🚀

Κρούσεις, Εκπυρσοκρότηση & Πύραυλοι

Μεγέθη που δε διατηρούνται στην κρούση, πλαστική κρούση, ανάκρουση, προώθηση πυραύλου

Πώς επιταχύνει ένας πύραυλος στο κενό;

Στο διάστημα δεν υπάρχει αέρας για να «σπρώξει» ο πύραυλος. Κι όμως επιταχύνει. Το μυστικό: εκτοξεύει καυσαέρια προς τα πίσω με τεράστια ταχύτητα και, αφού η ολική ορμή μένει σταθερή, ο ίδιος κινείται προς τα εμπρός. Η ίδια ιδέα εξηγεί την «κλωτσιά» του όπλου, γιατί ο αερόσακος σώζει ζωές και πώς λύνεις κάθε κρούση των διαγωνισμάτων.

Μεγέθη που δε διατηρούνται στην κρούση

Σε κάθε κρούση η ολική ορμή διατηρείται. Η ολική κινητική ενέργεια όμως συνήθως μειώνεται: μέρος της γίνεται θερμότητα, ήχος και ενέργεια μόνιμης παραμόρφωσης. Η «χαμένη» κινητική ενέργεια είναι

$Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$

Μόνο στην ιδανική ελαστική κρούση η κινητική ενέργεια μένει ίδια. Η μέγιστη απώλεια συμβαίνει όταν τα σώματα ενώνονται (πλαστική κρούση).

Στις εκρήξεις συμβαίνει το αντίθετο: η κινητική ενέργεια αυξάνεται, γιατί χημική ή ελαστική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική — η ορμή όμως μένει πάλι ίδια. Χρήσιμη σχέση για τις συγκρίσεις: $K = \frac{p^2}{2m}$ .

Δύο εμβληματικές εφαρμογές της ΑΔΟ

Πλαστική κρούση: τα σώματα ενώνονται σε συσσωμάτωμα με κοινή ταχύτητα: $m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 = (m_1 + m_2)V$
Εκπυρσοκρότηση: όπλο και βλήμα ξεκινούν ακίνητα με ολική ορμή μηδέν — μετά τον πυροβολισμό οι ορμές τους είναι αντίθετες, γι' αυτό το όπλο «κλωτσάει» προς τα πίσω

Προσοχή: στην κρούση διατηρείται η ορμή, όχι η κινητική ενέργεια — στην πλαστική κρούση ένα μέρος της γίνεται θερμότητα και παραμόρφωση.

Η προώθηση του πυραύλου

Ο πύραυλος και τα καύσιμά του αποτελούν ένα σύστημα που στο διάστημα είναι μονωμένο. Οι μηχανές εκτοξεύουν συνεχώς καυσαέρια προς τα πίσω με μεγάλη ταχύτητα. Κάθε ποσότητα αερίων που φεύγει παίρνει ορμή προς τα πίσω, οπότε ο πύραυλος αποκτά ίση ορμή προς τα εμπρός: η ολική ορμή μένει σταθερή.

Ο πύραυλος δεν χρειάζεται αέρα για να «σπρώξει» — σπρώχνει τα ίδια του τα καυσαέρια. Καθώς καίει καύσιμα γίνεται και ελαφρύτερος, οπότε η ίδια ώθηση του δίνει όλο και μεγαλύτερη αύξηση ταχύτητας.

$m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 = (m_1 + m_2)V, \qquad Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}, \qquad 0 = m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 \ (\text{από ηρεμία})$

Γρήγορος έλεγχος

Αμαξίδιο μάζας $m_1 = 2 \ \text{kg}$ με ταχύτητα $\upsilon_1 = 6 \ \text{m/s}$ συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο αμαξίδιο μάζας $m_2 = 4 \ \text{kg}$ . Η ταχύτητα του συσσωματώματος είναι:

Κόλπο μνήμης

Στην εκπυρσοκρότηση θυμήσου το «μηδέν πριν – μηδέν μετά». Αν όλα ήταν ακίνητα, οι ορμές μετά πρέπει να αλληλοαναιρούνται: $m_1\upsilon_1 = m_2\upsilon_2$ σε μέτρο. Άρα το ελαφρύ φεύγει γρήγορα, το βαρύ αργά — η σφαίρα σφυρίζει, το όπλο απλώς κλωτσάει.

Μέθοδος: κρούσεις και εκρήξεις με ενέργεια

Διάλεξε θετική φορά, γράψε ταχύτητες με πρόσημα, μάζες σε kg.
ΑΔΟ: στην πλαστική $m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 = (m_1 + m_2)V$ · στην έκρηξη από ηρεμία $0 = m_1\upsilon_1' + m_2\upsilon_2'$ .
Υπολόγισε $K_{\pi\rho\iota\nu}$ και $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$ για όλα τα σώματα.
Κρούση: $Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} \geq 0$ . Έκρηξη: η ενέργεια που απελευθερώθηκε είναι $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} - K_{\pi\rho\iota\nu}$ .
Αν ακολουθεί κίνηση (π.χ. άνοδος του συσσωματώματος), συνέχισε με διατήρηση της μηχανικής ενέργειας μετά την κρούση — ποτέ «διαμέσου» της κρούσης.

Άσκηση: Όπλο μάζας $M = 2 \ \text{kg}$ ηρεμεί. Εκπυρσοκροτεί βλήμα μάζας $m = 10 \ \text{g}$ που φεύγει με $\upsilon = 400 \ \text{m/s}$ . α) Με ποια ταχύτητα ανακρούει το όπλο; β) Αν το βλήμα επιταχύνθηκε στην κάννη για $\Delta t = 0{,}01 \ \text{s}$ , ποια μέση δύναμη δέχτηκε;

Λύση: α) Θετική φορά αυτή του βλήματος, $m = 0{,}01 \ \text{kg}$ . Πριν: $p_{o\lambda} = 0$ . Από ΑΔΟ:

$0 = m\upsilon - MV \Rightarrow V = \frac{m\upsilon}{M} = \frac{0{,}01 \cdot 400}{2} = 2 \ \text{m/s}$

Το όπλο κινείται αντίθετα από το βλήμα — γι' αυτό βγήκε αρνητικός όρος στην εξίσωση.

β) Από τη σχέση ώθησης–ορμής για το βλήμα:

$F \cdot \Delta t = \Delta p = m\upsilon - 0 = 0{,}01 \cdot 400 = 4 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$

$F = \frac{4}{0{,}01} = 400 \ \text{N}$

Μικρή μάζα, τεράστια δύναμη, ελάχιστος χρόνος — η τυπική «υπογραφή» των κρούσεων. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Σε εκπυρσοκρότηση όπλου που αρχικά ηρεμεί, ποιο μέγεθος έχει ίδιο μέτρο για όπλο και βλήμα αμέσως μετά;

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Σώμα Α μάζας $m_1 = 3 \ \text{kg}$ κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα $4 \ \text{m/s}$ προς τα δεξιά και συγκρούεται μετωπικά με σώμα Β μάζας $m_2 = 1 \ \text{kg}$ που κινείται αντίθετα με ταχύτητα $6 \ \text{m/s}$ . Η κρούση είναι πλαστική και διαρκεί $\Delta t = 0{,}05 \ \text{s}$ .

Δεδομένα: $m_1 = 3 \ \text{kg}$ , $\upsilon_1 = +4 \ \text{m/s}$ , $m_2 = 1 \ \text{kg}$ , $\upsilon_2 = -6 \ \text{m/s}$ (θετική φορά προς τα δεξιά), $\Delta t = 0{,}05 \ \text{s}$ .

Ζητούμενα: α) η ταχύτητα του συσσωματώματος, β) η θερμότητα που εκλύθηκε, γ) οι μεταβολές της ορμής των Α και Β, δ) η μέση δύναμη που δέχτηκε το Β.

Λύση:

α) ΑΔΟ:

$m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 = (m_1 + m_2)V \Rightarrow 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-6) = 4V \Rightarrow V = \frac{6}{4} = 1{,}5 \ \text{m/s}$

Θετική, άρα το συσσωμάτωμα κινείται προς τα δεξιά.

β) $K_{\pi\rho\iota\nu} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 6^2 = 24 + 18 = 42 \ \text{J}$ και $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1{,}5^2 = 4{,}5 \ \text{J}$ , οπότε

$Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} = 42 - 4{,}5 = 37{,}5 \ \text{J}$

γ) $\Delta p_A = m_1(V - \upsilon_1) = 3(1{,}5 - 4) = -7{,}5 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ και $\Delta p_B = m_2(V - \upsilon_2) = 1(1{,}5 + 6) = +7{,}5 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ .

Αντίθετες — ό,τι ορμή χάνει το Α την κερδίζει το Β, και $\Delta p_{o\lambda} = 0$ ✔

δ) $F_B = \frac{\Delta p_B}{\Delta t} = \frac{7{,}5}{0{,}05} = 150 \ \text{N}$ , προς τα δεξιά. Από τον 3ο νόμο, το Α δέχτηκε $150 \ \text{N}$ προς τα αριστερά.

Απάντηση: α) $1{,}5 \ \text{m/s}$ προς τα δεξιά β) $37{,}5 \ \text{J}$ γ) $-7{,}5$ και $+7{,}5 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ δ) $150 \ \text{N}$

Παράδειγμα (πύραυλος σε μία ριπή): Πύραυλος συνολικής μάζας $1000 \ \text{kg}$ ηρεμεί στο διάστημα. Οι μηχανές του εκτοξεύουν απότομα $100 \ \text{kg}$ καυσαερίων με ταχύτητα $1000 \ \text{m/s}$ (ως προς το αρχικό σύστημα αναφοράς). Με ποια ταχύτητα κινείται ο πύραυλος;

Λύση: Θετική φορά αυτή του πυραύλου. Από ηρεμία, $p_{o\lambda} = 0$ :

$0 = 900 \cdot V + 100 \cdot (-1000) \Rightarrow V = \frac{100\,000}{900} \approx 111 \ \text{m/s}$

Ο πύραυλος και τα καυσαέρια έχουν αντίθετες ορμές ίσου μέτρου ( $10^5 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}$ ). Στην πράξη η εκτόξευση είναι συνεχής, αλλά η λογική είναι ίδια: κάθε «ριπή» προσθέτει ταχύτητα. ✔

Γρήγορος έλεγχος

Ακίνητη χειροβομβίδα εκρήγνυται σε δύο κομμάτια. Τι ισχύει αμέσως μετά την έκρηξη;

Ήξερες ότι;

Το 1920 οι New York Times έγραψαν σε κύριο άρθρο ότι ο πύραυλος του Robert Goddard δεν θα μπορούσε να κινηθεί στο κενό, γιατί «δεν έχει πού να σπρώξει». Το 1969, την επομένη της εκτόξευσης του Apollo 11 προς τη Σελήνη, η εφημερίδα δημοσίευσε διόρθωση: ο πύραυλος λειτουργεί και στο κενό. Ο λόγος είναι ακριβώς η διατήρηση της ορμής.

Στις κρούσεις δούλεψε ΠΑΝΤΑ με τελετουργικό τριών βημάτων: 1) όρισε θετική φορά και γράψε όλες τις ταχύτητες με πρόσημο, 2) γράψε την ΑΔΟ «πριν = μετά» σε μία γραμμή, 3) έλεγξε στο τέλος αν τα πρόσημα βγάζουν φυσικό νόημα. Μετάτρεψε γραμμάρια σε kg πριν αντικαταστήσεις. Και θυμήσου τη φράση-κλειδί για τη θεωρία: η ορμή διατηρείται σε κάθε κρούση, η μηχανική ενέργεια όχι — εκτός αν η εκφώνηση πει ρητά «ελαστική».

Πρόκληση

Για να μετρήσουν την ταχύτητα ενός βλήματος, οι φυσικοί χρησιμοποιούσαν το βαλλιστικό εκκρεμές: ξύλινο κομμάτι μάζας $M = 1{,}98 \ \text{kg}$ κρέμεται από νήματα. Βλήμα μάζας $m = 20 \ \text{g}$ σφηνώνεται σε αυτό και το σύστημα ανεβαίνει κατά $h = 0{,}8 \ \text{m}$ . Πόση ήταν η ταχύτητα του βλήματος; Τι ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας έγινε θερμότητα; ( $g = 10 \ \text{m/s}^2$ )

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ανεβαίνει και η μηχανική του ενέργεια διατηρείται:

$\frac{1}{2}(M + m)V^2 = (M + m)gh \Rightarrow V = \sqrt{2gh} = \sqrt{16} = 4 \ \text{m/s}$

Κατά την (πλαστική) κρούση διατηρείται η ορμή:

$m\upsilon = (M + m)V \Rightarrow \upsilon = \frac{2 \cdot 4}{0{,}02} = 400 \ \text{m/s}$

Ενέργεια: $K_{\pi\rho\iota\nu} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}02 \cdot 400^2 = 1600 \ \text{J}$ , ενώ $K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4^2 = 16 \ \text{J}$ . Θερμότητα $1584 \ \text{J}$ , δηλαδή το $99\%$ ! Γι' αυτό η ενέργεια δεν μπορεί να γραφτεί «διαμέσου» της κρούσης — μόνο η ορμή.

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένα πρόσημα: σώματα που κινούνται αντίθετα μπαίνουν στην ΑΔΟ με αντίθετα πρόσημα. Όρισε θετική φορά πριν γράψεις οτιδήποτε.
$\Delta p$ ως διαφορά μέτρων: στην αναπήδηση $\Delta p = m\upsilon' - m\upsilon$ με πρόσημα — όχι διαφορά των μέτρων.
Διατήρηση κινητικής ενέργειας στην πλαστική κρούση: λάθος — εκεί διατηρείται μόνο η ορμή. Την ενέργεια τη χρησιμοποιείς μόνο για να βρεις τις απώλειες.
Γραμμάρια στον τύπο: $10 \ \text{g} = 0{,}01 \ \text{kg}$ . Ένα ξεχασμένο $10^{-3}$ δίνει ταχύτητα χίλιες φορές λάθος.

Σύνοψη — τι κρατάμε

Σε κάθε κρούση διατηρείται η ορμή· η κινητική ενέργεια συνήθως μειώνεται, με $Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}$
Πλαστική κρούση: $m_1\upsilon_1 + m_2\upsilon_2 = (m_1 + m_2)V$ , με τη μεγαλύτερη απώλεια κινητικής ενέργειας
Εκπυρσοκρότηση/έκρηξη από ηρεμία: αντίθετες ορμές ίσου μέτρου, αύξηση κινητικής ενέργειας
Πύραυλος: εκτοξεύει καυσαέρια προς τα πίσω και κινείται προς τα εμπρός — λειτουργεί και στο κενό
Με ίδια ορμή, το ελαφρύτερο σώμα παίρνει το μεγαλύτερο μέρος της κινητικής ενέργειας ( $K = \frac{p^2}{2m}$ )

Μεγέθη που δε διατηρούνται στην κρούση

Q = K_{\pi\rho\iota\nu} - K_{\mu\varepsilon\tau\acute{\alpha}}

K = \frac{p^2}{2m}