🏔️

Δυναμική Ενέργεια & Δυναμικό

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια, δυναμικό, διαφορά δυναμικού & έργο

Γιατί «τινάζεσαι» όταν ακουμπάς την πόρτα του αυτοκινήτου;

Τον χειμώνα γλιστράς στο κάθισμα, βγαίνεις, ακουμπάς το μέταλλο και — τσαφ! — ένας μικρός σπινθήρας. Το σώμα σου είχε μαζέψει φορτίο και η διαφορά δυναμικού ανάμεσα σε εσένα και στην πόρτα έφτασε μερικές χιλιάδες volt. Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθεις τι είναι η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια, το δυναμικό και η διαφορά δυναμικού: τα εργαλεία που εξηγούν από τον κεραυνό μέχρι την μπαταρία του κινητού σου.

Δυναμική ενέργεια και δυναμικό

Η ηλεκτρική δύναμη, όπως το βάρος, είναι συντηρητική: το έργο της δεν εξαρτάται από τη διαδρομή. Έτσι ορίζεται ηλεκτρική δυναμική ενέργεια — για δύο σημειακά φορτία:

$U = k\frac{q_1 q_2}{r}$

εδώ τα φορτία μπαίνουν με το πρόσημό τους: ομώνυμα δίνουν $U > 0$ , ετερώνυμα $U < 0$ .

Το δυναμικό $V$ σε ένα σημείο είναι η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου:

$V = \frac{U}{q}, \qquad V = k\frac{Q}{r}$

με μονάδα το Volt ( $1 \ \text{V} = 1 \ \text{J/C}$ ). Όπως η ένταση, είναι ιδιότητα του πεδίου — αλλά μονόμετρο μέγεθος, χωρίς κατεύθυνση.

Το πιο χρήσιμο εργαλείο για ασκήσεις είναι η σχέση έργου–διαφοράς δυναμικού: $W_{A \to B} = q(V_A - V_B)$ . Τα θετικά φορτία επιταχύνονται αυθόρμητα από τα υψηλά προς τα χαμηλά δυναμικά — σαν να «κατρακυλούν» τον ηλεκτρικό λόφο.

Διαφορά δυναμικού, έργο και το ηλεκτρονιοβόλτ

Η διαφορά δυναμικού (ή τάση) ανάμεσα σε δύο σημεία Α και Β ορίζεται από το έργο της δύναμης του πεδίου όταν φορτίο $q$ μετακινείται από το Α στο Β:

$V_A - V_B = \frac{W_{A \to B}}{q}$

Το έργο δεν εξαρτάται από τη διαδρομή — μόνο από την αρχική και την τελική θέση. Ισοδύναμα, $W_{A \to B} = U_A - U_B$ : όταν το πεδίο παράγει θετικό έργο, η δυναμική ενέργεια μειώνεται.

Χρήσιμες παρατηρήσεις:

Το δυναμικό στο άπειρο θεωρείται μηδέν.
Το δυναμικό από πολλά φορτία είναι το αλγεβρικό άθροισμα των δυναμικών τους, με τα πρόσημα των φορτίων.
Αν μετακινήσεις φορτίο με σταθερή ταχύτητα από το άπειρο σε σημείο Α, το έργο που προσφέρεις είναι $W = qV_A$ .

Στον μικρόκοσμο βολεύει μια μικρή μονάδα ενέργειας, το ηλεκτρονιοβόλτ: η ενέργεια που αποκτά ένα ηλεκτρόνιο όταν επιταχύνεται από διαφορά δυναμικού $1 \ \text{V}$ , δηλαδή $1 \ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{J}$ .

$U = k\frac{q_1q_2}{r}, \qquad V = \frac{U}{q} = k\frac{Q}{r}, \qquad W_{A \to B} = q(V_A - V_B) = U_A - U_B, \qquad 1 \ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{J}$

Παράδειγμα (δυναμικό και έργο): Σημειακό φορτίο $Q = +2 \ \mu\text{C}$ είναι ακλόνητο. Τα σημεία Α και Β απέχουν από αυτό $r_A = 0{,}1 \ \text{m}$ και $r_B = 0{,}3 \ \text{m}$ . Μικρό σφαιρίδιο με φορτίο $q = +1 \ \mu\text{C}$ και μάζα $m = 2{,}4 \ \text{g}$ αφήνεται ελεύθερο στο Α (το βάρος αμελείται). Να βρεθούν: α) τα δυναμικά $V_A$ , $V_B$ , β) το έργο της δύναμης του πεδίου από το Α στο Β, γ) η ταχύτητα του σφαιριδίου στο Β.

Λύση: α)

$V_A = k\frac{Q}{r_A} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{0{,}1} = 1{,}8 \times 10^5 \ \text{V}, \qquad V_B = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{0{,}3} = 6 \times 10^4 \ \text{V}$

β) $W_{A \to B} = q(V_A - V_B) = 10^{-6} \cdot (1{,}8 \times 10^5 - 0{,}6 \times 10^5) = 0{,}12 \ \text{J}$ — θετικό: η άπωση σπρώχνει το σφαιρίδιο μακριά.

γ) ΘΜΚΕ με $\upsilon_A = 0$ και $m = 2{,}4 \times 10^{-3} \ \text{kg}$ :

$\frac{1}{2}m\upsilon_B^2 = W_{A \to B} \Rightarrow \upsilon_B = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}12}{2{,}4 \times 10^{-3}}} = \sqrt{100} = 10 \ \text{m/s}$

Ενεργειακά: η δυναμική ενέργεια έπεσε από $U_A = qV_A = 0{,}18 \ \text{J}$ σε $U_B = qV_B = 0{,}06 \ \text{J}$ , και τα $0{,}12 \ \text{J}$ που «χάθηκαν» έγιναν κινητική ενέργεια. ✔

Κόλπο μνήμης

«Η ένταση θέλει βέλος, το δυναμικό θέλει πρόσημο.» Την $E$ τη σχεδιάζεις και τις προσθέτεις σαν διανύσματα, με $|Q|$ στον τύπο. Το $V$ είναι απλός αριθμός: βάζεις το $Q$ με το πρόσημό του και προσθέτεις. Και για τις αποστάσεις: $F$ και $E$ πάνε με $\frac{1}{r^2}$ , ενώ $U$ και $V$ με $\frac{1}{r}$ .

Γρήγορος έλεγχος

Θετικό σημειακό φορτίο αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία μέσα σε ηλεκτρικό πεδίο (δρα μόνο η ηλεκτρική δύναμη). Προς τα πού κινείται;

Γρήγορος έλεγχος

Δύο ετερώνυμα σημειακά φορτία απομακρύνονται μεταξύ τους. Τι συμβαίνει στη δυναμική ενέργεια $U = k\frac{q_1q_2}{r}$ του συστήματος;

Μέθοδος: ασκήσεις δυναμικού και έργου

Μετάτρεψε φορτία σε C και αποστάσεις σε m.
Δυναμικό σε σημείο: $V = k\frac{Q}{r}$ για κάθε φορτίο, με το πρόσημό του, και άθροισε αλγεβρικά.
Έργο της δύναμης του πεδίου: $W_{A \to B} = q(V_A - V_B)$ , με το πρόσημο του $q$ .
Αν το σώμα ξεκινά ή καταλήγει στο άπειρο, βάλε $V_\infty = 0$ .
Ταχύτητες: ΘΜΚΕ $K_B - K_A = W_{A \to B}$ (όταν δρα μόνο η ηλεκτρική δύναμη).
Δυναμική ενέργεια ζεύγους: $U = k\frac{q_1q_2}{r}$ με πρόσημα — θετική για ομώνυμα, αρνητική για ετερώνυμα.

Άσκηση: Τα φορτία $Q_1 = +4 \ \mu\text{C}$ και $Q_2 = -2 \ \mu\text{C}$ είναι ακλόνητα σε απόσταση $0{,}4 \ \text{m}$ . Να βρεθούν α) η δυναμική ενέργεια του συστήματός τους, β) το δυναμικό στο μέσο Μ της απόστασής τους, γ) το έργο που πρέπει να προσφέρουμε για να φέρουμε αργά φορτίο $q = +1 \ \mu\text{C}$ από το άπειρο στο Μ.

Λύση: α) $U = k\frac{Q_1Q_2}{r} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{(4 \times 10^{-6})(-2 \times 10^{-6})}{0{,}4} = -0{,}18 \ \text{J}$ — αρνητική, γιατί τα φορτία έλκονται.

β) Το Μ απέχει $0{,}2 \ \text{m}$ από το καθένα:

$V_M = 9 \times 10^9 \cdot \frac{4 \times 10^{-6} + (-2 \times 10^{-6})}{0{,}2} = 9 \times 10^4 \ \text{V}$

γ) $W_{\pi\rho o\sigma\phi} = q(V_M - V_\infty) = 10^{-6} \cdot 9 \times 10^4 = 0{,}09 \ \text{J}$ . Το έργο της δύναμης του πεδίου στην ίδια μετακίνηση είναι $-0{,}09 \ \text{J}$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Φορτίο $q = +2 \ \mu\text{C}$ μετακινείται από σημείο Α με $V_A = 300 \ \text{V}$ σε σημείο Β με $V_B = 100 \ \text{V}$ . Το έργο της δύναμης του πεδίου είναι:

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Ηλεκτρόνιο ξεκινά από την ηρεμία στο σημείο Α ενός ηλεκτρικού πεδίου, όπου $V_A = 0$ , και φτάνει στο σημείο Β, όπου $V_B = +100 \ \text{V}$ . Δρα μόνο η ηλεκτρική δύναμη.

Δεδομένα: $q = -e = -1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ , $m = 9{,}1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$ , $V_A = 0$ , $V_B = 100 \ \text{V}$ .

Ζητούμενα: α) το έργο της δύναμης του πεδίου, β) η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας, γ) η κινητική ενέργεια στο Β σε J και σε eV, δ) η ταχύτητα στο Β.

Λύση:

α) $W_{A \to B} = q(V_A - V_B) = (-1{,}6 \times 10^{-19})(0 - 100) = 1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J}$ — θετικό: το αρνητικό φορτίο κινείται αυθόρμητα προς υψηλότερο δυναμικό.

β) $\Delta U = -W_{A \to B} = -1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J}$ .

γ) ΘΜΚΕ: $K_B = W_{A \to B} = 1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J} = 100 \ \text{eV}$ (ένα ηλεκτρόνιο από $100 \ \text{V}$ → $100 \ \text{eV}$ ).

δ) $\upsilon_B = \sqrt{\frac{2K_B}{m}} = \sqrt{\frac{3{,}2 \times 10^{-17}}{9{,}1 \times 10^{-31}}} \approx 5{,}9 \times 10^6 \ \text{m/s}$ .

Απάντηση: α) $1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J}$ β) $-1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J}$ γ) $100 \ \text{eV}$ δ) $\approx 5{,}9 \times 10^6 \ \text{m/s}$

Γρήγορος έλεγχος

Δύο φορτία $+Q$ και $-Q$ απέχουν $d$ . Στο μέσο της απόστασής τους:

Ήξερες ότι;

Η μονάδα Volt πήρε το όνομά της από τον Ιταλό Alessandro Volta, που το 1800 ανακοίνωσε τη βολταϊκή στήλη: δίσκους ψευδαργύρου και χαλκού με χαρτόνια βρεγμένα σε αλμυρό νερό ανάμεσά τους. Ήταν η πρώτη πηγή που έδινε σταθερή διαφορά δυναμικού — ο πρόγονος κάθε μπαταρίας.

Πρόκληση

Δύο θετικά σημειακά φορτία $Q_1 = +1 \ \mu\text{C}$ και $Q_2 = +4 \ \mu\text{C}$ είναι ακλόνητα σε απόσταση $d = 0{,}3 \ \text{m}$ . Υπάρχει σημείο της ευθείας τους όπου ένα μικρό φορτίο θα ισορροπούσε; Αν ναι, πόσο είναι εκεί το δυναμικό; ( $k = 9 \times 10^9 \ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ )

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Ισορροπία σημαίνει $E = 0$ στο σημείο. Έξω από το τμήμα, οι δύο εντάσεις έχουν την ίδια φορά και δεν αναιρούνται. Ανάμεσα στα φορτία είναι αντίθετες. Σε απόσταση $x$ από το $Q_1$ :

$k\frac{Q_1}{x^2} = k\frac{Q_2}{(d - x)^2} \Rightarrow \frac{(d - x)^2}{x^2} = 4 \Rightarrow d - x = 2x \Rightarrow x = 0{,}1 \ \text{m}$

(κρατάμε τη θετική ρίζα, αφού $0 < x < d$ ). Λογικό: το σημείο είναι πιο κοντά στο μικρότερο φορτίο.

Δυναμικό — μονόμετρο, άρα απλή πρόσθεση:

$V = k\frac{Q_1}{0{,}1} + k\frac{Q_2}{0{,}2} = 9 \times 10^9 \left(10^{-5} + 2 \times 10^{-5}\right) = 2{,}7 \times 10^5 \ \text{V}$

Το δίδαγμα: $E = 0$ δεν σημαίνει $V = 0$ . Οι εντάσεις αναιρέθηκαν, τα δυναμικά των θετικών φορτίων απλώς αθροίστηκαν.

Συνηθισμένα λάθη

$r$ αντί για $r^2$ (και αντίστροφα): η δύναμη και η ένταση πέφτουν με $\frac{1}{r^2}$ , η δυναμική ενέργεια και το δυναμικό με $\frac{1}{r}$ .
Πρόσημα στο λάθος σημείο: στα $F$ και $E$ βάζεις απόλυτες τιμές και βρίσκεις τη φορά από το σχήμα· στα $U$ , $V$ και $W = q(V_A - V_B)$ τα πρόσημα μπαίνουν στον τύπο.
Αλγεβρική πρόσθεση εντάσεων με διαφορετικές διευθύνσεις: οι εντάσεις είναι διανύσματα — προστίθενται με απλά πρόσημα μόνο αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Το δυναμικό ως διάνυσμα: το $V$ είναι μονόμετρο μέγεθος, χωρίς κατεύθυνση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Δυναμική ενέργεια δύο φορτίων: $U = k\frac{q_1q_2}{r}$ , με τα πρόσημα των φορτίων
Δυναμικό: $V = \frac{U}{q}$ και για σημειακό φορτίο $V = k\frac{Q}{r}$ , μονόμετρο, σε Volt· από πολλά φορτία → αλγεβρικό άθροισμα
Έργο: $W_{A \to B} = q(V_A - V_B) = U_A - U_B$ , ανεξάρτητο της διαδρομής
Τα θετικά φορτία κινούνται αυθόρμητα προς χαμηλότερο δυναμικό, τα αρνητικά προς υψηλότερο
$1 \ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{J}$ : η ενέργεια ηλεκτρονίου που επιταχύνεται από $1 \ \text{V}$

🏔️

Δυναμική Ενέργεια & Δυναμικό

Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια, δυναμικό, διαφορά δυναμικού & έργο

Γιατί «τινάζεσαι» όταν ακουμπάς την πόρτα του αυτοκινήτου;

Δυναμική ενέργεια και δυναμικό

$U = k\frac{q_1 q_2}{r}$

εδώ τα φορτία μπαίνουν με το πρόσημό τους: ομώνυμα δίνουν $U > 0$ , ετερώνυμα $U < 0$ .

Το δυναμικό $V$ σε ένα σημείο είναι η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου:

$V = \frac{U}{q}, \qquad V = k\frac{Q}{r}$

Διαφορά δυναμικού, έργο και το ηλεκτρονιοβόλτ

$V_A - V_B = \frac{W_{A \to B}}{q}$

Χρήσιμες παρατηρήσεις:

Το δυναμικό στο άπειρο θεωρείται μηδέν.
Το δυναμικό από πολλά φορτία είναι το αλγεβρικό άθροισμα των δυναμικών τους, με τα πρόσημα των φορτίων.
Αν μετακινήσεις φορτίο με σταθερή ταχύτητα από το άπειρο σε σημείο Α, το έργο που προσφέρεις είναι $W = qV_A$ .

$U = k\frac{q_1q_2}{r}, \qquad V = \frac{U}{q} = k\frac{Q}{r}, \qquad W_{A \to B} = q(V_A - V_B) = U_A - U_B, \qquad 1 \ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{J}$

Λύση: α)

$V_A = k\frac{Q}{r_A} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{0{,}1} = 1{,}8 \times 10^5 \ \text{V}, \qquad V_B = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{0{,}3} = 6 \times 10^4 \ \text{V}$

β) $W_{A \to B} = q(V_A - V_B) = 10^{-6} \cdot (1{,}8 \times 10^5 - 0{,}6 \times 10^5) = 0{,}12 \ \text{J}$ — θετικό: η άπωση σπρώχνει το σφαιρίδιο μακριά.

γ) ΘΜΚΕ με $\upsilon_A = 0$ και $m = 2{,}4 \times 10^{-3} \ \text{kg}$ :

$\frac{1}{2}m\upsilon_B^2 = W_{A \to B} \Rightarrow \upsilon_B = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}12}{2{,}4 \times 10^{-3}}} = \sqrt{100} = 10 \ \text{m/s}$

Κόλπο μνήμης

Γρήγορος έλεγχος

Μέθοδος: ασκήσεις δυναμικού και έργου

Μετάτρεψε φορτία σε C και αποστάσεις σε m.
Δυναμικό σε σημείο: $V = k\frac{Q}{r}$ για κάθε φορτίο, με το πρόσημό του, και άθροισε αλγεβρικά.
Έργο της δύναμης του πεδίου: $W_{A \to B} = q(V_A - V_B)$ , με το πρόσημο του $q$ .
Αν το σώμα ξεκινά ή καταλήγει στο άπειρο, βάλε $V_\infty = 0$ .
Ταχύτητες: ΘΜΚΕ $K_B - K_A = W_{A \to B}$ (όταν δρα μόνο η ηλεκτρική δύναμη).
Δυναμική ενέργεια ζεύγους: $U = k\frac{q_1q_2}{r}$ με πρόσημα — θετική για ομώνυμα, αρνητική για ετερώνυμα.

β) Το Μ απέχει $0{,}2 \ \text{m}$ από το καθένα:

$V_M = 9 \times 10^9 \cdot \frac{4 \times 10^{-6} + (-2 \times 10^{-6})}{0{,}2} = 9 \times 10^4 \ \text{V}$

Γρήγορος έλεγχος

Δεδομένα: $q = -e = -1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{C}$ , $m = 9{,}1 \times 10^{-31} \ \text{kg}$ , $V_A = 0$ , $V_B = 100 \ \text{V}$ .

Λύση:

β) $\Delta U = -W_{A \to B} = -1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J}$ .

γ) ΘΜΚΕ: $K_B = W_{A \to B} = 1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J} = 100 \ \text{eV}$ (ένα ηλεκτρόνιο από $100 \ \text{V}$ → $100 \ \text{eV}$ ).

δ) $\upsilon_B = \sqrt{\frac{2K_B}{m}} = \sqrt{\frac{3{,}2 \times 10^{-17}}{9{,}1 \times 10^{-31}}} \approx 5{,}9 \times 10^6 \ \text{m/s}$ .

Απάντηση: α) $1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J}$ β) $-1{,}6 \times 10^{-17} \ \text{J}$ γ) $100 \ \text{eV}$ δ) $\approx 5{,}9 \times 10^6 \ \text{m/s}$

Γρήγορος έλεγχος

Δύο φορτία $+Q$ και $-Q$ απέχουν $d$ . Στο μέσο της απόστασής τους:

Ήξερες ότι;

Πρόκληση

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

$k\frac{Q_1}{x^2} = k\frac{Q_2}{(d - x)^2} \Rightarrow \frac{(d - x)^2}{x^2} = 4 \Rightarrow d - x = 2x \Rightarrow x = 0{,}1 \ \text{m}$

(κρατάμε τη θετική ρίζα, αφού $0 < x < d$ ). Λογικό: το σημείο είναι πιο κοντά στο μικρότερο φορτίο.

Δυναμικό — μονόμετρο, άρα απλή πρόσθεση:

$V = k\frac{Q_1}{0{,}1} + k\frac{Q_2}{0{,}2} = 9 \times 10^9 \left(10^{-5} + 2 \times 10^{-5}\right) = 2{,}7 \times 10^5 \ \text{V}$

Συνηθισμένα λάθη

$r$ αντί για $r^2$ (και αντίστροφα): η δύναμη και η ένταση πέφτουν με $\frac{1}{r^2}$ , η δυναμική ενέργεια και το δυναμικό με $\frac{1}{r}$ .
Πρόσημα στο λάθος σημείο: στα $F$ και $E$ βάζεις απόλυτες τιμές και βρίσκεις τη φορά από το σχήμα· στα $U$ , $V$ και $W = q(V_A - V_B)$ τα πρόσημα μπαίνουν στον τύπο.
Αλγεβρική πρόσθεση εντάσεων με διαφορετικές διευθύνσεις: οι εντάσεις είναι διανύσματα — προστίθενται με απλά πρόσημα μόνο αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Το δυναμικό ως διάνυσμα: το $V$ είναι μονόμετρο μέγεθος, χωρίς κατεύθυνση.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Δυναμική ενέργεια δύο φορτίων: $U = k\frac{q_1q_2}{r}$ , με τα πρόσημα των φορτίων
Δυναμικό: $V = \frac{U}{q}$ και για σημειακό φορτίο $V = k\frac{Q}{r}$ , μονόμετρο, σε Volt· από πολλά φορτία → αλγεβρικό άθροισμα
Έργο: $W_{A \to B} = q(V_A - V_B) = U_A - U_B$ , ανεξάρτητο της διαδρομής
Τα θετικά φορτία κινούνται αυθόρμητα προς χαμηλότερο δυναμικό, τα αρνητικά προς υψηλότερο
$1 \ \text{eV} = 1{,}6 \times 10^{-19} \ \text{J}$ : η ενέργεια ηλεκτρονίου που επιταχύνεται από $1 \ \text{V}$