🔗

Συνδεσμολογία Αντιστατών & Ρυθμιστική Αντίσταση

Σε σειρά, παράλληλα, μικτή συνδεσμολογία· ροοστάτης & ποτενσιόμετρο

Γιατί «πέφτει» η ασφάλεια;

Ανάβεις μαζί φούρνο, θερμοσίφωνα και κλιματιστικό και — κλικ — σκοτάδι. Οι συσκευές του σπιτιού είναι συνδεδεμένες παράλληλα, οπότε τα ρεύματά τους αθροίζονται στην κεντρική γραμμή, ώσπου το ρεύμα ξεπερνά το όριο της ασφάλειας. Με τον νόμο του Ohm, τις συνδεσμολογίες και την ισχύ θα μπορείς να το υπολογίσεις — και να βρεις πόσο κοστίζει κάθε συσκευή στον λογαριασμό του ρεύματος.

Συνδεσμολογία αντιστατών

Σε σειρά οι αντιστάτες μπαίνουν ο ένας μετά τον άλλον, σαν εμπόδια στην ίδια διαδρομή: το ρεύμα είναι κοινό, οι τάσεις προστίθενται ( $V = V_1 + V_2$ ) και η ολική αντίσταση μεγαλώνει:

$R_{o\lambda} = R_1 + R_2 + \dots$

Παράλληλα οι αντιστάτες προσφέρουν εναλλακτικούς δρόμους, σαν να ανοίγουν επιπλέον ταμεία στο σούπερ μάρκετ: η τάση είναι κοινή, τα ρεύματα προστίθενται ( $I = I_1 + I_2$ ) και η ολική αντίσταση μικραίνει — γίνεται μικρότερη και από τη μικρότερη του συνδυασμού:

$\frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots$

Για δύο αντιστάτες βολεύει η μορφή $R_{o\lambda} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ .

Απόδειξη των τύπων της ισοδύναμης αντίστασης

Ισοδύναμη αντίσταση ενός συνδυασμού είναι η αντίσταση ενός αντιστάτη που, με την ίδια τάση, θα διαρρεόταν από το ίδιο ολικό ρεύμα.

Σε σειρά: κοινό ρεύμα $I$ , και η ολική τάση είναι το άθροισμα των τάσεων (κανόνας βρόχων):

$V = V_1 + V_2 \Rightarrow IR_{o\lambda} = IR_1 + IR_2 \Rightarrow R_{o\lambda} = R_1 + R_2$

Παράλληλα: κοινή τάση $V$ , και το ολικό ρεύμα είναι το άθροισμα των ρευμάτων (κανόνας κόμβων):

$I = I_1 + I_2 \Rightarrow \frac{V}{R_{o\lambda}} = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} \Rightarrow \frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Για $n$ ίδιους αντιστάτες $R$ : σε σειρά $nR$ , παράλληλα $\frac{R}{n}$ .

Κόλπο μνήμης

Φαντάσου το ρεύμα σαν νερό σε σωλήνες. Η τάση είναι η «διαφορά ύψους» που το σπρώχνει και ο αντιστάτης ένα στένεμα. Σε σειρά → ένας σωλήνας: το ίδιο νερό περνά από όλα τα στενέματα (κοινό $I$ ). Παράλληλα → πολλές διαδρομές από το ίδιο ύψος στο ίδιο ύψος (κοινή $V$ ). Κάθε νέα διαδρομή διευκολύνει τη ροή, γι' αυτό η ολική αντίσταση μικραίνει.

$R_{\sigma\varepsilon\iota\rho\acute{\alpha}} = R_1 + R_2 + \dots, \qquad \frac{1}{R_{\pi\alpha\rho}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots, \qquad R_{\pi\alpha\rho} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

Παράδειγμα (σειρά ή παράλληλα;): Δύο αντιστάτες $R_1 = 3 \ \Omega$ και $R_2 = 6 \ \Omega$ συνδέονται σε πηγή σταθερής τάσης $V = 18 \ \text{V}$ (αμελητέα εσωτερική αντίσταση), πρώτα σε σειρά και μετά παράλληλα. Να βρεθούν ρεύματα και τάσεις σε κάθε περίπτωση.

Σε σειρά: $R_{o\lambda} = 3 + 6 = 9 \ \Omega$ , άρα $I = \frac{18}{9} = 2 \ \text{A}$ — κοινό και για τους δύο. Τάσεις: $V_1 = IR_1 = 6 \ \text{V}$ και $V_2 = IR_2 = 12 \ \text{V}$ , με $V_1 + V_2 = 18 \ \text{V}$ ✔. Η μεγαλύτερη αντίσταση «παίρνει» τη μεγαλύτερη τάση.

Παράλληλα: η τάση είναι κοινή, $18 \ \text{V}$ σε κάθε αντιστάτη. Ρεύματα: $I_1 = \frac{18}{3} = 6 \ \text{A}$ και $I_2 = \frac{18}{6} = 3 \ \text{A}$ , ολικό $I = 9 \ \text{A}$ . Έλεγχος: $R_{o\lambda} = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = 2 \ \Omega$ και $\frac{18}{2} = 9 \ \text{A}$ ✔. Εδώ η μικρότερη αντίσταση παίρνει το μεγαλύτερο ρεύμα.

Γρήγορος έλεγχος

Δύο αντιστάτες $R_1 = 6 \ \Omega$ και $R_2 = 3 \ \Omega$ συνδέονται παράλληλα. Η ολική αντίσταση του συνδυασμού είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Σύρμα αντίστασης $R$ κόβεται σε δύο ίσα κομμάτια, τα οποία συνδέονται παράλληλα. Η αντίσταση του συνδυασμού είναι:

Μέθοδος: μικτή συνδεσμολογία

Εντόπισε ομάδες αντιστατών που είναι καθαρά σε σειρά (ίδιο ρεύμα) ή καθαρά παράλληλα (ίδια δύο άκρα).
Αντικατάστησε κάθε ομάδα με την ισοδύναμή της και ξανασχεδίασε το κύκλωμα.
Επανάλαβε μέχρι να μείνει μία $R_{o\lambda}$ · ολικό ρεύμα $I = \frac{V}{R_{o\lambda}}$ .
Γύρνα πίσω βήμα-βήμα: σε σειρά μοιράζεται η τάση, παράλληλα μοιράζεται το ρεύμα.
Έλεγχοι: άθροισμα τάσεων στη σειρά, άθροισμα ρευμάτων στους κόμβους.

Άσκηση (μικτή συνδεσμολογία): Αντιστάτης $R_1 = 6 \ \Omega$ συνδέεται σε σειρά με τον παράλληλο συνδυασμό των $R_2 = 6 \ \Omega$ και $R_3 = 3 \ \Omega$ . Το σύνολο τροφοδοτείται με σταθερή τάση $24 \ \text{V}$ . Να βρεθούν όλα τα ρεύματα και οι τάσεις.

Λύση: $R_{23} = \frac{6 \cdot 3}{9} = 2 \ \Omega$ , άρα $R_{o\lambda} = 6 + 2 = 8 \ \Omega$ και $I = \frac{24}{8} = 3 \ \text{A}$ .

$V_1 = IR_1 = 18 \ \text{V}$ και $V_{23} = IR_{23} = 6 \ \text{V}$ (έλεγχος: $18 + 6 = 24 \ \text{V}$ ✔).

$I_2 = \frac{6}{6} = 1 \ \text{A}$ , $I_3 = \frac{6}{3} = 2 \ \text{A}$ (έλεγχος: $1 + 2 = 3 \ \text{A}$ ✔).

Ρυθμιστική (μεταβλητή) αντίσταση

Η ρυθμιστική αντίσταση είναι ένας αντιστάτης με έναν κινητό επαφέα, τον δρομέα. Καθώς ο δρομέας μετακινείται, αλλάζει το μήκος του σύρματος που διαρρέεται από ρεύμα, άρα και η αντίσταση ( $R \propto \ell$ ). Χρησιμοποιείται με δύο τρόπους:

Ροοστάτης (ρυθμιστής έντασης): συνδέεται σε σειρά με έναν καταναλωτή. Αυξάνοντας την αντίστασή του μειώνεται το ρεύμα — π.χ. ρύθμιση φωτεινότητας λάμπας.
Ποτενσιόμετρο (διαιρέτης τάσης): ολόκληρος ο αντιστάτης συνδέεται στην πηγή και παίρνουμε τάση ανάμεσα σε ένα άκρο και τον δρομέα. Χωρίς φορτίο, η τάση εξόδου είναι ανάλογη του τμήματος που επιλέγει ο δρομέας — π.χ. το κουμπί έντασης ενός ηχείου.

Παράδειγμα (ροοστάτης): Λάμπα αντίστασης $R_\Lambda = 10 \ \Omega$ συνδέεται σε σειρά με ροοστάτη που ρυθμίζεται από $0$ ως $50 \ \Omega$ , σε σταθερή τάση $12 \ \text{V}$ . Σε ποια περιοχή τιμών κυμαίνεται το ρεύμα της λάμπας;

Λύση: Ροοστάτης στο $0$ : $I_{max} = \frac{12}{10} = 1{,}2 \ \text{A}$ .

Ροοστάτης στα $50 \ \Omega$ : $I_{min} = \frac{12}{10 + 50} = 0{,}2 \ \text{A}$ .

Με τον ροοστάτη ρυθμίζουμε συνεχώς το ρεύμα από $0{,}2$ ως $1{,}2 \ \text{A}$ — ένας απλός «dimmer». ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε κύκλωμα, ροοστάτης είναι συνδεδεμένος σε σειρά με λάμπα. Μετακινούμε τον δρομέα ώστε να αυξηθεί το μήκος του σύρματος που διαρρέεται. Τι συμβαίνει;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ποτενσιόμετρο συνολικής αντίστασης $120 \ \Omega$ συνδέεται σε πηγή σταθερής τάσης $12 \ \text{V}$ (αμελητέα εσωτερική αντίσταση). Ο δρομέας βρίσκεται έτσι ώστε το κάτω τμήμα του να έχει αντίσταση $40 \ \Omega$ και το πάνω $80 \ \Omega$ . Η τάση εξόδου λαμβάνεται στα άκρα του κάτω τμήματος.

Δεδομένα: $V = 12 \ \text{V}$ , $R_{\kappa\acute{\alpha}\tau\omega} = 40 \ \Omega$ , $R_{\pi\acute{\alpha}\nu\omega} = 80 \ \Omega$ .

Ζητούμενα: α) η τάση εξόδου χωρίς φορτίο, β) η τάση εξόδου όταν στην έξοδο συνδεθεί καταναλωτής $R_\phi = 40 \ \Omega$ , γ) το ρεύμα του καταναλωτή.

Λύση:

α) Χωρίς φορτίο το ρεύμα είναι $I = \frac{12}{120} = 0{,}1 \ \text{A}$ και $V_{\varepsilon\xi} = 0{,}1 \cdot 40 = 4 \ \text{V}$ — το $\frac{1}{3}$ της τάσης, όσο και το τμήμα του αντιστάτη.

β) Ο καταναλωτής είναι παράλληλα με το κάτω τμήμα: $R_{\pi} = \frac{40 \cdot 40}{80} = 20 \ \Omega$ . Ολική: $80 + 20 = 100 \ \Omega$ , ρεύμα $I' = 0{,}12 \ \text{A}$ και

$V_{\varepsilon\xi}' = I'R_{\pi} = 0{,}12 \cdot 20 = 2{,}4 \ \text{V}$

γ) $I_\phi = \frac{2{,}4}{40} = 0{,}06 \ \text{A}$ .

Απάντηση: α) $4 \ \text{V}$ β) $2{,}4 \ \text{V}$ γ) $0{,}06 \ \text{A}$ — ο καταναλωτής «ρίχνει» την τάση εξόδου, γιατί μειώνει την αντίσταση του κάτω τμήματος

Γρήγορος έλεγχος

Σε ένα σπίτι οι συσκευές συνδέονται παράλληλα. Ανάβουμε μια επιπλέον λάμπα. Τι συμβαίνει στην ολική αντίσταση και στο ολικό ρεύμα;

Ήξερες ότι;

Στις παλιές χριστουγεννιάτικες γιρλάντες τα λαμπάκια ήταν συνδεδεμένα σε σειρά: αν καιγόταν ένα, έσβηναν όλα και έπρεπε να ψάξεις ποιο φταίει. Στα νεότερα λαμπάκια σειράς υπάρχει μέσα στη βάση ένας μικρός αγωγός που, μόλις καεί το νήμα, κλείνει το κύκλωμα ώστε τα υπόλοιπα να συνεχίζουν να ανάβουν.

Πρόκληση

Τρεις ίδιες λάμπες συνδέονται σε πηγή σταθερής τάσης $V$ : η $\Lambda_1$ σε σειρά με τον παράλληλο συνδυασμό των $\Lambda_2$ και $\Lambda_3$ . Ξαφνικά η $\Lambda_3$ καίγεται (ο κλάδος της ανοίγει). Τι συμβαίνει στη φωτεινότητα της $\Lambda_1$ και της $\Lambda_2$ ; (Θεώρησε ότι κάθε λάμπα φωτίζει περισσότερο όσο μεγαλύτερη τάση έχει στα άκρα της και ότι η αντίστασή της $R$ μένει σταθερή.)

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Πριν: $R_{o\lambda} = R + \frac{R}{2} = 1{,}5R$ . Η τάση μοιράζεται ανάλογα με τις αντιστάσεις: $V_1 = \frac{R}{1{,}5R}V = \frac{2V}{3}$ και $V_2 = V_3 = \frac{V}{3}$ .

Μετά: μένουν οι $\Lambda_1$ και $\Lambda_2$ σε σειρά, $R_{o\lambda} = 2R$ , οπότε $V_1' = V_2' = \frac{V}{2}$ .

Η $\Lambda_1$ χαμηλώνει ( $\frac{2V}{3} \to \frac{V}{2}$ ), ενώ η $\Lambda_2$ δυναμώνει ( $\frac{V}{3} \to \frac{V}{2}$ ). Αντίθετα με τη διαίσθηση, το κάψιμο μιας λάμπας έκανε μια άλλη πιο φωτεινή!

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένο αντίστροφο στα παράλληλα: από $\frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ προκύπτει $R_{o\lambda} = 2 \ \Omega$ , όχι $\frac{1}{2} \ \Omega$ .
Παράλληλο αποτέλεσμα μεγαλύτερο από τον μικρότερο αντιστάτη: αδύνατο — η ισοδύναμη αντίσταση παράλληλων είναι πάντα μικρότερη από την κάθε μία.
Ίδια τάση σε αντιστάτες σε σειρά: σε σειρά κοινό είναι το ρεύμα· η τάση μοιράζεται ανάλογα με τις αντιστάσεις.
Ποτενσιόμετρο με φορτίο σαν να μην υπάρχει: ο καταναλωτής συνδέεται παράλληλα με το τμήμα εξόδου και αλλάζει την τάση του.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σειρά: κοινό $I$ , $V = V_1 + V_2$ , $R_{o\lambda} = R_1 + R_2$ — η ολική αντίσταση μεγαλώνει
Παράλληλα: κοινή $V$ , $I = I_1 + I_2$ , $\frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ — η ολική αντίσταση μικραίνει
Μικτή συνδεσμολογία: απλοποίηση βήμα-βήμα και επιστροφή προς τα πίσω
Ροοστάτης σε σειρά: ρυθμίζει το ρεύμα· ποτενσιόμετρο: ρυθμίζει την τάση (διαιρέτης τάσης)

🔗

Συνδεσμολογία Αντιστατών & Ρυθμιστική Αντίσταση

Σε σειρά, παράλληλα, μικτή συνδεσμολογία· ροοστάτης & ποτενσιόμετρο

Γιατί «πέφτει» η ασφάλεια;

Συνδεσμολογία αντιστατών

$R_{o\lambda} = R_1 + R_2 + \dots$

$\frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots$

Για δύο αντιστάτες βολεύει η μορφή $R_{o\lambda} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ .

Απόδειξη των τύπων της ισοδύναμης αντίστασης

Σε σειρά: κοινό ρεύμα $I$ , και η ολική τάση είναι το άθροισμα των τάσεων (κανόνας βρόχων):

$V = V_1 + V_2 \Rightarrow IR_{o\lambda} = IR_1 + IR_2 \Rightarrow R_{o\lambda} = R_1 + R_2$

Παράλληλα: κοινή τάση $V$ , και το ολικό ρεύμα είναι το άθροισμα των ρευμάτων (κανόνας κόμβων):

$I = I_1 + I_2 \Rightarrow \frac{V}{R_{o\lambda}} = \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} \Rightarrow \frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Για $n$ ίδιους αντιστάτες $R$ : σε σειρά $nR$ , παράλληλα $\frac{R}{n}$ .

Κόλπο μνήμης

$R_{\sigma\varepsilon\iota\rho\acute{\alpha}} = R_1 + R_2 + \dots, \qquad \frac{1}{R_{\pi\alpha\rho}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots, \qquad R_{\pi\alpha\rho} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$

Γρήγορος έλεγχος

Δύο αντιστάτες $R_1 = 6 \ \Omega$ και $R_2 = 3 \ \Omega$ συνδέονται παράλληλα. Η ολική αντίσταση του συνδυασμού είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: μικτή συνδεσμολογία

Εντόπισε ομάδες αντιστατών που είναι καθαρά σε σειρά (ίδιο ρεύμα) ή καθαρά παράλληλα (ίδια δύο άκρα).
Αντικατάστησε κάθε ομάδα με την ισοδύναμή της και ξανασχεδίασε το κύκλωμα.
Επανάλαβε μέχρι να μείνει μία $R_{o\lambda}$ · ολικό ρεύμα $I = \frac{V}{R_{o\lambda}}$ .
Γύρνα πίσω βήμα-βήμα: σε σειρά μοιράζεται η τάση, παράλληλα μοιράζεται το ρεύμα.
Έλεγχοι: άθροισμα τάσεων στη σειρά, άθροισμα ρευμάτων στους κόμβους.

Λύση: $R_{23} = \frac{6 \cdot 3}{9} = 2 \ \Omega$ , άρα $R_{o\lambda} = 6 + 2 = 8 \ \Omega$ και $I = \frac{24}{8} = 3 \ \text{A}$ .

$V_1 = IR_1 = 18 \ \text{V}$ και $V_{23} = IR_{23} = 6 \ \text{V}$ (έλεγχος: $18 + 6 = 24 \ \text{V}$ ✔).

$I_2 = \frac{6}{6} = 1 \ \text{A}$ , $I_3 = \frac{6}{3} = 2 \ \text{A}$ (έλεγχος: $1 + 2 = 3 \ \text{A}$ ✔).

Ρυθμιστική (μεταβλητή) αντίσταση

Ροοστάτης (ρυθμιστής έντασης): συνδέεται σε σειρά με έναν καταναλωτή. Αυξάνοντας την αντίστασή του μειώνεται το ρεύμα — π.χ. ρύθμιση φωτεινότητας λάμπας.
Ποτενσιόμετρο (διαιρέτης τάσης): ολόκληρος ο αντιστάτης συνδέεται στην πηγή και παίρνουμε τάση ανάμεσα σε ένα άκρο και τον δρομέα. Χωρίς φορτίο, η τάση εξόδου είναι ανάλογη του τμήματος που επιλέγει ο δρομέας — π.χ. το κουμπί έντασης ενός ηχείου.

Λύση: Ροοστάτης στο $0$ : $I_{max} = \frac{12}{10} = 1{,}2 \ \text{A}$ .

Ροοστάτης στα $50 \ \Omega$ : $I_{min} = \frac{12}{10 + 50} = 0{,}2 \ \text{A}$ .

Με τον ροοστάτη ρυθμίζουμε συνεχώς το ρεύμα από $0{,}2$ ως $1{,}2 \ \text{A}$ — ένας απλός «dimmer». ✔

Γρήγορος έλεγχος

Δεδομένα: $V = 12 \ \text{V}$ , $R_{\kappa\acute{\alpha}\tau\omega} = 40 \ \Omega$ , $R_{\pi\acute{\alpha}\nu\omega} = 80 \ \Omega$ .

Λύση:

$V_{\varepsilon\xi}' = I'R_{\pi} = 0{,}12 \cdot 20 = 2{,}4 \ \text{V}$

γ) $I_\phi = \frac{2{,}4}{40} = 0{,}06 \ \text{A}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Μετά: μένουν οι $\Lambda_1$ και $\Lambda_2$ σε σειρά, $R_{o\lambda} = 2R$ , οπότε $V_1' = V_2' = \frac{V}{2}$ .

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένο αντίστροφο στα παράλληλα: από $\frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ προκύπτει $R_{o\lambda} = 2 \ \Omega$ , όχι $\frac{1}{2} \ \Omega$ .
Παράλληλο αποτέλεσμα μεγαλύτερο από τον μικρότερο αντιστάτη: αδύνατο — η ισοδύναμη αντίσταση παράλληλων είναι πάντα μικρότερη από την κάθε μία.
Ίδια τάση σε αντιστάτες σε σειρά: σε σειρά κοινό είναι το ρεύμα· η τάση μοιράζεται ανάλογα με τις αντιστάσεις.
Ποτενσιόμετρο με φορτίο σαν να μην υπάρχει: ο καταναλωτής συνδέεται παράλληλα με το τμήμα εξόδου και αλλάζει την τάση του.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σειρά: κοινό $I$ , $V = V_1 + V_2$ , $R_{o\lambda} = R_1 + R_2$ — η ολική αντίσταση μεγαλώνει
Παράλληλα: κοινή $V$ , $I = I_1 + I_2$ , $\frac{1}{R_{o\lambda}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ — η ολική αντίσταση μικραίνει
Μικτή συνδεσμολογία: απλοποίηση βήμα-βήμα και επιστροφή προς τα πίσω
Ροοστάτης σε σειρά: ρυθμίζει το ρεύμα· ποτενσιόμετρο: ρυθμίζει την τάση (διαιρέτης τάσης)