⚛️

Το Άτομο του Bohr & οι Ενεργειακές Στάθμες

Παραδοχές Bohr, κβάντωση, Eₙ = −13,6/n² eV, διέγερση & ιοντισμός

Γιατί με νοιάζει;

Αν ένα άτομο μεγάλωνε στο μέγεθος ενός γηπέδου ποδοσφαίρου, ο πυρήνας του θα ήταν σαν ένα μικρό μυρμήγκι στη σέντρα, και τα ηλεκτρόνια θα κινούνταν κάπου στις κερκίδες. Το άτομο είναι σχεδόν εντελώς άδειο. Και όμως: γιατί το ηλεκτρόνιο δεν «πέφτει» στον πυρήνα που το έλκει; Η απάντηση του Bohr έφερε μια από τις μεγαλύτερες επαναστάσεις της φυσικής — την ιδέα ότι η ενέργεια έρχεται σε «σκαλοπάτια».

Από τον Rutherford στον Bohr

Ο Rutherford φαντάστηκε το άτομο σαν μικροσκοπικό ηλιακό σύστημα: βαρύς θετικός πυρήνας στο κέντρο, ηλεκτρόνια σε τροχιές γύρω του. Όμορφο, αλλά με μοιραίο πρόβλημα: κατά την κλασική φυσική, ένα φορτίο που κινείται κυκλικά επιταχύνεται, άρα ακτινοβολεί συνεχώς ενέργεια — το ηλεκτρόνιο θα έχανε ύψος σπειροειδώς και θα κατέρρεε στον πυρήνα σε κλάσματα του δευτερολέπτου. Τα άτομα όμως είναι σταθερά, και τα φάσματά τους δείχνουν γραμμές, όχι συνεχόμενα χρώματα.

Ο Bohr (1913) έκοψε τον γόρδιο δεσμό με δύο τολμηρές παραδοχές για το άτομο του υδρογόνου:

Το ηλεκτρόνιο κινείται μόνο σε ορισμένες επιτρεπόμενες τροχιές· όσο βρίσκεται σε μία από αυτές δεν ακτινοβολεί
Το άτομο εκπέμπει ή απορροφά ενέργεια μόνο όταν το ηλεκτρόνιο μεταπηδά από μία επιτρεπόμενη τροχιά σε άλλη

Η ενέργεια του ατόμου δεν αλλάζει συνεχόμενα — αλλάζει με άλματα. Είναι κβαντωμένη.

Διακριτές ενεργειακές στάθμες

Σκέψου μια σκάλα: μπορείς να σταθείς στο 1ο, στο 2ο, στο 3ο σκαλί — ποτέ «στο ενάμισι». Έτσι και το ηλεκτρόνιο στο άτομο του υδρογόνου: οι επιτρεπόμενες ενέργειες είναι διακριτές τιμές, οι ενεργειακές στάθμες:

$E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι το ηλεκτρόνιο είναι δέσμιο: χρειάζεται προσφορά ενέργειας για να ξεφύγει. Για $n = 1$ έχουμε τη θεμελιώδη κατάσταση ( $E_1 = -13{,}6 \ \text{eV}$ ), τη χαμηλότερη και σταθερότερη «σκάλα» όπου ζει κανονικά το άτομο. Οι στάθμες με $n \geq 2$ είναι οι διεγερμένες καταστάσεις — το άτομο μένει εκεί ελάχιστα ( $\sim 10^{-8} \ \text{s}$ ) πριν ξαναπέσει.

Όσο ανεβαίνει το $n$ , οι στάθμες πυκνώνουν και πλησιάζουν το μηδέν. Για να φύγει εντελώς το ηλεκτρόνιο από τη θεμελιώδη κατάσταση (ιοντισμός) απαιτείται ενέργεια τουλάχιστον $13{,}6 \ \text{eV}$ .

Θυμίσου τη μονάδα: $1 \ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{J}$ — βολική για τον μικρόκοσμο, όπως το νανόμετρο για τα μήκη.

Διέγερση, ιοντισμός και ακτίνες των τροχιών

Κατά το μοντέλο του Bohr, οι ακτίνες των επιτρεπόμενων τροχιών του υδρογόνου είναι $r_n = n^2r_1$ , με $r_1 \approx 0{,}53 \times 10^{-10} \ \text{m}$ : η δεύτερη τροχιά έχει τετραπλάσια ακτίνα, η τρίτη εννιαπλάσια.

Ένα άτομο διεγείρεται όταν το ηλεκτρόνιό του μεταβεί σε ανώτερη στάθμη. Αυτό μπορεί να γίνει:

με απορρόφηση φωτονίου που έχει ενέργεια ακριβώς ίση με τη διαφορά δύο σταθμών,
με κρούση με άλλο σωματίδιο (π.χ. ηλεκτρόνιο): εδώ το σωματίδιο μπορεί να δώσει μέρος της κινητικής του ενέργειας — όση χρειάζεται η μετάβαση — και να συνεχίσει με το υπόλοιπο.

Ενέργεια ιοντισμού από τη στάθμη $n$ είναι η ελάχιστη ενέργεια για να φύγει το ηλεκτρόνιο στο $E_\infty = 0$ : $E_{\iota o\nu} = 0 - E_n = \frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}$ .

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου τις στάθμες σαν σκάλα με σκαλοπάτια που πυκνώνουν προς τα πάνω: $E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}$ . Το ηλεκτρόνιο πατά μόνο σε σκαλοπάτια, ποτέ ανάμεσα. Για να ανέβει χρειάζεται ακριβώς την ενέργεια που λείπει. Όταν κατεβαίνει, «πληρώνει» με ένα φωτόνιο ίσο με τη διαφορά ύψους.

Ανέβασε και κατέβασε το «ηλεκτρόνιο» στα σκαλοπάτια: θα ανακαλύψεις ότι μπορεί να σταθεί μόνο σε συγκεκριμένα ύψη-στάθμες και ότι κάθε σκαλί αντιστοιχεί σε αυστηρά καθορισμένη ενέργεια — τα ενδιάμεσα ύψη απλώς δεν υπάρχουν, και ακριβώς αυτή η «απαγόρευση» είναι που γεννά τα γραμμικά φάσματα των ατόμων.

Γρήγορος έλεγχος

Στο άτομο του υδρογόνου η θεμελιώδης στάθμη έχει ενέργεια $E_1 = -13{,}6 \ \text{eV}$ . Η ενέργεια της πρώτης διεγερμένης στάθμης ( $n = 2$ ) είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Άτομο υδρογόνου βρίσκεται στην πρώτη διεγερμένη στάθμη ( $E_2 = -3{,}4 \ \text{eV}$ ). Ποια είναι η ελάχιστη ενέργεια που χρειάζεται για να ιοντιστεί;

$E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}, \qquad r_n = n^2 r_1, \qquad E_{\iota o\nu,n} = \frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}, \qquad 1 \ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{J}$

Μέθοδος: ασκήσεις σταθμών, διέγερσης και ιοντισμού

Υπολόγισε τις στάθμες που χρειάζεσαι: $E_1 = -13{,}6$ , $E_2 = -3{,}4$ , $E_3 \approx -1{,}51$ , $E_4 = -0{,}85 \ \text{eV}$ .
Ενέργεια διέγερσης $n_1 \to n_2$ : $E_{n_2} - E_{n_1}$ (θετική).
Διέγερση με φωτόνιο: μόνο αν η ενέργειά του ταιριάζει ακριβώς. Με κρούση: αρκεί η κινητική ενέργεια του σωματιδίου να είναι τουλάχιστον όση η ενέργεια διέγερσης· το υπόλοιπο μένει στο σωματίδιο.
Ιοντισμός από στάθμη $n$ : $\frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}$ .
Μετατροπή σε J: $\times 1{,}6 \times 10^{-19}$ .

Παράδειγμα (πίνακας σταθμών): Να βρεθούν οι ενέργειες διέγερσης του ατόμου του υδρογόνου από τη θεμελιώδη στις στάθμες $n = 2, 3, 4$ και η ενέργεια ιοντισμού από τη στάθμη $n = 3$ .

Λύση:

$1 \to 2$ : $-3{,}4 - (-13{,}6) = 10{,}2 \ \text{eV}$
$1 \to 3$ : $-1{,}51 - (-13{,}6) \approx 12{,}09 \ \text{eV}$
$1 \to 4$ : $-0{,}85 - (-13{,}6) = 12{,}75 \ \text{eV}$

Ιοντισμός από $n = 3$ : $0 - (-1{,}51) \approx 1{,}51 \ \text{eV}$ . Όσο ψηλότερα βρίσκεται το ηλεκτρόνιο, τόσο πιο «χαλαρά» είναι δεμένο. ✔

Άσκηση (διέγερση με κρούση): Ηλεκτρόνιο με κινητική ενέργεια $12{,}5 \ \text{eV}$ συγκρούεται με άτομο υδρογόνου στη θεμελιώδη κατάσταση. Σε ποιες στάθμες μπορεί να διεγερθεί το άτομο και με πόση κινητική ενέργεια συνεχίζει το ηλεκτρόνιο σε κάθε περίπτωση;

Λύση: Με κρούση το ηλεκτρόνιο δίνει όση ενέργεια χρειάζεται, αρκεί να την έχει:

$n = 2$ ( $10{,}2 \ \text{eV}$ ): δυνατό, το ηλεκτρόνιο συνεχίζει με $12{,}5 - 10{,}2 = 2{,}3 \ \text{eV}$
$n = 3$ ( $12{,}09 \ \text{eV}$ ): δυνατό, συνεχίζει με $12{,}5 - 12{,}09 = 0{,}41 \ \text{eV}$
$n = 4$ ( $12{,}75 \ \text{eV}$ ): αδύνατο, δεν επαρκεί η ενέργεια

Αντίθετα, ένα φωτόνιο $12{,}5 \ \text{eV}$ δεν θα απορροφούνταν καθόλου: δεν ταιριάζει ακριβώς σε καμία διαφορά σταθμών. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Η ακτίνα της τροχιάς $n = 3$ στο άτομο του υδρογόνου, σε σύγκριση με τη θεμελιώδη τροχιά, είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Το ηλεκτρόνιο ενός ατόμου υδρογόνου βρίσκεται σε στάθμη με ενέργεια $-0{,}85 \ \text{eV}$ . Δίνονται $E_1 = -13{,}6 \ \text{eV}$ , $r_1 = 0{,}53 \times 10^{-10} \ \text{m}$ , $1 \ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{J}$ .

Δεδομένα: $E_n = -0{,}85 \ \text{eV}$ , $E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}$ .

Ζητούμενα: α) ο κβαντικός αριθμός $n$ της στάθμης, β) η ακτίνα της τροχιάς, γ) η ενέργεια ιοντισμού από αυτή τη στάθμη σε eV και J, δ) πόση ενέργεια χρειάστηκε για να έρθει το άτομο σε αυτή τη στάθμη από τη θεμελιώδη.

Λύση:

α) $n^2 = \frac{13{,}6}{0{,}85} = 16 \Rightarrow n = 4$ .

β) $r_4 = 16r_1 = 16 \cdot 0{,}53 \times 10^{-10} \approx 8{,}5 \times 10^{-10} \ \text{m}$ .

γ) $E_{\iota o\nu} = 0{,}85 \ \text{eV} = 0{,}85 \cdot 1{,}6 \times 10^{-19} = 1{,}36 \times 10^{-19} \ \text{J}$ .

δ) $E_4 - E_1 = -0{,}85 + 13{,}6 = 12{,}75 \ \text{eV} = 2{,}04 \times 10^{-18} \ \text{J}$ .

Απάντηση: α) $n = 4$ β) $\approx 8{,}5 \times 10^{-10} \ \text{m}$ γ) $0{,}85 \ \text{eV} = 1{,}36 \times 10^{-19} \ \text{J}$ δ) $12{,}75 \ \text{eV}$

Ήξερες ότι;

Ο Niels Bohr τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής το 1922 για τη μελέτη της δομής των ατόμων και της ακτινοβολίας τους. Μισό αιώνα αργότερα, το 1975, Νόμπελ Φυσικής πήρε και ο γιος του, Aage Bohr, για έρευνες στη δομή του ατομικού πυρήνα.

Πρόκληση

α) Πόση είναι η ενεργειακή απόσταση ανάμεσα σε διαδοχικές στάθμες του υδρογόνου για $n = 1 \to 2$ , $2 \to 3$ και $3 \to 4$ ; Τι παρατηρείς;

β) Ποια είναι η μικρότερη στάθμη $n$ από την οποία το άτομο ιοντίζεται με λιγότερο από $0{,}5 \ \text{eV}$ ;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) $E_2 - E_1 = 10{,}2 \ \text{eV}$ , $E_3 - E_2 \approx 1{,}89 \ \text{eV}$ , $E_4 - E_3 \approx 0{,}66 \ \text{eV}$ . Οι αποστάσεις μικραίνουν γρήγορα: οι στάθμες πυκνώνουν προς το μηδέν, σαν σκάλα με όλο και χαμηλότερα σκαλοπάτια.

β) Θέλουμε $\frac{13{,}6}{n^2} < 0{,}5 \Rightarrow n^2 > 27{,}2$ . Επειδή $5^2 = 25$ και $6^2 = 36$ , η μικρότερη είναι η $n = 6$ , με $E_{\iota o\nu} = \frac{13{,}6}{36} \approx 0{,}38 \ \text{eV}$ . Η τροχιά της έχει ακτίνα $36r_1 \approx 1{,}9 \times 10^{-9} \ \text{m}$ — σχεδόν $2 \ \text{nm}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Διαίρεση με $n$ αντί για $n^2$ : $E_2 = -\frac{13{,}6}{4} = -3{,}4 \ \text{eV}$ , όχι $-6{,}8 \ \text{eV}$ .
«Μεγαλύτερο $n$ , μικρότερη ενέργεια»: η ενέργεια αυξάνεται (γίνεται λιγότερο αρνητική) όσο ανεβαίνει το $n$ .
Ιοντισμός πάντα $13{,}6 \ \text{eV}$ : αυτή είναι η ενέργεια ιοντισμού από τη θεμελιώδη· από τη στάθμη $n$ είναι $\frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}$ .
Κρούση σαν φωτόνιο: ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να δώσει μέρος της ενέργειάς του· ένα φωτόνιο απορροφάται μόνο ολόκληρο.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Bohr: το ηλεκτρόνιο κινείται μόνο σε επιτρεπόμενες τροχιές χωρίς να ακτινοβολεί — η ενέργεια του ατόμου είναι κβαντωμένη
Στάθμες υδρογόνου: $E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}$ , θεμελιώδης η $n = 1$ , ακτίνες $r_n = n^2r_1$
Διέγερση με φωτόνιο (ακριβής ενέργεια) ή με κρούση (αρκεί επαρκής ενέργεια)
Ενέργεια ιοντισμού από στάθμη $n$ : $\frac{13{,}6}{n^2} \ \text{eV}$ — από τη θεμελιώδη $13{,}6 \ \text{eV}$

Από τον Rutherford στον Bohr

Ο Bohr (1913) έκοψε τον γόρδιο δεσμό με δύο τολμηρές παραδοχές για το άτομο του υδρογόνου:

Το ηλεκτρόνιο κινείται μόνο σε ορισμένες επιτρεπόμενες τροχιές· όσο βρίσκεται σε μία από αυτές δεν ακτινοβολεί

Το άτομο εκπέμπει ή απορροφά ενέργεια μόνο όταν το ηλεκτρόνιο μεταπηδά από μία επιτρεπόμενη τροχιά σε άλλη

Η ενέργεια του ατόμου δεν αλλάζει συνεχόμενα — αλλάζει με άλματα. Είναι κβαντωμένη.