🥊

Δύναμη & Μεταβολή της Ορμής

ΣF = Δp/Δt, ώθηση, αερόσακοι & δίχτυα ασφαλείας

Γιατί με νοιάζει;

Γιατί λυγίζεις τα γόνατα όταν πηδάς από ψηλά; Γιατί ο αερόσακος σώζει ζωές και οι αθλητές του άλματος σε ύψος πέφτουν σε αφρώδη στρώματα; Σε όλες τις περιπτώσεις η μεταβολή της ορμής είναι δεδομένη — αυτό που αλλάζει είναι ο χρόνος στον οποίο γίνεται. Και από αυτόν τον χρόνο εξαρτάται αν η δύναμη θα είναι ακίνδυνη ή καταστροφική.

Δύναμη και μεταβολή της ορμής

Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα στη γενικότερη μορφή του λέει ότι η συνισταμένη δύναμη ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής:

$\Sigma \vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$

Αναδιατάσσοντας: $\Sigma \vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}$ — το γινόμενο δύναμης επί χρόνο (η ώθηση) δίνει τη μεταβολή της ορμής.

Αυτή η σχέση εξηγεί τους αερόσακους και τα δίχτυα ασφαλείας: η ίδια $\Delta p$ μπορεί να γίνει με μεγάλη δύναμη σε λίγο χρόνο ή με μικρή δύναμη σε πολύ χρόνο. Ο αερόσακος «απλώνει» τη μεταβολή της ορμής στον χρόνο και η δύναμη στο σώμα πέφτει δραματικά.

Στην κρούση οι εσωτερικές δυνάμεις είναι τεράστιες αλλά διαρκούν ελάχιστα — τόσο μεγάλες που οι εξωτερικές (βάρη, τριβές) είναι αμελητέες μπροστά τους.

Απόδειξη: $\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$

Έστω σώμα σταθερής μάζας $m$ που δέχεται σταθερή συνισταμένη δύναμη $\Sigma\vec{F}$ . Σε χρόνο $\Delta t$ η ταχύτητά του αλλάζει από $\vec{\upsilon}_{\alpha\rho\chi}$ σε $\vec{\upsilon}_{\tau\varepsilon\lambda}$ . Από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα:

$\Sigma\vec{F} = m\vec{\alpha} = m\frac{\vec{\upsilon}_{\tau\varepsilon\lambda} - \vec{\upsilon}_{\alpha\rho\chi}}{\Delta t} = \frac{m\vec{\upsilon}_{\tau\varepsilon\lambda} - m\vec{\upsilon}_{\alpha\rho\chi}}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$

Η συνισταμένη δύναμη ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής. Η μορφή αυτή είναι γενικότερη από το $F = m\alpha$ : ισχύει και όταν αλλάζει η μάζα (πύραυλος που καίει καύσιμα). Αν η δύναμη δεν είναι σταθερή, η σχέση δίνει τη μέση δύναμη στο διάστημα $\Delta t$ .

Το γινόμενο $\Sigma\vec{F} \cdot \Delta t$ λέγεται ώθηση και ισούται με τη μεταβολή της ορμής. Σε διάγραμμα $F\text{–}t$ η ώθηση είναι το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη.

$\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}, \qquad \Delta\vec{p} = m\vec{\upsilon}_{\tau\varepsilon\lambda} - m\vec{\upsilon}_{\alpha\rho\chi}, \qquad \Sigma\vec{F} \cdot \Delta t = \Delta\vec{p}$

Παράδειγμα (ώθηση με αλλαγή φοράς): Μπάλα μάζας $m = 0{,}4 \ \text{kg}$ χτυπά κάθετα σε τοίχο με ταχύτητα $10 \ \text{m/s}$ και αναπηδά με ταχύτητα $8 \ \text{m/s}$ . Η επαφή διαρκεί $\Delta t = 0{,}02 \ \text{s}$ . Να βρεθούν η μεταβολή της ορμής και η μέση δύναμη από τον τοίχο.

Λύση: Θετική φορά αυτή της αναπήδησης (μακριά από τον τοίχο). Τότε $\upsilon_{\alpha\rho\chi} = -10 \ \text{m/s}$ και $\upsilon_{\tau\varepsilon\lambda} = +8 \ \text{m/s}$ :

$\Delta p = m\upsilon_{\tau\varepsilon\lambda} - m\upsilon_{\alpha\rho\chi} = 0{,}4 \cdot 8 - 0{,}4 \cdot (-10) = 3{,}2 + 4 = 7{,}2 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{7{,}2}{0{,}02} = 360 \ \text{N}$

Θετική, δηλαδή με φορά μακριά από τον τοίχο. Αν αφαιρούσες απλώς τα μέτρα ( $4 - 3{,}2 = 0{,}8$ ) θα έβρισκες εννιαπλάσια μικρότερη δύναμη — η ορμή είναι διάνυσμα και η αλλαγή φοράς «μετράει διπλά». ✔

Γρήγορος έλεγχος

Μπάλα μάζας $0{,}2 \ \text{kg}$ χτυπά κάθετα σε τοίχο με ταχύτητα $5 \ \text{m/s}$ και ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της είναι:

Κόλπο μνήμης

Η ίδια $\Delta p$ «πληρώνεται» με δύο τρόπους: δυνατά και γρήγορα ή μαλακά και αργά — το γινόμενο $F \cdot \Delta t$ μένει ίδιο. Τσιμέντο = λίγο $\Delta t$ , μεγάλη $F$ . Στρώμα, αερόσακος, λυγισμένα γόνατα = πολύ $\Delta t$ , μικρή $F$ .

Μέθοδος: δύναμη από τη μεταβολή της ορμής

Διάλεξε θετική φορά (συνήθως της τελικής κίνησης).
Γράψε αρχική και τελική ταχύτητα με πρόσημα — σε αναπήδηση έχουν αντίθετα πρόσημα.
$\Delta p = m\upsilon_{\tau\varepsilon\lambda} - m\upsilon_{\alpha\rho\chi}$ .
Μέση συνισταμένη δύναμη: $\Sigma F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ · το πρόσημο δίνει τη φορά της.
Αν ζητείται μία συγκεκριμένη δύναμη (π.χ. από το έδαφος), γράψε τη συνισταμένη ως άθροισμα όλων των δυνάμεων (π.χ. $\Sigma F = N - mg$ ) και λύσε.

Άσκηση (με και χωρίς αερόσακο): Επιβάτης μάζας $70 \ \text{kg}$ κινείται με το αυτοκίνητο με $20 \ \text{m/s}$ όταν αυτό συγκρούεται και σταματά. α) Πόση είναι η μεταβολή της ορμής του επιβάτη; β) Πόση μέση δύναμη δέχεται αν σταματήσει χτυπώντας στο ταμπλό σε $0{,}01 \ \text{s}$ και πόση αν σταματήσει στον αερόσακο σε $0{,}2 \ \text{s}$ ;

Λύση: α) Θετική φορά η φορά κίνησης: $\Delta p = 0 - 70 \cdot 20 = -1400 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ — ίδια σε κάθε περίπτωση.

β) Ταμπλό: $F = \frac{1400}{0{,}01} = 140\,000 \ \text{N}$ . Αερόσακος: $F = \frac{1400}{0{,}2} = 7000 \ \text{N}$ .

Ο αερόσακος εικοσαπλασιάζει τον χρόνο και διαιρεί τη δύναμη με το $20$ — η διαφορά ανάμεσα σε θανατηφόρο και σε επιβιώσιμο τραυματισμό. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ένα αβγό πέφτει από το ίδιο ύψος μία φορά σε τσιμέντο και μία σε μαξιλάρι. Γιατί σπάει μόνο στο τσιμέντο;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Μπάλα μάζας $0{,}5 \ \text{kg}$ αφήνεται από ύψος $5 \ \text{m}$ , χτυπά στο οριζόντιο δάπεδο και αναπηδά μέχρι ύψος $1{,}8 \ \text{m}$ . Η επαφή με το δάπεδο διαρκεί $0{,}05 \ \text{s}$ . Αντίσταση αέρα αμελητέα, $g = 10 \ \text{m/s}^2$ .

Δεδομένα: $m = 0{,}5 \ \text{kg}$ , $h_1 = 5 \ \text{m}$ , $h_2 = 1{,}8 \ \text{m}$ , $\Delta t = 0{,}05 \ \text{s}$ .

Ζητούμενα: α) οι ταχύτητες ακριβώς πριν και ακριβώς μετά την κρούση, β) η μεταβολή της ορμής, γ) η μέση συνισταμένη δύναμη και η μέση δύναμη από το δάπεδο, δ) η απώλεια κινητικής ενέργειας.

Λύση:

α) Από διατήρηση μηχανικής ενέργειας: $\upsilon_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{100} = 10 \ \text{m/s}$ (προς τα κάτω) και $\upsilon_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{36} = 6 \ \text{m/s}$ (προς τα πάνω).

β) Θετική φορά προς τα πάνω:

$\Delta p = m\upsilon_2 - m\upsilon_1 = 0{,}5 \cdot 6 - 0{,}5 \cdot (-10) = 3 + 5 = 8 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$

γ) $\Sigma F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{8}{0{,}05} = 160 \ \text{N}$ προς τα πάνω. Κατά την επαφή δρουν το βάρος και η δύναμη $N$ του δαπέδου: $\Sigma F = N - mg \Rightarrow N = 160 + 5 = 165 \ \text{N}$ .

δ) $K_1 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 100 = 25 \ \text{J}$ και $K_2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 36 = 9 \ \text{J}$ , άρα χάθηκαν $16 \ \text{J}$ .

Απάντηση: α) $10 \ \text{m/s}$ κάτω, $6 \ \text{m/s}$ πάνω β) $8 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ προς τα πάνω γ) $160 \ \text{N}$ και $165 \ \text{N}$ δ) $16 \ \text{J}$

Γρήγορος έλεγχος

Σε σώμα ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη $4 \ \text{N}$ για χρόνο $3 \ \text{s}$ . Η μεταβολή της ορμής του έχει μέτρο:

Ήξερες ότι;

Ο μηχανικός Béla Barényi κατοχύρωσε το 1952 για λογαριασμό της Mercedes-Benz την ιδέα της ζώνης παραμόρφωσης: το μπροστινό και το πίσω μέρος του αυτοκινήτου σχεδιάζονται ώστε να τσαλακώνονται σε μια σύγκρουση. Έτσι αυξάνεται ο χρόνος στον οποίο μηδενίζεται η ορμή του αυτοκινήτου και μειώνεται η δύναμη που φτάνει στους επιβάτες.

Πρόκληση

Μάνικα της πυροσβεστικής εκτοξεύει $2 \ \text{kg}$ νερού κάθε δευτερόλεπτο με ταχύτητα $10 \ \text{m/s}$ , κάθετα πάνω σε τοίχο. Το νερό χτυπά και κυλά κατά μήκος του τοίχου χωρίς να αναπηδά. Πόση δύναμη ασκεί το νερό στον τοίχο; Πόση θα ήταν αν το νερό αναπηδούσε με ταχύτητα ίδιου μέτρου;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Εξετάζουμε το νερό που χτυπά σε $\Delta t = 1 \ \text{s}$ : μάζα $2 \ \text{kg}$ . Κάθετα στον τοίχο η ταχύτητά του μηδενίζεται, άρα

$|\Delta p| = 2 \cdot 10 = 20 \ \text{kg} \cdot \text{m/s} \Rightarrow F = \frac{20}{1} = 20 \ \text{N}$

Αυτή είναι η δύναμη του τοίχου στο νερό· από τον 3ο νόμο, ίση και αντίθετη ασκεί το νερό στον τοίχο.

Με αναπήδηση: $|\Delta p| = 2 \cdot 10 - 2 \cdot (-10) = 40 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ , οπότε $F = 40 \ \text{N}$ — διπλάσια. Η αλλαγή φοράς «μετράει διπλά», όπως στη μπάλα που αναπηδά.

Συνηθισμένα λάθη

$\Delta p$ ως διαφορά μέτρων: στην αναπήδηση $\Delta p = m\upsilon' - m\upsilon$ με πρόσημα — $0{,}5 \cdot 6 - 0{,}5 \cdot (-10) = 8$ , όχι $0{,}5 \cdot (10 - 6) = 2$ .
Συνισταμένη αντί για συγκεκριμένη δύναμη: το $\frac{\Delta p}{\Delta t}$ δίνει τη συνισταμένη· για τη δύναμη του δαπέδου πρόσθεσε το βάρος ( $N = \Sigma F + mg$ ).
Μικρή δύναμη = μικρή μεταβολή ορμής: μια μικρή δύναμη μπορεί να προκαλέσει μεγάλη $\Delta p$ αν δράσει για πολύ χρόνο.
Χρόνος σε ms: $50 \ \text{ms} = 0{,}05 \ \text{s}$ πριν από τη διαίρεση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ : η συνισταμένη δύναμη είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής
Ώθηση: $\Sigma\vec{F} \cdot \Delta t = \Delta\vec{p}$ , εμβαδόν στο διάγραμμα $F\text{–}t$
Η $\Delta\vec{p}$ υπολογίζεται διανυσματικά — σε αναπήδηση οι ταχύτητες έχουν αντίθετα πρόσημα
Ίδια $\Delta p$ σε μεγαλύτερο χρόνο → μικρότερη δύναμη (αερόσακος, ζώνη παραμόρφωσης)

🥊

Δύναμη & Μεταβολή της Ορμής

ΣF = Δp/Δt, ώθηση, αερόσακοι & δίχτυα ασφαλείας

Γιατί με νοιάζει;

Δύναμη και μεταβολή της ορμής

$\Sigma \vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$

Απόδειξη: $\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$

$\Delta p = m\upsilon_{\tau\varepsilon\lambda} - m\upsilon_{\alpha\rho\chi} = 0{,}4 \cdot 8 - 0{,}4 \cdot (-10) = 3{,}2 + 4 = 7{,}2 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{7{,}2}{0{,}02} = 360 \ \text{N}$

Γρήγορος έλεγχος

Κόλπο μνήμης

Μέθοδος: δύναμη από τη μεταβολή της ορμής

Διάλεξε θετική φορά (συνήθως της τελικής κίνησης).
Γράψε αρχική και τελική ταχύτητα με πρόσημα — σε αναπήδηση έχουν αντίθετα πρόσημα.
$\Delta p = m\upsilon_{\tau\varepsilon\lambda} - m\upsilon_{\alpha\rho\chi}$ .
Μέση συνισταμένη δύναμη: $\Sigma F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ · το πρόσημο δίνει τη φορά της.
Αν ζητείται μία συγκεκριμένη δύναμη (π.χ. από το έδαφος), γράψε τη συνισταμένη ως άθροισμα όλων των δυνάμεων (π.χ. $\Sigma F = N - mg$ ) και λύσε.

Λύση: α) Θετική φορά η φορά κίνησης: $\Delta p = 0 - 70 \cdot 20 = -1400 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ — ίδια σε κάθε περίπτωση.

β) Ταμπλό: $F = \frac{1400}{0{,}01} = 140\,000 \ \text{N}$ . Αερόσακος: $F = \frac{1400}{0{,}2} = 7000 \ \text{N}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Ένα αβγό πέφτει από το ίδιο ύψος μία φορά σε τσιμέντο και μία σε μαξιλάρι. Γιατί σπάει μόνο στο τσιμέντο;

Δεδομένα: $m = 0{,}5 \ \text{kg}$ , $h_1 = 5 \ \text{m}$ , $h_2 = 1{,}8 \ \text{m}$ , $\Delta t = 0{,}05 \ \text{s}$ .

Λύση:

β) Θετική φορά προς τα πάνω:

$\Delta p = m\upsilon_2 - m\upsilon_1 = 0{,}5 \cdot 6 - 0{,}5 \cdot (-10) = 3 + 5 = 8 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$

δ) $K_1 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 100 = 25 \ \text{J}$ και $K_2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 36 = 9 \ \text{J}$ , άρα χάθηκαν $16 \ \text{J}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Σε σώμα ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη $4 \ \text{N}$ για χρόνο $3 \ \text{s}$ . Η μεταβολή της ορμής του έχει μέτρο:

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$|\Delta p| = 2 \cdot 10 = 20 \ \text{kg} \cdot \text{m/s} \Rightarrow F = \frac{20}{1} = 20 \ \text{N}$

Αυτή είναι η δύναμη του τοίχου στο νερό· από τον 3ο νόμο, ίση και αντίθετη ασκεί το νερό στον τοίχο.

Συνηθισμένα λάθη

$\Delta p$ ως διαφορά μέτρων: στην αναπήδηση $\Delta p = m\upsilon' - m\upsilon$ με πρόσημα — $0{,}5 \cdot 6 - 0{,}5 \cdot (-10) = 8$ , όχι $0{,}5 \cdot (10 - 6) = 2$ .
Συνισταμένη αντί για συγκεκριμένη δύναμη: το $\frac{\Delta p}{\Delta t}$ δίνει τη συνισταμένη· για τη δύναμη του δαπέδου πρόσθεσε το βάρος ( $N = \Sigma F + mg$ ).
Μικρή δύναμη = μικρή μεταβολή ορμής: μια μικρή δύναμη μπορεί να προκαλέσει μεγάλη $\Delta p$ αν δράσει για πολύ χρόνο.
Χρόνος σε ms: $50 \ \text{ms} = 0{,}05 \ \text{s}$ πριν από τη διαίρεση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

$\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ : η συνισταμένη δύναμη είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής
Ώθηση: $\Sigma\vec{F} \cdot \Delta t = \Delta\vec{p}$ , εμβαδόν στο διάγραμμα $F\text{–}t$
Η $\Delta\vec{p}$ υπολογίζεται διανυσματικά — σε αναπήδηση οι ταχύτητες έχουν αντίθετα πρόσημα
Ίδια $\Delta p$ σε μεγαλύτερο χρόνο → μικρότερη δύναμη (αερόσακος, ζώνη παραμόρφωσης)

Δύναμη & Μεταβολή της Ορμής

Δύναμη και μεταβολή της ορμής

Απόδειξη: ΣF⃗=Δp⃗Δt\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}ΣF=ΔtΔp​​

Μέθοδος: δύναμη από τη μεταβολή της ορμής

Δύναμη & Μεταβολή της Ορμής

Δύναμη και μεταβολή της ορμής

Απόδειξη: ΣF⃗=Δp⃗Δt\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}ΣF=ΔtΔp​​

Μέθοδος: δύναμη από τη μεταβολή της ορμής

Απόδειξη: $\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$

Απόδειξη: $\Sigma\vec{F} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$