📏

Αντίσταση & Νόμος του Ohm

R = V/I, ωμικοί αντιστάτες, χαρακτηριστική I–V, R = ρℓ/S

Γιατί με νοιάζει;

Γιατί το σύρμα της τοστιέρας κοκκινίζει, ενώ το καλώδιο που τη συνδέει στην πρίζα μένει κρύο — αφού τα διαρρέει το ίδιο ρεύμα; Και γιατί ο βραστήρας έχει χοντρό καλώδιο ενώ το φορτιστή του κινητού λεπτό; Η απάντηση βρίσκεται σε ένα μέγεθος: την αντίσταση κάθε αγωγού, και στο από τι εξαρτάται.

Αντίσταση και νόμος του Ohm

Όπως ένας στενός σωλήνας «φρενάρει» το νερό, έτσι κάθε αγωγός αντιστέκεται στη διέλευση του ρεύματος: τα ηλεκτρόνια συγκρούονται με τα ιόντα του πλέγματος. Η αντίσταση ορίζεται ως:

$R = \frac{V}{I}$

με μονάδα το Ohm ( $1 \ \Omega = 1 \ \text{V/A}$ ).

Ο νόμος του Ohm λέει κάτι παραπάνω από τον ορισμό: για τους μεταλλικούς αγωγούς σε σταθερή θερμοκρασία, η ένταση είναι ανάλογη της τάσης — το πηλίκο $V/I$ βγαίνει πάντα το ίδιο. Οι αγωγοί που τον ακολουθούν λέγονται ωμικοί ή αντιστάτες, και το διάγραμμα $I\text{–}V$ τους είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων.

Η αντίσταση ενός σύρματος εξαρτάται από τα «γεωμετρικά» του στοιχεία και το υλικό:

$R = \rho \frac{\ell}{S}$

Μακρύ και λεπτό σύρμα → μεγάλη αντίσταση. Κοντό και χοντρό → μικρή. Η ειδική αντίσταση $\rho$ είναι ταυτότητα του υλικού: μικρή στον χαλκό, τεράστια στους μονωτές.

Η χαρακτηριστική καμπύλη $I\text{–}V$

Αν μετρήσουμε το ρεύμα $I$ σε έναν αγωγό για διάφορες τάσεις $V$ και σχεδιάσουμε το διάγραμμα $I\text{–}V$ , παίρνουμε τη χαρακτηριστική καμπύλη του αγωγού:

Για ωμικό αντιστάτη είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. Η κλίση της είναι $\frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ : πιο απότομη ευθεία σημαίνει μικρότερη αντίσταση.
Για μη ωμικό αγωγό (π.χ. νήμα λαμπτήρα που ζεσταίνεται πολύ) η γραμμή καμπυλώνει, γιατί η αντίσταση αλλάζει.

Η ειδική αντίσταση των μετάλλων αυξάνεται με τη θερμοκρασία. Γι' αυτό ο νόμος του Ohm διατυπώνεται για σταθερή θερμοκρασία.

Μετακίνησε τους ρυθμιστές τάσης και αντίστασης και παρακολούθησε το αμπερόμετρο: θα ανακαλύψεις ότι διπλάσια τάση δίνει διπλάσιο ρεύμα ενώ διπλάσια αντίσταση το μισό — η ένταση «υπακούει» στη σχέση I = V/R σαν ζυγαριά με δύο αντίπαλα μεγέθη.

$R = \frac{V}{I}, \qquad I = \frac{V}{R} \ (\text{νόμος του Ohm}), \qquad R = \rho\frac{\ell}{S}, \qquad 1 \ \Omega = 1 \ \frac{\text{V}}{\text{A}}$

Παράδειγμα (αντίσταση σύρματος): Χάλκινο σύρμα έχει μήκος $\ell = 100 \ \text{m}$ και εμβαδόν διατομής $S = 1 \ \text{mm}^2$ . Η ειδική αντίσταση του χαλκού είναι $\rho = 1{,}7 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot \text{m}$ . α) Πόση είναι η αντίστασή του; β) Πόσο ρεύμα το διαρρέει αν στα άκρα του εφαρμοστεί τάση $3{,}4 \ \text{V}$ ;

Λύση: α) Μετατροπή: $S = 1 \ \text{mm}^2 = 10^{-6} \ \text{m}^2$ (αφού $1 \ \text{mm} = 10^{-3} \ \text{m}$ ).

$R = \rho\frac{\ell}{S} = 1{,}7 \times 10^{-8} \cdot \frac{100}{10^{-6}} = 1{,}7 \ \Omega$

β) Νόμος του Ohm: $I = \frac{V}{R} = \frac{3{,}4}{1{,}7} = 2 \ \text{A}$ .

Πρόσεξε τη μετατροπή του εμβαδού: το $\text{mm}^2$ είναι $10^{-6} \ \text{m}^2$ , όχι $10^{-3}$ — ένα λάθος εδώ δίνει αντίσταση χίλιες φορές μικρότερη. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε διάγραμμα $I\text{–}V$ δύο ωμικοί αντιστάτες Α και Β δίνουν ευθείες από την αρχή των αξόνων· η ευθεία του Α είναι πιο απότομη. Τι ισχύει;

Κόλπο μνήμης

Σκέψου έναν διάδρομο γεμάτο κόσμο. Όσο μακρύτερος ( $\ell$ ), τόσο πιο δύσκολα τον διασχίζεις· όσο φαρδύτερος ( $S$ ), τόσο πιο εύκολα· και το πόσο «στριμωγμένο» είναι το πλήθος είναι το υλικό ( $\rho$ ). Έτσι θυμάσαι το $R = \rho\frac{\ell}{S}$ : μήκος στον αριθμητή, διατομή στον παρονομαστή.

Μέθοδος: ασκήσεις αντίστασης

Αντίσταση από μετρήσεις ή από διάγραμμα: $R = \frac{V}{I}$ σε οποιοδήποτε σημείο της ευθείας.
Αντίσταση σύρματος: $R = \rho\frac{\ell}{S}$ , με $\ell$ σε m και $S$ σε $\text{m}^2$ ( $1 \ \text{mm}^2 = 10^{-6} \ \text{m}^2$ ).
Αν αλλάζει το σχήμα του σύρματος (τέντωμα, δίπλωμα), έλεγξε τι μένει σταθερό: ο όγκος $V = \ell S$ .
Ρεύμα από τον νόμο του Ohm: $I = \frac{V}{R}$ .

Άσκηση (από μετρήσεις): Σε ωμικό αντιστάτη εφαρμόζεται τάση $6 \ \text{V}$ και το αμπερόμετρο δείχνει $0{,}3 \ \text{A}$ . α) Πόση είναι η αντίστασή του; β) Πόσο ρεύμα θα τον διαρρέει με τάση $15 \ \text{V}$ ; γ) Ποια τάση χρειάζεται για ρεύμα $50 \ \text{mA}$ ;

Λύση: α) $R = \frac{V}{I} = \frac{6}{0{,}3} = 20 \ \Omega$ .

β) Ωμικός → ίδια $R$ : $I = \frac{15}{20} = 0{,}75 \ \text{A}$ .

γ) $V = IR = 0{,}05 \cdot 20 = 1 \ \text{V}$ .

Σε ωμικό αντιστάτη τάση και ρεύμα αλλάζουν αναλογικά: $2{,}5$ φορές η τάση ( $6 \to 15 \ \text{V}$ ), $2{,}5$ φορές το ρεύμα ( $0{,}3 \to 0{,}75 \ \text{A}$ ). ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σύρμα αντίστασης $R$ τεντώνεται ώστε το μήκος του να διπλασιαστεί, ενώ ο όγκος του μένει ίδιος. Η νέα αντίσταση είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σύρμα χρωμονικελίνης έχει μήκος $\ell = 2 \ \text{m}$ και εμβαδόν διατομής $S = 0{,}5 \ \text{mm}^2$ . Η ειδική αντίσταση του υλικού είναι $\rho = 1{,}1 \times 10^{-6} \ \Omega \cdot \text{m}$ .

Δεδομένα: $\ell = 2 \ \text{m}$ , $S = 5 \times 10^{-7} \ \text{m}^2$ , $\rho = 1{,}1 \times 10^{-6} \ \Omega \cdot \text{m}$ .

Ζητούμενα: α) η αντίσταση του σύρματος, β) το ρεύμα όταν στα άκρα του εφαρμοστεί τάση $22 \ \text{V}$ , γ) η αντίσταση και το ρεύμα (με την ίδια τάση) αν το σύρμα διπλωθεί στη μέση και τα δύο μισά ενωθούν σε ένα διπλό σύρμα, δ) το μήκος σύρματος ίδιας διατομής που θα είχε αντίσταση $11 \ \Omega$ .

Λύση:

α) $R = \rho\frac{\ell}{S} = 1{,}1 \times 10^{-6} \cdot \frac{2}{5 \times 10^{-7}} = 4{,}4 \ \Omega$ .

β) $I = \frac{V}{R} = \frac{22}{4{,}4} = 5 \ \text{A}$ .

γ) Διπλωμένο: μήκος $1 \ \text{m}$ , διατομή $10^{-6} \ \text{m}^2$ , άρα $R' = 1{,}1 \times 10^{-6} \cdot \frac{1}{10^{-6}} = 1{,}1 \ \Omega$ — το ένα τέταρτο. Ρεύμα $I' = \frac{22}{1{,}1} = 20 \ \text{A}$ .

δ) $\ell' = \frac{R'' S}{\rho} = \frac{11 \cdot 5 \times 10^{-7}}{1{,}1 \times 10^{-6}} = 5 \ \text{m}$ .

Απάντηση: α) $4{,}4 \ \Omega$ β) $5 \ \text{A}$ γ) $1{,}1 \ \Omega$ και $20 \ \text{A}$ δ) $5 \ \text{m}$

Γρήγορος έλεγχος

Σε ωμικό αντιστάτη διπλασιάζουμε την τάση στα άκρα του, σε σταθερή θερμοκρασία. Τι συμβαίνει;

Ήξερες ότι;

Το 1911 ο Ολλανδός Heike Kamerlingh Onnes ψύχοντας υδράργυρο με υγρό ήλιο διαπίστωσε ότι κάτω από περίπου $4{,}2 \ \text{K}$ η αντίστασή του μηδενίζεται απότομα. Ανακάλυψε την υπεραγωγιμότητα, που σήμερα χρησιμοποιείται στους ισχυρούς μαγνήτες των μαγνητικών τομογράφων.

Πρόκληση

Σύρμα έχει αντίσταση $10 \ \Omega$ . Το τεντώνουμε ώστε το μήκος του να διπλασιαστεί (ο όγκος μένει ίδιος) και μετά το κόβουμε σε $4$ ίσα κομμάτια.

α) Πόση αντίσταση έχει το τεντωμένο σύρμα;

β) Πόση έχει κάθε κομμάτι;

γ) Πόσο ρεύμα διαρρέει ένα κομμάτι αν συνδεθεί σε τάση $5 \ \text{V}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Διπλάσιο μήκος και μισή διατομή: $R' = 4 \cdot 10 = 40 \ \Omega$ .

β) Κάθε κομμάτι έχει το $\frac{1}{4}$ του μήκους με την ίδια (νέα) διατομή: $\frac{40}{4} = 10 \ \Omega$ . Επιστρέψαμε στην αρχική τιμή!

γ) $I = \frac{5}{10} = 0{,}5 \ \text{A}$ .

Εξήγηση: κάθε κομμάτι έχει μήκος $\frac{2\ell}{4} = \frac{\ell}{2}$ και διατομή $\frac{S}{2}$ — ο λόγος $\frac{\ell}{S}$ είναι ίδιος με του αρχικού σύρματος.

Συνηθισμένα λάθη

Μετατροπή εμβαδού: $1 \ \text{mm}^2 = 10^{-6} \ \text{m}^2$ , όχι $10^{-3}$ — ένα λάθος εδώ δίνει αντίσταση χίλιες φορές λάθος.
Κλίση στο $I\text{–}V$ ως αντίσταση: η κλίση είναι $\frac{1}{R}$ · πιο απότομη ευθεία = μικρότερη αντίσταση.
«Η αντίσταση εξαρτάται από την τάση»: για ωμικό αντιστάτη σε σταθερή θερμοκρασία η $R$ είναι σταθερή.
Τέντωμα χωρίς αλλαγή διατομής: όταν το σύρμα τεντώνεται, λεπταίνει — ο όγκος μένει σταθερός.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αντίσταση: $R = \frac{V}{I}$ , μονάδα $1 \ \Omega = 1 \ \text{V/A}$
Νόμος του Ohm: σε μεταλλικούς αγωγούς σταθερής θερμοκρασίας $I \propto V$ (ωμικοί αντιστάτες)
Χαρακτηριστική $I\text{–}V$ ωμικού αντιστάτη: ευθεία από την αρχή με κλίση $\frac{1}{R}$
Σύρμα: $R = \rho\frac{\ell}{S}$ — μεγαλώνει με το μήκος, μικραίνει με τη διατομή
Η ειδική αντίσταση των μετάλλων αυξάνεται με τη θερμοκρασία

📏

Αντίσταση & Νόμος του Ohm

R = V/I, ωμικοί αντιστάτες, χαρακτηριστική I–V, R = ρℓ/S

Γιατί με νοιάζει;

Αντίσταση και νόμος του Ohm

$R = \frac{V}{I}$

με μονάδα το Ohm ( $1 \ \Omega = 1 \ \text{V/A}$ ).

Η αντίσταση ενός σύρματος εξαρτάται από τα «γεωμετρικά» του στοιχεία και το υλικό:

$R = \rho \frac{\ell}{S}$

Η χαρακτηριστική καμπύλη $I\text{–}V$

Για ωμικό αντιστάτη είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. Η κλίση της είναι $\frac{I}{V} = \frac{1}{R}$ : πιο απότομη ευθεία σημαίνει μικρότερη αντίσταση.
Για μη ωμικό αγωγό (π.χ. νήμα λαμπτήρα που ζεσταίνεται πολύ) η γραμμή καμπυλώνει, γιατί η αντίσταση αλλάζει.

I = \frac{V}{R} = \frac{6\,V}{4\,\Omega} = 1.50\,A

V = 6 VR = 4 Ω

Διπλασίασε το V με ίδιο R: διπλάσια ταχύτητα (I∝V). Διπλασίασε το R με ίδιο V: μισή (I∝1/R). Αυτός είναι ο νόμος του Ohm.

$R = \frac{V}{I}, \qquad I = \frac{V}{R} \ (\text{νόμος του Ohm}), \qquad R = \rho\frac{\ell}{S}, \qquad 1 \ \Omega = 1 \ \frac{\text{V}}{\text{A}}$

Λύση: α) Μετατροπή: $S = 1 \ \text{mm}^2 = 10^{-6} \ \text{m}^2$ (αφού $1 \ \text{mm} = 10^{-3} \ \text{m}$ ).

$R = \rho\frac{\ell}{S} = 1{,}7 \times 10^{-8} \cdot \frac{100}{10^{-6}} = 1{,}7 \ \Omega$

β) Νόμος του Ohm: $I = \frac{V}{R} = \frac{3{,}4}{1{,}7} = 2 \ \text{A}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: ασκήσεις αντίστασης

Αντίσταση από μετρήσεις ή από διάγραμμα: $R = \frac{V}{I}$ σε οποιοδήποτε σημείο της ευθείας.
Αντίσταση σύρματος: $R = \rho\frac{\ell}{S}$ , με $\ell$ σε m και $S$ σε $\text{m}^2$ ( $1 \ \text{mm}^2 = 10^{-6} \ \text{m}^2$ ).
Αν αλλάζει το σχήμα του σύρματος (τέντωμα, δίπλωμα), έλεγξε τι μένει σταθερό: ο όγκος $V = \ell S$ .
Ρεύμα από τον νόμο του Ohm: $I = \frac{V}{R}$ .

Λύση: α) $R = \frac{V}{I} = \frac{6}{0{,}3} = 20 \ \Omega$ .

β) Ωμικός → ίδια $R$ : $I = \frac{15}{20} = 0{,}75 \ \text{A}$ .

γ) $V = IR = 0{,}05 \cdot 20 = 1 \ \text{V}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Δεδομένα: $\ell = 2 \ \text{m}$ , $S = 5 \times 10^{-7} \ \text{m}^2$ , $\rho = 1{,}1 \times 10^{-6} \ \Omega \cdot \text{m}$ .

Λύση:

α) $R = \rho\frac{\ell}{S} = 1{,}1 \times 10^{-6} \cdot \frac{2}{5 \times 10^{-7}} = 4{,}4 \ \Omega$ .

β) $I = \frac{V}{R} = \frac{22}{4{,}4} = 5 \ \text{A}$ .

δ) $\ell' = \frac{R'' S}{\rho} = \frac{11 \cdot 5 \times 10^{-7}}{1{,}1 \times 10^{-6}} = 5 \ \text{m}$ .

Απάντηση: α) $4{,}4 \ \Omega$ β) $5 \ \text{A}$ γ) $1{,}1 \ \Omega$ και $20 \ \text{A}$ δ) $5 \ \text{m}$

Γρήγορος έλεγχος

Σε ωμικό αντιστάτη διπλασιάζουμε την τάση στα άκρα του, σε σταθερή θερμοκρασία. Τι συμβαίνει;

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

α) Πόση αντίσταση έχει το τεντωμένο σύρμα;

β) Πόση έχει κάθε κομμάτι;

γ) Πόσο ρεύμα διαρρέει ένα κομμάτι αν συνδεθεί σε τάση $5 \ \text{V}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Διπλάσιο μήκος και μισή διατομή: $R' = 4 \cdot 10 = 40 \ \Omega$ .

γ) $I = \frac{5}{10} = 0{,}5 \ \text{A}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Μετατροπή εμβαδού: $1 \ \text{mm}^2 = 10^{-6} \ \text{m}^2$ , όχι $10^{-3}$ — ένα λάθος εδώ δίνει αντίσταση χίλιες φορές λάθος.
Κλίση στο $I\text{–}V$ ως αντίσταση: η κλίση είναι $\frac{1}{R}$ · πιο απότομη ευθεία = μικρότερη αντίσταση.
«Η αντίσταση εξαρτάται από την τάση»: για ωμικό αντιστάτη σε σταθερή θερμοκρασία η $R$ είναι σταθερή.
Τέντωμα χωρίς αλλαγή διατομής: όταν το σύρμα τεντώνεται, λεπταίνει — ο όγκος μένει σταθερός.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Αντίσταση: $R = \frac{V}{I}$ , μονάδα $1 \ \Omega = 1 \ \text{V/A}$
Νόμος του Ohm: σε μεταλλικούς αγωγούς σταθερής θερμοκρασίας $I \propto V$ (ωμικοί αντιστάτες)
Χαρακτηριστική $I\text{–}V$ ωμικού αντιστάτη: ευθεία από την αρχή με κλίση $\frac{1}{R}$
Σύρμα: $R = \rho\frac{\ell}{S}$ — μεγαλώνει με το μήκος, μικραίνει με τη διατομή
Η ειδική αντίσταση των μετάλλων αυξάνεται με τη θερμοκρασία

Αντίσταση & Νόμος του Ohm

Αντίσταση και νόμος του Ohm

Η χαρακτηριστική καμπύλη I–VI\text{–}VI–V

Μέθοδος: ασκήσεις αντίστασης

Αντίσταση & Νόμος του Ohm

Αντίσταση και νόμος του Ohm

Η χαρακτηριστική καμπύλη I–VI\text{–}VI–V

Μέθοδος: ασκήσεις αντίστασης

Η χαρακτηριστική καμπύλη $I\text{–}V$

Η χαρακτηριστική καμπύλη $I\text{–}V$