

Παράδειγμα 2 — καρότσι με τριβή: Σπρώχνεις καρότσι μάζας $m = 30 \; \text{kg}$ με οριζόντια δύναμη $F = 90 \; \text{N}$ . Το δάπεδο ασκεί τριβή $T = 30 \; \text{N}$ . Το καρότσι ξεκινά από την ηρεμία.

Δεδομένα: $m = 30 \; \text{kg}$ , $F = 90 \; \text{N}$ , $T = 30 \; \text{N}$ (αντίθετη στην κίνηση).

Ζητούμενα: η επιτάχυνση και η ταχύτητα μετά από $3 \; \text{s}$ .

Λύση: $\Sigma F = F - T = 90 - 30 = 60 \; \text{N}$ , άρα $\alpha = \frac{60}{30} = 2 \; \text{m/s}^2$ .

Μετά από $3 \; \text{s}$ : $\upsilon = \alpha \cdot t = 2 \cdot 3 = 6 \; \text{m/s}$ .

Απάντηση: $\alpha = 2 \; \text{m/s}^2$ , $\upsilon = 6 \; \text{m/s}$ . Αν έσπρωχνες με μόλις $30 \; \text{N}$ , θα ήταν $\Sigma F = 0$ : το καρότσι θα κινούνταν με σταθερή ταχύτητα (αν ήδη κινούνταν).

Παράδειγμα 3 — φρενάρισμα: Αυτοκίνητο μάζας $m = 1200 \; \text{kg}$ κινείται με $\upsilon_0 = 20 \; \text{m/s}$ ( $72 \; \text{km/h}$ ). Ο οδηγός φρενάρει και τα φρένα ασκούν σταθερή δύναμη $F = 6000 \; \text{N}$ αντίθετη στην κίνηση.

(α) Επιβράδυνση: $\alpha = \frac{6000}{1200} = 5 \; \text{m/s}^2$ — η ταχύτητα μειώνεται κατά $5 \; \text{m/s}$ κάθε δευτερόλεπτο.

(β) Χρόνος ως το σταμάτημα: $20 \to 15 \to 10 \to 5 \to 0$ , δηλαδή $t = \frac{20}{5} = 4 \; \text{s}$ .

(γ) Αν το αυτοκίνητο ήταν φορτωμένο ( $m = 1500 \; \text{kg}$ ) με ίδια δύναμη φρένων: $\alpha' = \frac{6000}{1500} = 4 \; \text{m/s}^2$ και $t' = \frac{20}{4} = 5 \; \text{s}$ — μεγαλύτερη μάζα, μεγαλύτερη αδράνεια, αργότερο σταμάτημα.

Ελεύθερη πτώση: το πείραμα του Γαλιλαίου

Άφησε μια πέτρα και ένα φτερό από το ίδιο ύψος. Η πέτρα φτάνει πρώτη — αλλά μόνο εξαιτίας του αέρα! Ελεύθερη πτώση λέγεται η πτώση όπου η μόνη δύναμη είναι το βάρος, χωρίς αντίσταση αέρα.

Ο Γαλιλαίος το υποστήριξε πρώτος και οι αστροναύτες του Apollo 15 το απέδειξαν στη Σελήνη: σφυρί και φτερό, χωρίς ατμόσφαιρα, προσγειώθηκαν ταυτόχρονα!

Γιατί συμβαίνει αυτό; Το σώμα με διπλάσια μάζα έχει διπλάσιο βάρος $w = m \cdot g$ , αλλά χρειάζεται και διπλάσια δύναμη για την ίδια επιτάχυνση. Τα δύο «διπλάσια» αλληλοεξουδετερώνονται:

$\alpha = \frac{w}{m} = \frac{m \cdot g}{m} = g$

Όλα τα σώματα στην ελεύθερη πτώση πέφτουν με την ίδια επιτάχυνση $g \approx 9{,}8 \; \text{m/s}^2$ (συχνά στρογγυλεύουμε $g = 10 \; \text{m/s}^2$ ): σε κάθε δευτερόλεπτο, η ταχύτητα μεγαλώνει κατά περίπου 10 m/s.

Παρακολούθησε τις στήλες ενέργειας καθώς το σώμα πέφτει: θα ανακαλύψεις ότι η δυναμική ενέργεια αδειάζει με τον ίδιο ακριβώς ρυθμό που γεμίζει η κινητική — η πτώση είναι μια συνεχής μετατροπή ύψους σε ταχύτητα, με το άθροισμα σταθερό.

Παράδειγμα 4 — πέτρα από γέφυρα: Αφήνεις μια πέτρα από μια γέφυρα και φτάνει στο νερό σε $t = 2 \; \text{s}$ . Θεώρησε ελεύθερη πτώση με $g = 10 \; \text{m/s}^2$ .

(α) Ταχύτητα τη στιγμή που φτάνει στο νερό: $\upsilon = g \cdot t = 10 \cdot 2 = 20 \; \text{m/s}$ .

(β) Ύψος της γέφυρας, με διατήρηση της ενέργειας: $m g h = \frac{1}{2} m \upsilon^2 \Rightarrow h = \frac{\upsilon^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20 \; \text{m}$ .

(γ) Αν αφήναμε μια δεύτερη, διπλάσιας μάζας πέτρα, θα έφτανε επίσης σε $2 \; \text{s}$ με $20 \; \text{m/s}$ — στην ελεύθερη πτώση η μάζα δεν παίζει ρόλο.

Γρήγορος έλεγχος

Στη Σελήνη (χωρίς ατμόσφαιρα) αφήνουμε ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος ένα σφυρί και ένα φτερό. Τι θα παρατηρήσουμε;

Ήξερες ότι;

Το 1971 ο αστροναύτης Ντέιβιντ Σκοτ (αποστολή Apollo 15) στάθηκε στη Σελήνη μπροστά στην κάμερα και άφησε ταυτόχρονα ένα σφυρί και ένα φτερό γερακιού. Χωρίς αέρα να φρενάρει το φτερό, έφτασαν στο έδαφος ακριβώς μαζί — επιβεβαιώνοντας ζωντανά, μπροστά σε εκατομμύρια τηλεθεατές, την ιδέα του Γαλιλαίου.

Γρήγορος έλεγχος

Ένας αλεξιπτωτιστής με ανοιχτό αλεξίπτωτο κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα. Πόση είναι η συνισταμένη δύναμη πάνω του;

Στον 2ο νόμο μπαίνει πάντα η συνισταμένη $\Sigma F$ , όχι μία μεμονωμένη δύναμη — πρώτα σχεδίασε όλες τις δυνάμεις και βρες τη συνισταμένη, μετά διαίρεσε με τη μάζα. Μην μπερδεύεις μάζα (kg, ίδια παντού) με βάρος ( $w = m \cdot g$ , αλλάζει από πλανήτη σε πλανήτη). Και θυμήσου: $\Sigma F = 0$ σημαίνει σταθερή ταχύτητα — όχι απαραίτητα ακινησία!

Πρόκληση

Αυτοκίνητο μάζας $1000 \; \text{kg}$ ξεκινά από το φανάρι. Η κινητήρια δύναμη είναι $3000 \; \text{N}$ και οι αντιστάσεις (τριβές, αέρας) συνολικά $1000 \; \text{N}$ . (α) Πόση είναι η επιτάχυνσή του; (β) Σε πόσο χρόνο φτάνει τα $72 \; \text{km/h}$ ; (γ) Από εκεί και πέρα κινείται με σταθερή ταχύτητα: πόση κινητήρια δύναμη χρειάζεται τώρα; (δ) Αν ο κινητήρας σβήσει ξαφνικά και οι αντιστάσεις μείνουν $1000 \; \text{N}$ , σε πόσο χρόνο σταματά;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $\Sigma F = 3000 - 1000 = 2000 \; \text{N}$ , άρα $\alpha = \frac{2000}{1000} = 2 \; \text{m/s}^2$ .

(β) $72 \; \text{km/h} = 20 \; \text{m/s}$ , και από την ηρεμία $t = \frac{\upsilon}{\alpha} = \frac{20}{2} = 10 \; \text{s}$ .

(γ) Σταθερή ταχύτητα σημαίνει $\Sigma F = 0$ : κινητήρια δύναμη $1000 \; \text{N}$ , ίση με τις αντιστάσεις.

(δ) Μένει μόνο η αντίσταση: επιβράδυνση $\alpha = \frac{1000}{1000} = 1 \; \text{m/s}^2$ , άρα $t = \frac{20}{1} = 20 \; \text{s}$ .

Απάντηση: (α) $2 \; \text{m/s}^2$ · (β) $10 \; \text{s}$ · (γ) $1000 \; \text{N}$ · (δ) $20 \; \text{s}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Μία δύναμη αντί για τη συνισταμένη. Στο $\alpha = \frac{\Sigma F}{m}$ αφαιρείς πρώτα την τριβή και τις αντίθετες δυνάμεις.
Βάρος στη θέση της μάζας. Αν σου δίνουν «σώμα βάρους 200 N», η μάζα είναι $\frac{200}{10} = 20 \; \text{kg}$ .
«Κινείται, άρα κάποια δύναμη το σπρώχνει». Για σταθερή ταχύτητα χρειάζεται $\Sigma F = 0$ · δύναμη χρειάζεται μόνο για να αλλάξει η ταχύτητα.
«Τα βαριά πέφτουν πιο γρήγορα». Χωρίς αέρα όλα πέφτουν με $\alpha = g$ · τη διαφορά στην καθημερινότητα την κάνει η αντίσταση του αέρα.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αν $\Sigma F \neq 0$ , η ταχύτητα αλλάζει: επιτάχυνση $\alpha$ με μονάδα $\text{m/s}^2$ .
2ος νόμος: $\Sigma F = m \cdot \alpha$ — $\alpha$ ανάλογη της $\Sigma F$ , αντιστρόφως ανάλογη της μάζας.
$1 \; \text{N}$ = η δύναμη που δίνει σε $1 \; \text{kg}$ επιτάχυνση $1 \; \text{m/s}^2$ .
Από την ηρεμία: $\upsilon = \alpha \cdot t$ · δύναμη αντίθετη στην κίνηση → επιβράδυνση.
Ελεύθερη πτώση: μόνη δύναμη το βάρος, $\alpha = g \approx 10 \; \text{m/s}^2$ για όλα τα σώματα.

Όταν η συνισταμένη δεν είναι μηδέν

Ξέρεις ήδη από τον 1ο νόμο: αν

\Sigma F = 0

, το σώμα μένει ακίνητο ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Τι γίνεται όμως όταν

\Sigma F \neq 0

;

\alpha

, με μονάδα το

1 \; \text{m/s}^2

— «η ταχύτητα μεγαλώνει κατά 1 m/s σε κάθε δευτερόλεπτο».