🌀

Κεντρομόλος Δύναμη

Κεντρομόλος επιτάχυνση α = υ²/r, κεντρομόλος δύναμη F = mυ²/r

Γιατί με νοιάζει;

Στο στύψιμο, ο κάδος του πλυντηρίου κάνει πάνω από χίλιες στροφές το λεπτό και τα ρούχα βγαίνουν σχεδόν στεγνά. Γιατί το νερό φεύγει από τις τρύπες, ενώ τα ρούχα μένουν μέσα; Η ίδια φυσική κρατά τους δορυφόρους σε τροχιά και πετά ένα αυτοκίνητο έξω από τη στροφή όταν ο δρόμος γλιστράει. Εδώ θα μάθεις να τη μετράς με αριθμούς.

Κεντρομόλος επιτάχυνση και κεντρομόλος δύναμη

Στην ΟΚΚ το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό — υπάρχει όμως επιτάχυνση, γιατί αλλάζει συνεχώς η κατεύθυνση του διανύσματος $\vec{\upsilon}$ . Η επιτάχυνση αυτή λέγεται κεντρομόλος, δείχνει πάντα προς το κέντρο του κύκλου και έχει μέτρο:

$\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r} = \omega^2 r$

Από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα, για να υπάρχει αυτή η επιτάχυνση πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων να δείχνει προς το κέντρο:

$F_{\kappa} = m\alpha_{\kappa} = m\frac{\upsilon^2}{r}$

Προσοχή στην πιο συχνή παρανόηση: η κεντρομόλος δεν είναι καινούρια δύναμη που «προστίθεται» στο σχήμα. Είναι ο ρόλος που παίζει μια γνωστή δύναμη: η τάση του νήματος στην πέτρα, η βαρυτική έλξη στον δορυφόρο, η τριβή στους τροχούς αυτοκινήτου που στρίβει.

Από πού βγαίνει το $\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r}$ ;

Σε μικρό χρόνο $\Delta t$ το σώμα διανύει τόξο $\Delta s = \upsilon\Delta t$ και η ακτίνα του στρέφεται κατά γωνία $\Delta\theta = \frac{\Delta s}{r}$ . Η ταχύτητα, κάθετη πάντα στην ακτίνα, στρέφεται κατά την ίδια γωνία. Τα διανύσματα $\vec{\upsilon}_1$ και $\vec{\upsilon}_2$ έχουν ίσα μέτρα, οπότε το διάνυσμα $\Delta\vec{\upsilon}$ που τα ενώνει έχει μέτρο $\Delta\upsilon \approx \upsilon\Delta\theta$ και δείχνει προς το κέντρο. Άρα:

$\alpha_{\kappa} = \frac{\Delta\upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon\Delta\theta}{\Delta t} = \upsilon\omega = \frac{\upsilon^2}{r}$

αφού $\omega = \frac{\upsilon}{r}$ . Με $\upsilon = \omega r$ παίρνουμε και την ισοδύναμη μορφή $\alpha_{\kappa} = \omega^2 r$ .

Ρύθμισε την ταχύτητα περιστροφής και παρακολούθησε τα δύο διανύσματα: θα ανακαλύψεις ότι η ταχύτητα υ είναι πάντα εφαπτόμενη στον κύκλο ενώ η επιτάχυνση δείχνει συνεχώς προς το κέντρο — το μέτρο του υ μένει σταθερό, αλλά η κατεύθυνσή του αλλάζει σε κάθε στιγμή, και ακριβώς αυτή την αλλαγή «χρεώνεται» η κεντρομόλος επιτάχυνση.

$f = \frac{1}{T}, \qquad \upsilon = \frac{2\pi r}{T} = \omega r, \qquad \alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r}, \qquad F_{\kappa} = m\frac{\upsilon^2}{r}$

Κόλπο μνήμης

Η κεντρομόλος δύναμη είναι ρόλος σε θεατρικό, όχι ηθοποιός. Στο σώμα με το νήμα τον ρόλο τον παίζει η τάση, στον δορυφόρο το βάρος, στο αυτοκίνητο που στρίβει η στατική τριβή. Στο σχήμα ζωγραφίζεις μόνο τους «ηθοποιούς» — τις πραγματικές δυνάμεις.

Γρήγορος έλεγχος

Στην ομαλή κυκλική κίνηση, τι ισχύει για την ταχύτητα $\vec{\upsilon}$ και την κεντρομόλο επιτάχυνση $\vec{\alpha}_{\kappa}$ ;

Ήξερες ότι;

Ο Διεθνής Διαστημικός Σταθμός κάνει έναν γύρο της Γης σε περίπου $92$ λεπτά, με ταχύτητα γύρω στα $7{,}7 \ \text{km/s}$ (σχεδόν $28\,000 \ \text{km/h}$ ). Έτσι οι αστροναύτες βλέπουν περίπου $16$ ανατολές του Ήλιου κάθε εικοσιτετράωρο! Τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης τον παίζει εκεί η βαρυτική έλξη της Γης.

Μέθοδος: ασκήσεις ομαλής κυκλικής κίνησης

Μετάτρεψε τα δεδομένα σε S.I.: στροφές ανά λεπτό $\div 60$ → Hz, εκατοστά → μέτρα.
Βρες $f$ και $T$ από $f = \frac{N}{t}$ και $T = \frac{1}{f}$ .
Υπολόγισε $\omega = 2\pi f$ και $\upsilon = \omega r$ — κράτα το $\pi$ συμβολικά.
Κεντρομόλος επιτάχυνση: $\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r} = \omega^2 r$ (διάλεξε τον τύπο με ό,τι ήδη έχεις).
Σχεδίασε τις πραγματικές δυνάμεις, βρες τη συνισταμένη τους προς το κέντρο και γράψε $\Sigma F_{\kappa} = m\frac{\upsilon^2}{r}$ .
Αντικατέστησε $\pi^2 \approx 10$ μόνο στο τέλος και έλεγξε μονάδες.

Άσκηση: Σώμα μάζας $m = 0{,}2 \ \text{kg}$ κινείται σε κύκλο ακτίνας $r = 0{,}5 \ \text{m}$ και εκτελεί $20$ περιφορές σε $10 \ \text{s}$ . Να βρεθούν τα $f$ , $T$ , $\omega$ , $\upsilon$ , $\alpha_{\kappa}$ και $F_{\kappa}$ ( $\pi^2 \approx 10$ ).

Λύση: Συχνότητα: $f = \frac{N}{t} = \frac{20}{10} = 2 \ \text{Hz}$ , άρα $T = \frac{1}{f} = 0{,}5 \ \text{s}$ .

Γωνιακή ταχύτητα: $\omega = 2\pi f = 4\pi \ \text{rad/s}$ .

Γραμμική ταχύτητα: $\upsilon = \omega r = 4\pi \cdot 0{,}5 = 2\pi \ \text{m/s}$ .

Κεντρομόλος επιτάχυνση:

$\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r} = \frac{4\pi^2}{0{,}5} = 8\pi^2 \approx 80 \ \text{m/s}^2$

Κεντρομόλος δύναμη: $F_{\kappa} = m\alpha_{\kappa} = 0{,}2 \cdot 80 = 16 \ \text{N}$ .

Πρόσεξε την αλυσίδα: $f \to T \to \omega \to \upsilon \to \alpha_{\kappa} \to F_{\kappa}$ — σχεδόν κάθε άσκηση ΟΚΚ λύνεται με αυτή τη σειρά. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Στον ίδιο περιστρεφόμενο δίσκο, το σημείο Β απέχει από τον άξονα διπλάσια απόσταση από το σημείο Α. Η κεντρομόλος επιτάχυνση του Β σε σχέση με του Α είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σφαιρίδιο μάζας $m = 0{,}5 \ \text{kg}$ είναι δεμένο στην άκρη αβαρούς νήματος μήκους $\ell = 1 \ \text{m}$ , του οποίου η άλλη άκρη είναι στερεωμένη σε καρφί πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι. Το σφαιρίδιο εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση πάνω στο τραπέζι με συχνότητα $f = 1 \ \text{Hz}$ . Το νήμα κόβεται αν η τάση του ξεπεράσει τα $80 \ \text{N}$ . Δίνεται $\pi^2 \approx 10$ .

Δεδομένα: $m = 0{,}5 \ \text{kg}$ , $r = \ell = 1 \ \text{m}$ , $f = 1 \ \text{Hz}$ , $T_{\nu,max} = 80 \ \text{N}$ .

Ζητούμενα: α) η γραμμική ταχύτητα και η τάση του νήματος, β) η μέγιστη συχνότητα χωρίς να κοπεί το νήμα, γ) αυξάνουμε σταδιακά τη συχνότητα μέχρι να κοπεί το νήμα: πώς κινείται μετά το σφαιρίδιο;

Λύση:

α) $\omega = 2\pi f = 2\pi \ \text{rad/s}$ και $\upsilon = \omega r = 2\pi \approx 6{,}3 \ \text{m/s}$ .

Κατακόρυφα το βάρος εξουδετερώνεται από την κάθετη αντίδραση του τραπεζιού· η μόνη οριζόντια δύναμη είναι η τάση του νήματος, άρα αυτή παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου:

$T_{\nu} = m\omega^2 r = 0{,}5 \cdot 4\pi^2 \cdot 1 = 2\pi^2 \approx 20 \ \text{N}$

β) Στο όριο θραύσης:

$T_{\nu,max} = m(2\pi f_{max})^2 r \Rightarrow 80 = 0{,}5 \cdot 4\pi^2 \cdot f_{max}^2 \cdot 1 = 20 f_{max}^2 \Rightarrow f_{max} = 2 \ \text{Hz}$

γ) Μόλις κοπεί το νήμα, καμία οριζόντια δύναμη δεν δρα: από τον 1ο νόμο του Νεύτωνα το σφαιρίδιο κινείται ευθύγραμμα ομαλά, στη διεύθυνση της εφαπτομένης στο σημείο όπου κόπηκε το νήμα, με ταχύτητα $\upsilon = 2\pi f_{max} r = 4\pi \approx 12{,}6 \ \text{m/s}$ .

Απάντηση: α) $\upsilon \approx 6{,}3 \ \text{m/s}$ , $T_{\nu} \approx 20 \ \text{N}$ β) $f_{max} = 2 \ \text{Hz}$ γ) ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά την εφαπτομένη, με $\upsilon \approx 12{,}6 \ \text{m/s}$

Άσκηση (όριο θραύσης νήματος): Μικρό σώμα δεμένο σε νήμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι, με το άλλο άκρο του νήματος στερεωμένο στο κέντρο της τροχιάς.

Δεδομένα: $m = 0{,}5 \ \text{kg}$ , $R = 0{,}4 \ \text{m}$ , $f = 2 \ \text{Hz}$ , το νήμα σπάει αν η τάση του ξεπεράσει τα $F_{max} = 50 \ \text{N}$ , $\pi^2 \approx 10$ .

Ζητούμενο: (α) η περίοδος, η γωνιακή και η γραμμική ταχύτητα, (β) η τάση του νήματος, (γ) η μέγιστη συχνότητα χωρίς να σπάσει το νήμα, (δ) η κίνηση του σώματος αν σπάσει το νήμα.

Λύση:

(α) $T = \frac{1}{f} = 0{,}5 \ \text{s}$ , $\omega = 2\pi f = 4\pi \ \text{rad/s}$ , $\upsilon = \omega R = 4\pi \cdot 0{,}4 = 1{,}6\pi \approx 5 \ \text{m/s}$ .

(β) Κατακόρυφα το βάρος εξουδετερώνεται από την κάθετη αντίδραση του τραπεζιού, οπότε η μόνη οριζόντια δύναμη — η τάση του νήματος — παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου:

$F_{\nu} = m\omega^2 R = 0{,}5 \cdot 16\pi^2 \cdot 0{,}4 = 3{,}2\pi^2 \approx 32 \ \text{N}$

(γ) Οριακά $m\omega_{max}^2 R = F_{max} \Rightarrow \omega_{max}^2 = \frac{50}{0{,}5 \cdot 0{,}4} = 250 = 25\pi^2$ , άρα $\omega_{max} = 5\pi \ \text{rad/s}$ και $f_{max} = \frac{\omega_{max}}{2\pi} = 2{,}5 \ \text{Hz}$ .

(δ) Χωρίς το νήμα η συνισταμένη δύναμη μηδενίζεται: το σώμα φεύγει εφαπτομενικά με ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, με την ταχύτητα που είχε τη στιγμή της θραύσης.

Απάντηση: $T = 0{,}5 \ \text{s}$ , $\omega = 4\pi \ \text{rad/s}$ , $\upsilon \approx 5 \ \text{m/s}$ , $F_{\nu} \approx 32 \ \text{N}$ , $f_{max} = 2{,}5 \ \text{Hz}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σώμα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Αν διπλασιάσουμε την ταχύτητά του στην ίδια τροχιά, πόσες φορές μεγαλύτερη κεντρομόλο δύναμη χρειάζεται;

Όταν η εκφώνηση δίνει «στροφές ανά λεπτό», μετάτρεψε αμέσως σε Hz διαιρώντας με το 60 — εκεί χάνονται τα πιο εύκολα μόρια. Κράτα το $\pi$ συμβολικά μέχρι το τέλος και χρησιμοποίησε $\pi^2 \approx 10$ μόνο στην τελική αντικατάσταση. Και στο Θέμα Δ: μη ζωγραφίσεις ποτέ «κεντρομόλο δύναμη» σαν ξεχωριστό βέλος — σχεδίασε τις πραγματικές δυνάμεις (τάση, βάρος, τριβή) και γράψε ότι η συνισταμένη τους προς το κέντρο ισούται με $m\frac{\upsilon^2}{r}$ .

Πρόκληση

Στις ταινίες επιστημονικής φαντασίας οι διαστημικοί σταθμοί είναι τεράστιοι δακτύλιοι που περιστρέφονται. Ένας τέτοιος δακτύλιος, μακριά από κάθε πλανήτη, έχει ακτίνα $r = 100 \ \text{m}$ και οι αστροναύτες πατούν στο εξωτερικό του τοίχωμα. Δίνεται $\pi^2 \approx 10$ .

α) Πόση πρέπει να είναι η περίοδος, ώστε η κεντρομόλος επιτάχυνση στο «πάτωμα» να είναι $10 \ \text{m/s}^2$ — δηλαδή ο αστροναύτης να νιώθει το βάρος του όπως στη Γη; Πόσες στροφές το λεπτό είναι αυτό;

β) Πόση δύναμη ασκεί το πάτωμα σε αστροναύτη μάζας $70 \ \text{kg}$ ;

γ) Το κεφάλι του είναι $1{,}8 \ \text{m}$ πιο κοντά στον άξονα. Πόση επιτάχυνση έχει εκεί;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $\alpha_{\kappa} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2}{T^2}r$ , άρα

$T^2 = \frac{4\pi^2 r}{\alpha_{\kappa}} = \frac{4 \cdot 10 \cdot 100}{10} = 400 \Rightarrow T = 20 \ \text{s}$

Τότε $f = \frac{1}{20} = 0{,}05 \ \text{Hz}$ , δηλαδή $0{,}05 \cdot 60 = 3$ στροφές το λεπτό. Πολύ αργά — και όμως αρκεί!

β) Χωρίς βαρύτητα, η μόνη δύναμη προς το κέντρο είναι αυτή του πατώματος: $N = m\alpha_{\kappa} = 70 \cdot 10 = 700 \ \text{N}$ , όσο το βάρος του στη Γη.

γ) Όλα τα σημεία του δακτυλίου έχουν την ίδια $\omega$ , με $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{40}{400} = 0{,}1 \ \text{s}^{-2}$ . Στο κεφάλι $r' = 98{,}2 \ \text{m}$ , οπότε $\alpha' = 0{,}1 \cdot 98{,}2 = 9{,}82 \ \text{m/s}^2$ — περίπου $1{,}8\%$ λιγότερο από τα πόδια. Σε μικρό δακτύλιο η διαφορά θα ήταν πολύ μεγαλύτερη, γιατί $\alpha_{\kappa} \propto r$ .

Συνηθισμένα λάθη

«Η ΟΚΚ δεν έχει επιτάχυνση»: έχει, την κεντρομόλο — αλλάζει η κατεύθυνση της $\vec{\upsilon}$ . Σταθερό είναι μόνο το μέτρο.
Κεντρομόλος ως επιπλέον βέλος: στο σχήμα βάζεις μόνο πραγματικές δυνάμεις (τάση, βάρος, τριβή, κάθετη αντίδραση)· η συνισταμένη τους προς το κέντρο είναι η κεντρομόλος.
Λάθος τύπος σε σύγκριση σημείων: στον ίδιο δίσκο κοινή είναι η $\omega$ , άρα χρησιμοποίησε $\alpha_{\kappa} = \omega^2 r$ ( $\alpha_{\kappa} \propto r$ ) — όχι $\frac{\upsilon^2}{r}$ με «ίδια» $\upsilon$ .
Διπλάσια ταχύτητα, διπλάσια δύναμη: $F_{\kappa} \propto \upsilon^2$ , άρα διπλάσια $\upsilon$ στην ίδια τροχιά θέλει τετραπλάσια κεντρομόλο δύναμη.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στην ΟΚΚ υπάρχει επιτάχυνση, γιατί αλλάζει η κατεύθυνση της $\vec{\upsilon}$
Κεντρομόλος επιτάχυνση: $\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r} = \omega^2 r$ , πάντα προς το κέντρο
$F_{\kappa} = m\frac{\upsilon^2}{r}$ είναι η συνισταμένη των πραγματικών δυνάμεων προς το κέντρο, όχι νέα δύναμη
$F_{\kappa} \propto \upsilon^2$ : διπλάσια ταχύτητα → τετραπλάσια απαιτούμενη δύναμη
Αν η κεντρομόλος πάψει να υπάρχει, το σώμα φεύγει ευθύγραμμα ομαλά κατά την εφαπτομένη

🌀

Κεντρομόλος Δύναμη

Κεντρομόλος επιτάχυνση α = υ²/r, κεντρομόλος δύναμη F = mυ²/r

Γιατί με νοιάζει;

Κεντρομόλος επιτάχυνση και κεντρομόλος δύναμη

$\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r} = \omega^2 r$

$F_{\kappa} = m\alpha_{\kappa} = m\frac{\upsilon^2}{r}$

Από πού βγαίνει το $\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r}$ ;

$\alpha_{\kappa} = \frac{\Delta\upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon\Delta\theta}{\Delta t} = \upsilon\omega = \frac{\upsilon^2}{r}$

αφού $\omega = \frac{\upsilon}{r}$ . Με $\upsilon = \omega r$ παίρνουμε και την ισοδύναμη μορφή $\alpha_{\kappa} = \omega^2 r$ .

\upsilon = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi\cdot2}{2} = 6.3\,m/s,\;\; a_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{R} = 19.7\,m/s^2

R = 2 mT = 2 s

Σύρε R και T και κοίτα τα βέλη: η υ είναι εφαπτομενική, το αₖ κάθετο προς το κέντρο. Διπλάσιο R → διπλάσια υ· διπλάσιο T → μισή υ.

$f = \frac{1}{T}, \qquad \upsilon = \frac{2\pi r}{T} = \omega r, \qquad \alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r}, \qquad F_{\kappa} = m\frac{\upsilon^2}{r}$

Κόλπο μνήμης

Γρήγορος έλεγχος

Στην ομαλή κυκλική κίνηση, τι ισχύει για την ταχύτητα $\vec{\upsilon}$ και την κεντρομόλο επιτάχυνση $\vec{\alpha}_{\kappa}$ ;

Ήξερες ότι;

Μέθοδος: ασκήσεις ομαλής κυκλικής κίνησης

Μετάτρεψε τα δεδομένα σε S.I.: στροφές ανά λεπτό $\div 60$ → Hz, εκατοστά → μέτρα.
Βρες $f$ και $T$ από $f = \frac{N}{t}$ και $T = \frac{1}{f}$ .
Υπολόγισε $\omega = 2\pi f$ και $\upsilon = \omega r$ — κράτα το $\pi$ συμβολικά.
Κεντρομόλος επιτάχυνση: $\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r} = \omega^2 r$ (διάλεξε τον τύπο με ό,τι ήδη έχεις).
Σχεδίασε τις πραγματικές δυνάμεις, βρες τη συνισταμένη τους προς το κέντρο και γράψε $\Sigma F_{\kappa} = m\frac{\upsilon^2}{r}$ .
Αντικατέστησε $\pi^2 \approx 10$ μόνο στο τέλος και έλεγξε μονάδες.

Λύση: Συχνότητα: $f = \frac{N}{t} = \frac{20}{10} = 2 \ \text{Hz}$ , άρα $T = \frac{1}{f} = 0{,}5 \ \text{s}$ .

Γωνιακή ταχύτητα: $\omega = 2\pi f = 4\pi \ \text{rad/s}$ .

Γραμμική ταχύτητα: $\upsilon = \omega r = 4\pi \cdot 0{,}5 = 2\pi \ \text{m/s}$ .

Κεντρομόλος επιτάχυνση:

$\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r} = \frac{4\pi^2}{0{,}5} = 8\pi^2 \approx 80 \ \text{m/s}^2$

Κεντρομόλος δύναμη: $F_{\kappa} = m\alpha_{\kappa} = 0{,}2 \cdot 80 = 16 \ \text{N}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δεδομένα: $m = 0{,}5 \ \text{kg}$ , $r = \ell = 1 \ \text{m}$ , $f = 1 \ \text{Hz}$ , $T_{\nu,max} = 80 \ \text{N}$ .

Λύση:

α) $\omega = 2\pi f = 2\pi \ \text{rad/s}$ και $\upsilon = \omega r = 2\pi \approx 6{,}3 \ \text{m/s}$ .

$T_{\nu} = m\omega^2 r = 0{,}5 \cdot 4\pi^2 \cdot 1 = 2\pi^2 \approx 20 \ \text{N}$

β) Στο όριο θραύσης:

$T_{\nu,max} = m(2\pi f_{max})^2 r \Rightarrow 80 = 0{,}5 \cdot 4\pi^2 \cdot f_{max}^2 \cdot 1 = 20 f_{max}^2 \Rightarrow f_{max} = 2 \ \text{Hz}$

Λύση:

(α) $T = \frac{1}{f} = 0{,}5 \ \text{s}$ , $\omega = 2\pi f = 4\pi \ \text{rad/s}$ , $\upsilon = \omega R = 4\pi \cdot 0{,}4 = 1{,}6\pi \approx 5 \ \text{m/s}$ .

$F_{\nu} = m\omega^2 R = 0{,}5 \cdot 16\pi^2 \cdot 0{,}4 = 3{,}2\pi^2 \approx 32 \ \text{N}$

Απάντηση: $T = 0{,}5 \ \text{s}$ , $\omega = 4\pi \ \text{rad/s}$ , $\upsilon \approx 5 \ \text{m/s}$ , $F_{\nu} \approx 32 \ \text{N}$ , $f_{max} = 2{,}5 \ \text{Hz}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Πρόκληση

β) Πόση δύναμη ασκεί το πάτωμα σε αστροναύτη μάζας $70 \ \text{kg}$ ;

γ) Το κεφάλι του είναι $1{,}8 \ \text{m}$ πιο κοντά στον άξονα. Πόση επιτάχυνση έχει εκεί;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $\alpha_{\kappa} = \omega^2 r = \frac{4\pi^2}{T^2}r$ , άρα

$T^2 = \frac{4\pi^2 r}{\alpha_{\kappa}} = \frac{4 \cdot 10 \cdot 100}{10} = 400 \Rightarrow T = 20 \ \text{s}$

Τότε $f = \frac{1}{20} = 0{,}05 \ \text{Hz}$ , δηλαδή $0{,}05 \cdot 60 = 3$ στροφές το λεπτό. Πολύ αργά — και όμως αρκεί!

Συνηθισμένα λάθη

«Η ΟΚΚ δεν έχει επιτάχυνση»: έχει, την κεντρομόλο — αλλάζει η κατεύθυνση της $\vec{\upsilon}$ . Σταθερό είναι μόνο το μέτρο.
Κεντρομόλος ως επιπλέον βέλος: στο σχήμα βάζεις μόνο πραγματικές δυνάμεις (τάση, βάρος, τριβή, κάθετη αντίδραση)· η συνισταμένη τους προς το κέντρο είναι η κεντρομόλος.
Λάθος τύπος σε σύγκριση σημείων: στον ίδιο δίσκο κοινή είναι η $\omega$ , άρα χρησιμοποίησε $\alpha_{\kappa} = \omega^2 r$ ( $\alpha_{\kappa} \propto r$ ) — όχι $\frac{\upsilon^2}{r}$ με «ίδια» $\upsilon$ .
Διπλάσια ταχύτητα, διπλάσια δύναμη: $F_{\kappa} \propto \upsilon^2$ , άρα διπλάσια $\upsilon$ στην ίδια τροχιά θέλει τετραπλάσια κεντρομόλο δύναμη.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Στην ΟΚΚ υπάρχει επιτάχυνση, γιατί αλλάζει η κατεύθυνση της $\vec{\upsilon}$
Κεντρομόλος επιτάχυνση: $\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r} = \omega^2 r$ , πάντα προς το κέντρο
$F_{\kappa} = m\frac{\upsilon^2}{r}$ είναι η συνισταμένη των πραγματικών δυνάμεων προς το κέντρο, όχι νέα δύναμη
$F_{\kappa} \propto \upsilon^2$ : διπλάσια ταχύτητα → τετραπλάσια απαιτούμενη δύναμη
Αν η κεντρομόλος πάψει να υπάρχει, το σώμα φεύγει ευθύγραμμα ομαλά κατά την εφαπτομένη

Κεντρομόλος Δύναμη

Κεντρομόλος επιτάχυνση και κεντρομόλος δύναμη

Από πού βγαίνει το ακ=υ2r\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r}ακ​=rυ2​;

Μέθοδος: ασκήσεις ομαλής κυκλικής κίνησης

Κεντρομόλος Δύναμη

Κεντρομόλος επιτάχυνση και κεντρομόλος δύναμη

Από πού βγαίνει το ακ=υ2r\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r}ακ​=rυ2​;

Μέθοδος: ασκήσεις ομαλής κυκλικής κίνησης

Από πού βγαίνει το $\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r}$ ;

Από πού βγαίνει το $\alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^2}{r}$ ;