🎢

Δυναμική & Μηχανική Ενέργεια

U = mgh, επίπεδο αναφοράς, E = K + U, διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

Γιατί στο τρενάκι του λούνα παρκ ο πρώτος «λόφος» είναι σχεδόν πάντα ο ψηλότερος;

Το τρενάκι ανεβαίνει τον πρώτο λόφο τραβηγμένο από μηχανισμό. Από εκεί και πέρα κανένας κινητήρας δεν το σπρώχνει: όλη η διαδρομή «πληρώνεται» από την ενέργεια που πήρε στην κορυφή. Και επειδή οι τριβές τρώνε λίγη ενέργεια σε κάθε μέτρο, κανένας επόμενος λόφος δεν μπορεί να είναι ψηλότερος. Σε αυτό το μάθημα μαθαίνεις να κάνεις αυτόν τον «ενεργειακό λογαριασμό», και να λύνεις ασκήσεις χωρίς εξισώσεις κίνησης.

Η δυναμική ενέργεια

Η δυναμική ενέργεια $U = mgh$ είναι «αποθηκευμένη» ενέργεια θέσης, ως προς ένα επίπεδο αναφοράς που διαλέγεις εσύ. Κρίσιμη ιδιότητα: το έργο του βάρους εξαρτάται μόνο από το αρχικό και το τελικό ύψος, όχι από τη διαδρομή — γι' αυτό το βάρος λέγεται συντηρητική δύναμη.

Η σύνδεση με το έργο: όταν το σώμα πηγαίνει από ύψος $h_1$ σε ύψος $h_2$ , το έργο του βάρους ισούται με τη μείωση της δυναμικής ενέργειας, $W_w = U_1 - U_2$ . Σώμα κάτω από το επίπεδο αναφοράς έχει $U < 0$ · αυτό δεν πειράζει, γιατί σημασία έχουν μόνο οι μεταβολές της $U$ , που είναι ίδιες όποιο επίπεδο αναφοράς κι αν διαλέξεις.

$U = m g h, \qquad E = K + U, \qquad K_1 + U_1 = K_2 + U_2$

Γρήγορος έλεγχος

Βιβλίο μάζας $1 \ \text{kg}$ βρίσκεται σε ράφι $2 \ \text{m}$ πάνω από το πάτωμα. Με επίπεδο αναφοράς το τραπέζι, που είναι $0{,}8 \ \text{m}$ πάνω από το πάτωμα, η δυναμική ενέργεια του βιβλίου είναι ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ):

Άφησε το σώμα να πέσει και παρακολούθησε τις μπάρες ενέργειας: θα δεις τη δυναμική U να αδειάζει και την κινητική K να γεμίζει ακριβώς όσο χάνεται η U — το συνολικό ύψος K + U μένει αμετάβλητο, και αυτό ακριβώς είναι η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

Η μηχανική ενέργεια είναι το άθροισμα $E = K + U$ . Όταν στο σώμα δρα μόνο το βάρος (χωρίς τριβές και αντιστάσεις), η μηχανική ενέργεια διατηρείται:

$K_{\alpha\rho\chi} + U_{\alpha\rho\chi} = K_{\tau\epsilon\lambda} + U_{\tau\epsilon\lambda}$

Ό,τι χάνει το σώμα σε ύψος το κερδίζει σε ταχύτητα — και αντίστροφα. Αν όμως υπάρχει τριβή, η μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται — αυτό το εξετάζουμε στην τριβή και τη μηχανική ενέργεια.

Απόδειξη: από το ΘΜΚΕ, $W_w = K_{\tau\epsilon\lambda} - K_{\alpha\rho\chi}$ · από την ιδιότητα του βάρους, $W_w = U_{\alpha\rho\chi} - U_{\tau\epsilon\lambda}$ . Εξισώνοντας: $K_{\tau\epsilon\lambda} - K_{\alpha\rho\chi} = U_{\alpha\rho\chi} - U_{\tau\epsilon\lambda}$ , δηλαδή $K_{\alpha\rho\chi} + U_{\alpha\rho\chi} = K_{\tau\epsilon\lambda} + U_{\tau\epsilon\lambda}$ .

Μέθοδος: ενεργειακή λύση

Όρισε αρχική και τελική θέση και δήλωσε το επίπεδο αναφοράς ( $U = 0$ ).
Ρώτα: ποιες δυνάμεις παράγουν έργο; Αν μόνο το βάρος, εφάρμοσε διατήρηση μηχανικής ενέργειας: $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$ .
Αν υπάρχει τριβή ή άλλη δύναμη, εφάρμοσε ΘΜΚΕ: $\frac{1}{2}m\upsilon_2^2 - \frac{1}{2}m\upsilon_1^2 = W_w + W_F + W_T + \dots$ , με $W_T = -T \cdot x$ .
Σε διαδρομή με τμήματα (π.χ. λείο και τραχύ) δούλεψε τμήμα-τμήμα: η τελική ταχύτητα του ενός είναι η αρχική του επόμενου.
Η θερμότητα που παράγει η τριβή είναι $Q = |W_T| = T \cdot x$ .

Άσκηση: Σώμα αφήνεται από ύψος $h = 20 \ \text{m}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , αντίσταση αέρα αμελητέα). α) Με τι ταχύτητα φτάνει στο έδαφος; β) Ποια είναι η ταχύτητά του σε ύψος $15 \ \text{m}$ ;

Λύση: α) Διατήρηση μηχανικής ενέργειας με επίπεδο αναφοράς το έδαφος. Αρχικά $K = 0$ , $U = mgh$ · στο έδαφος $U = 0$ :

$m g h = \frac{1}{2} m \upsilon^2 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} = 20 \ \text{m/s}$

Η μάζα απλοποιήθηκε — το αποτέλεσμα είναι ίδιο για κάθε σώμα!

β) Στο ύψος $h' = 15 \ \text{m}$ :

$m g h = \frac{1}{2} m \upsilon'^2 + m g h' \Rightarrow \upsilon' = \sqrt{2 g (h - h')} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = 10 \ \text{m/s}$

Χωρίς χρόνο, χωρίς εξισώσεις κίνησης — η ενεργειακή μέθοδος πάει κατευθείαν στην απάντηση. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος $20 \ \text{m}$ χωρίς αντίσταση αέρα. Σε ποιο ύψος από το έδαφος η κινητική του ενέργεια ισούται με τη δυναμική (αναφορά το έδαφος);

Παράδειγμα (εκκρεμές): Μικρή σφαίρα εκκρεμούς αφήνεται από θέση που βρίσκεται $h = 0{,}45 \ \text{m}$ ψηλότερα από το κατώτατο σημείο της τροχιάς της ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , χωρίς αντιστάσεις). α) Με τι ταχύτητα περνά από το κατώτατο σημείο; β) Σε ποιο ύψος πάνω από το κατώτατο σημείο η ταχύτητά της είναι $2 \ \text{m/s}$ ;

Λύση: Η τάση του νήματος είναι σε κάθε θέση κάθετη στην (κυκλική) τροχιά, άρα δεν παράγει έργο: έργο παράγει μόνο το βάρος και η μηχανική ενέργεια διατηρείται. Αναφορά το κατώτατο σημείο.

α) $mgh = \frac{1}{2}m\upsilon^2 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}45} = \sqrt{9} = 3 \ \text{m/s}$ .

β) $mgh = \frac{1}{2}m\upsilon'^2 + mgh' \Rightarrow 4{,}5 = 2 + 10h' \Rightarrow h' = 0{,}25 \ \text{m}$ (η μάζα απλοποιήθηκε).

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Μπάλα μάζας $m = 0{,}2 \ \text{kg}$ εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω από την ταράτσα κτιρίου ύψους $H = 15 \ \text{m}$ με ταχύτητα $\upsilon_0 = 10 \ \text{m/s}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ , χωρίς αντίσταση αέρα). Επίπεδο αναφοράς το έδαφος.

Δεδομένα: $m = 0{,}2 \ \text{kg}$ , $H = 15 \ \text{m}$ , $\upsilon_0 = 10 \ \text{m/s}$ .

Ζητούμενα: α) η μηχανική ενέργεια της μπάλας, β) το μέγιστο ύψος από το έδαφος, γ) η ταχύτητα με την οποία φτάνει στο έδαφος, δ) το ύψος όπου $K = U$ .

Λύση: α) $E = \frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot 100 + 0{,}2 \cdot 10 \cdot 15 = 10 + 30 = 40 \ \text{J}$ , σταθερή σε όλη την κίνηση.

β) Στο ανώτατο σημείο $K = 0$ : $mgh_{max} = 40 \Rightarrow h_{max} = \frac{40}{2} = 20 \ \text{m}$ .

γ) Στο έδαφος $U = 0$ : $\frac{1}{2} \cdot 0{,}2 \cdot \upsilon^2 = 40 \Rightarrow \upsilon^2 = 400 \Rightarrow \upsilon = 20 \ \text{m/s}$ .

δ) $K = U \Rightarrow E = 2U = 2mgh \Rightarrow h = \frac{40}{4} = 10 \ \text{m}$ .

Απάντηση: α) $40 \ \text{J}$ β) $20 \ \text{m}$ γ) $20 \ \text{m/s}$ δ) $10 \ \text{m}$ .

Ήξερες ότι;

Στο άλμα επί κοντώ ο αθλητής μετατρέπει την κινητική ενέργεια της φόρας του σε δυναμική ενέργεια ύψους. Με ταχύτητα περίπου $10 \ \text{m/s}$ στο τέλος της φόρας, η διατήρηση της ενέργειας δίνει άνοδο του κέντρου μάζας κατά $\frac{\upsilon^2}{2g} \approx 5 \ \text{m}$ . Αν προσθέσεις το αρχικό ύψος του κέντρου μάζας (περίπου $1 \ \text{m}$ ) και λίγη ώθηση με τα χέρια, εξηγείται γιατί τα παγκόσμια ρεκόρ βρίσκονται λίγο πάνω από τα $6 \ \text{m}$ .

Πρόκληση

Σχεδίασε το τρενάκι. Βαγόνι μάζας $m = 500 \ \text{kg}$ ξεκινά από ηρεμία στην κορυφή Α ύψους $45 \ \text{m}$ ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ ). Αρχικά αγνόησε τις τριβές. (α) Με τι ταχύτητα περνά από το χαμηλότερο σημείο (ύψος $0$ ); (β) Με τι ταχύτητα περνά από την κορυφή ενός δεύτερου λόφου ύψους $25 \ \text{m}$ ; (γ) Μπορεί ο μηχανικός να βάλει τρίτο λόφο ύψους $50 \ \text{m}$ ; (δ) Στην πραγματικότητα, με τριβές, το βαγόνι περνά από το χαμηλότερο σημείο με $28 \ \text{m/s}$ . Πόση ενέργεια έγινε θερμότητα;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Επίπεδο αναφοράς το χαμηλότερο σημείο. Χωρίς τριβές διατηρείται η μηχανική ενέργεια, και η μάζα απλοποιείται.

(α) $mgh = \frac{1}{2}m\upsilon^2 \Rightarrow \upsilon = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 45} = \sqrt{900} = 30 \ \text{m/s}$ .

(β) $\upsilon' = \sqrt{2g(45 - 25)} = \sqrt{400} = 20 \ \text{m/s}$ .

(γ) Όχι: το βαγόνι μπορεί να ανέβει το πολύ μέχρι εκεί όπου $K = 0$ , δηλαδή στα $45 \ \text{m}$ . Για λόφο $50 \ \text{m}$ θα χρειαζόταν $U = mg \cdot 50$ , περισσότερη από την ενέργεια που έχει.

(δ) Αρχική ενέργεια $U = 500 \cdot 10 \cdot 45 = 225\,000 \ \text{J}$ . Κινητική στο κάτω σημείο $K = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 28^2 = 250 \cdot 784 = 196\,000 \ \text{J}$ . Θερμότητα: $225\,000 - 196\,000 = 29\,000 \ \text{J} = 29 \ \text{kJ}$ .

Απάντηση: $30 \ \text{m/s}$ , $20 \ \text{m/s}$ , όχι, $29 \ \text{kJ}$ . Γι' αυτό ο πρώτος λόφος είναι ο ψηλότερος!

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω χωρίς αντίσταση αέρα. Κατά την άνοδο:

Όταν η άσκηση δεν ζητάει (και δεν δίνει) χρόνο, σκέψου πρώτα ενεργειακά: διατήρηση αν δρα μόνο το βάρος, ΘΜΚΕ αν υπάρχει τριβή ή άλλη δύναμη. Δήλωνε πάντα ρητά το επίπεδο αναφοράς ( $U = 0$ ) πριν γράψεις ενέργειες — εκεί χάνονται οι περισσότερες μονάδες. Και έλεγχος γωνίας στο $W = F x \text{συν}\theta$ : η $\theta$ μετριέται ανάμεσα στη δύναμη και τη μετατόπιση, όχι στο δάπεδο.

Συνηθισμένα λάθη

Διατήρηση ενέργειας με τριβή: με τριβή η μηχανική ενέργεια ΔΕΝ διατηρείται. Διόρθωση: ΘΜΚΕ με $W_T = -T x$ .
Αρνητικό $U$ : κάτω από το επίπεδο αναφοράς είναι $U < 0$ — σωστό, αρκεί να κρατήσεις το ίδιο επίπεδο σε όλη τη λύση.
Ύψος από λάθος σημείο: το $h$ στο $U = mgh$ μετριέται από το επίπεδο αναφοράς, όχι από το σημείο εκκίνησης.
Διατήρηση ενώ ασκείται εξωτερική δύναμη: αν σπρώχνεις ή τραβάς το σώμα, η δύναμή σου αλλάζει τη μηχανική ενέργεια. Διόρθωση: διατήρηση μόνο όταν έργο παράγει μόνο το βάρος.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Δυναμική ενέργεια $U = mgh$ , ως προς επίπεδο αναφοράς που διαλέγεις· $W_w = U_1 - U_2$ .
Μηχανική ενέργεια $E = K + U$ .
Μόνο βάρος: $K_1 + U_1 = K_2 + U_2$ — ό,τι χάνεται σε ύψος κερδίζεται σε ταχύτητα.
Η μάζα συχνά απλοποιείται: $\upsilon = \sqrt{2gh}$ για πτώση από ύψος $h$ .

Η δυναμική ενέργεια

Η δυναμική ενέργεια

U = mgh

είναι «αποθηκευμένη» ενέργεια θέσης, ως προς ένα επίπεδο αναφοράς που διαλέγεις εσύ. Κρίσιμη ιδιότητα: το έργο του βάρους εξαρτάται μόνο από το αρχικό και το τελικό ύψος, όχι από τη διαδρομή — γι' αυτό το βάρος λέγεται συντηρητική δύναμη.

Η σύνδεση με το έργο: όταν το σώμα πηγαίνει από ύψος

h_1

σε ύψος

h_2

, το έργο του βάρους ισούται με τη μείωση της δυναμικής ενέργειας,

W_w = U_1 - U_2

. Σώμα κάτω από το επίπεδο αναφοράς έχει

U < 0

· αυτό δεν πειράζει, γιατί σημασία έχουν μόνο οι μεταβολές της

U

, που είναι ίδιες όποιο επίπεδο αναφοράς κι αν διαλέξεις.