🌱

Τετραγωνικές Ρίζες & Άρρητοι

Ορισμός √α, άρρητοι αριθμοί, εκτίμηση ριζών

Γιατί με νοιάζει;

Θέλεις ένα τετράγωνο χαλί με εμβαδόν $2 \text{ m}^2$ . Πόσο πρέπει να είναι η πλευρά του; Το $1$ m δίνει $1 \text{ m}^2$ — λίγο. Το $1{,}5$ m δίνει $2{,}25 \text{ m}^2$ — πολύ. Ψάχνεις τον αριθμό που στο τετράγωνο κάνει ακριβώς $2$ — και θα ανακαλύψεις ότι δεν γράφεται ούτε ως κλάσμα ούτε ως δεκαδικός που τελειώνει. Αυτή η ανακάλυψη ήταν μια από τις μεγαλύτερες εκπλήξεις των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών.

Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού $\alpha$ είναι ο θετικός αριθμός που, αν τον υψώσεις στο τετράγωνο, δίνει το $\alpha$ . Τη γράφουμε $\sqrt{\alpha}$ .

Δηλαδή $\sqrt{25} = 5$ , γιατί $5^2 = 25$ και $5 > 0$ . Επίσης $\sqrt{0} = 0$ . Προσοχή: αρνητικός αριθμός δεν έχει τετραγωνική ρίζα, γιατί κανένα τετράγωνο δεν είναι αρνητικό. Η ρίζα είναι η αντίστροφη πράξη του τετραγωνισμού: αν ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν $E$ , η πλευρά του είναι $\sqrt{E}$ .

$\sqrt{\alpha} = x \iff x^2 = \alpha, \quad x \geq 0 \qquad \left(\sqrt{\alpha}\right)^2 = \alpha \qquad \sqrt{\alpha^2} = \alpha, \;\; \alpha \geq 0$

Παράδειγμα (υπολογισμοί με τον ορισμό): Να υπολογιστούν: (α) $\sqrt{144}$ , (β) $\sqrt{0{,}49}$ , (γ) $\sqrt{\frac{9}{16}}$ , (δ) $\sqrt{3^2 + 4^2}$ , (ε) $\sqrt{(-5)^2}$ .

(α) $\sqrt{144} = 12$ , γιατί $12^2 = 144$ και $12 > 0$ .

(β) $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ , γιατί $0{,}7^2 = 0{,}49$ . (Έλεγξε: το $0{,}07^2 = 0{,}0049$ — όχι!)

(γ) $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ , γιατί $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$ .

(δ) Πρώτα η πράξη μέσα στη ρίζα: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

(ε) Πάλι πρώτα μέσα: $(-5)^2 = 25$ , άρα $\sqrt{25} = 5$ . Η ρίζα δεν βγαίνει ποτέ αρνητική.

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\sqrt{0{,}09}$ ;

Κόλπο μνήμης

Στη ρίζα ενός δεκαδικού, τα δεκαδικά ψηφία μοιράζονται στα δύο. Το $0{,}09$ έχει $2$ δεκαδικά, άρα η ρίζα του έχει $1$ : $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ . Το $0{,}0016$ έχει $4$ , άρα η ρίζα του έχει $2$ : $\sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$ . Έλεγχος πάντα με τετράγωνο: $0{,}04^2 = 0{,}0016$ ✓.

Άρρητοι και πραγματικοί αριθμοί

Ο $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων — τα δεκαδικά του ψηφία συνεχίζονται άπειρα χωρίς περίοδο. Τέτοιοι αριθμοί λέγονται άρρητοι. Τους συναντάμε συνεχώς: $\sqrt{2}$ είναι η διαγώνιος τετραγώνου πλευράς 1, και το $\pi$ είναι επίσης άρρητος.

Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν τους πραγματικούς αριθμούς, που γεμίζουν πλήρως την ευθεία των αριθμών: κάθε σημείο της αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό.

Προσοχή: δεν είναι κάθε ρίζα άρρητος! Το $\sqrt{36} = 6$ είναι ρητός. Άρρητη είναι η ρίζα όταν ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Οι οικογένειες των αριθμών και η σύγκριση

Οι αριθμοί που ξέρεις «χωράνε» ο ένας μέσα στον άλλον:

Φυσικοί $\mathbb{N}$ : $0, 1, 2, 3, \ldots$
Ακέραιοι $\mathbb{Z}$ : οι φυσικοί και οι αντίθετοί τους, $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
Ρητοί $\mathbb{Q}$ : όσοι γράφονται ως κλάσμα ακεραίων — δηλαδή οι ακέραιοι, οι τερματιζόμενοι και οι περιοδικοί δεκαδικοί.
Πραγματικοί $\mathbb{R}$ : οι ρητοί μαζί με τους άρρητους.

Για να συγκρίνουμε ρίζες μεταξύ τους ή με άλλους αριθμούς, συγκρίνουμε τα τετράγωνα: για θετικούς αριθμούς, μεγαλύτερος αριθμός έχει μεγαλύτερο τετράγωνο. Π.χ. $4 = \sqrt{16} > \sqrt{15}$ , και $\sqrt{7} < \sqrt{10}$ γιατί $7 < 10$ .

Κάνε ζουμ στην ευθεία: ο √2 κρύβεται ανάμεσα στο 1,4 και το 1,5 — και όσο ζουμάρεις, τόσο στενεύει η «φυλακή» του χωρίς τα ψηφία του να τελειώνουν ποτέ.

Ήξερες ότι;

Κρατάς τον $\sqrt{2}$ στα χέρια σου κάθε μέρα! Ένα φύλλο A4 έχει διαστάσεις $210 \text{ mm} \times 297 \text{ mm}$ και $\frac{297}{210} \approx 1{,}414 \approx \sqrt{2}$ . Δεν είναι σύμπτωση: με αυτόν τον λόγο, όταν διπλώνεις το φύλλο στη μέση, παίρνεις το A5 με ακριβώς το ίδιο σχήμα. Γι' αυτό τα φωτοτυπικά μικραίνουν από A4 σε A5 χωρίς να «κόβουν» τίποτα.

Εκτίμηση ρίζας — η μέθοδος του εγκλεισμού

Για να εκτιμήσουμε το $\sqrt{40}$ , το «κλειδώνουμε» ανάμεσα σε διαδοχικά τέλεια τετράγωνα:

$36 < 40 < 49 \Rightarrow \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \Rightarrow 6 < \sqrt{40} < 7$

Μετά στενεύουμε με δεκαδικά: $6{,}3^2 = 39{,}69$ και $6{,}4^2 = 40{,}96$ , άρα $6{,}3 < \sqrt{40} < 6{,}4$ . Έτσι προσεγγίζουμε όσο ακριβώς θέλουμε, ψηφίο-ψηφίο.

Μέθοδος: εκτίμηση ρίζας με ακρίβεια δεκάτου

Βρες τα διαδοχικά τέλεια τετράγωνα ανάμεσα στα οποία βρίσκεται ο αριθμός — αυτό δίνει το ακέραιο μέρος της ρίζας.
Δοκίμασε τα δέκατα με τη σειρά ( $6{,}1^2$ , $6{,}2^2$ , …) μέχρι το τετράγωνο να ξεπεράσει τον αριθμό.
Γράψε τον εγκλεισμό $\alpha < \sqrt{x} < \alpha + 0{,}1$ .
Για στρογγυλοποίηση, τετραγώνισε το μέσο του διαστήματος: αν βγει μεγαλύτερο από τον αριθμό, κρατάς το κάτω άκρο, αλλιώς το πάνω.

Παράδειγμα (τύπου διαγωνίσματος): Τετράγωνη πλατεία έχει εμβαδόν $50 \text{ m}^2$ . Να βρεθεί η πλευρά της με προσέγγιση δεκάτου.

Η πλευρά είναι $x = \sqrt{50}$ . Εγκλεισμός σε ακεραίους: $49 < 50 < 64$ , άρα $7 < \sqrt{50} < 8$ .

Δοκιμές με δεκαδικά: $7{,}0^2 = 49$ και $7{,}1^2 = 50{,}41$ , άρα $7{,}0 < \sqrt{50} < 7{,}1$ .

Για τη στρογγυλοποίηση ελέγχουμε το μέσο του διαστήματος: $7{,}05^2 = 49{,}7025 < 50$ . Άρα $\sqrt{50} \approx 7{,}1$ m.

Παράδειγμα 2 (διάταξη): Να διαταχθούν από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο οι αριθμοί $\sqrt{20}$ , $4{,}4$ , $\sqrt{17}$ , $5$ .

Όλοι είναι θετικοί, άρα συγκρίνουμε τα τετράγωνά τους:

$(\sqrt{20})^2 = 20$
$4{,}4^2 = 19{,}36$
$(\sqrt{17})^2 = 17$
$5^2 = 25$

Αφού $17 < 19{,}36 < 20 < 25$ :

$\sqrt{17} < 4{,}4 < \sqrt{20} < 5$

Εφαρμογή: ένα τετράγωνο με εμβαδόν $20 \text{ cm}^2$ έχει πλευρά $\sqrt{20}$ , που είναι μεγαλύτερη από $4{,}4$ cm αλλά μικρότερη από $4{,}5$ cm (αφού $4{,}5^2 = 20{,}25$ ).

Γρήγορος έλεγχος

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρρητος;

Γρήγορος έλεγχος

Ανάμεσα σε ποιους διαδοχικούς ακέραιους βρίσκεται το $\sqrt{60}$ ;

Γρήγορος έλεγχος

Πόσο είναι το $\sqrt{(-3)^2}$ ;

Πρόκληση

Ένας φυσικός αριθμός $\nu$ έχει $\sqrt{\nu}$ ανάμεσα στο $7$ και στο $8$ (όχι ίσο με αυτά). (α) Πόσες τιμές μπορεί να πάρει το $\nu$ ; (β) Σε πόσες από αυτές η $\sqrt{\nu}$ , αν στρογγυλευτεί στον πλησιέστερο ακέραιο, γίνεται $8$ ; (γ) Πόσες από αυτές τις ρίζες είναι ρητοί αριθμοί;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

(α) $7 < \sqrt{\nu} < 8$ σημαίνει $49 < \nu < 64$ , δηλαδή $\nu = 50, 51, \ldots, 63$ : $14$ τιμές.

(β) Στρογγυλεύεται στο $8$ όταν $\sqrt{\nu} \geq 7{,}5$ , δηλαδή $\nu \geq 7{,}5^2 = 56{,}25$ . Άρα $\nu = 57, 58, \ldots, 63$ : $7$ τιμές — ακριβώς οι μισές!

(γ) Καμία. Ανάμεσα στο $49$ και το $64$ δεν υπάρχει άλλο τέλειο τετράγωνο, άρα όλες οι $14$ ρίζες είναι άρρητοι.

Παγίδα διαγωνίσματος: $\sqrt{\alpha + \beta} \neq \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}$ ! Έλεγξε με $\alpha = 9$ , $\beta = 16$ : $\sqrt{25} = 5$ , ενώ $3 + 4 = 7$ . Επίσης, μάθε απ' έξω τα τέλεια τετράγωνα ως το $15^2 = 225$ — ο εγκλεισμός ρίζας γίνεται τότε υπόθεση δευτερολέπτων.

Συνηθισμένα λάθη

Δεκαδικά: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ , όχι $0{,}02$ . Έλεγξε πάντα υψώνοντας στο τετράγωνο: $0{,}2^2 = 0{,}04$ ✓.
Διπλό πρόσημο: $\sqrt{16} = 4$ , όχι $\pm 4$ . Ο ορισμός θέλει τη ρίζα θετική (ή μηδέν).
«Κάθε ρίζα είναι άρρητος»: $\sqrt{36} = 6$ και $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ είναι ρητοί. Άρρητη είναι η ρίζα φυσικού που δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Ρίζα αρνητικού: το $\sqrt{-9}$ δεν υπάρχει στους πραγματικούς — δεν είναι $-3$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\sqrt{\alpha}$ (με $\alpha \geq 0$ ) είναι ο μη αρνητικός αριθμός με τετράγωνο $\alpha$ : $\left(\sqrt{\alpha}\right)^2 = \alpha$ .
Αρνητικός αριθμός δεν έχει τετραγωνική ρίζα.
Άρρητος: δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων (άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά), π.χ. $\sqrt{2}$ , $\pi$ .
$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$ · ρητοί και άρρητοι μαζί γεμίζουν την ευθεία.
Εγκλεισμός: διαδοχικά τέλεια τετράγωνα, μετά δέκατα · σύγκριση θετικών μέσω των τετραγώνων.
$\sqrt{\alpha + \beta} \neq \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}$ .

Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού

\alpha

είναι ο θετικός αριθμός που, αν τον υψώσεις στο τετράγωνο, δίνει το

\alpha

. Τη γράφουμε

\sqrt{\alpha}

Δηλαδή

\sqrt{25} = 5

, γιατί

5^2 = 25

και

5 > 0

. Επίσης

\sqrt{0} = 0

. Προσοχή: αρνητικός αριθμός δεν έχει τετραγωνική ρίζα, γιατί κανένα τετράγωνο δεν είναι αρνητικό. Η ρίζα είναι η αντίστροφη πράξη του τετραγωνισμού: αν ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν

E

, η πλευρά του είναι

\sqrt{E}