🔌

Πυκνωτές

Χωρητικότητα C = Q/V, επίπεδος πυκνωτής, ενέργεια φορτισμένου πυκνωτή

Πώς «αστράφτει» ένα φλας;

Το φλας μιας φωτογραφικής μηχανής χρειάζεται πολλή ενέργεια σε ελάχιστο χρόνο, πιο γρήγορα απ' όσο μπορεί να τη δώσει η μπαταρία. Τη λύση δίνει ένας πυκνωτής: φορτίζει σιγά-σιγά, αποθηκεύει την ενέργεια και την αδειάζει σε κλάσματα του δευτερολέπτου. Πυκνωτές θα βρεις και στον απινιδωτή που επαναφέρει τον ρυθμό της καρδιάς, και κάτω από την οθόνη αφής του κινητού σου.

Τι είναι ο πυκνωτής

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη που αποθηκεύει ηλεκτρικό φορτίο — και μαζί του, ενέργεια. Στην απλούστερη μορφή του αποτελείται από δύο μεταλλικές πλάκες (τους οπλισμούς) που βρίσκονται κοντά η μία στην άλλη, χωρισμένες από μονωτικό υλικό (το διηλεκτρικό: αέρας, χαρτί, πλαστικό).

Για να φορτιστεί, συνδέουμε τους οπλισμούς με τους πόλους μιας πηγής: ο ένας οπλισμός αποκτά φορτίο $+Q$ και ο άλλος $-Q$ . Το ολικό φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν — όταν λέμε «φορτίο του πυκνωτή» εννοούμε το φορτίο $Q$ του θετικού οπλισμού. Ανάμεσα στους οπλισμούς δημιουργείται ηλεκτρικό πεδίο και διαφορά δυναμικού $V$ ίση με την τάση της πηγής.

Χωρητικότητα

Το πείραμα δείχνει κάτι κομψό: για δεδομένο πυκνωτή, το φορτίο είναι ανάλογο της τάσης. Αν διπλασιάσεις την τάση, διπλασιάζεται και το αποθηκευμένο φορτίο — το πηλίκο τους μένει σταθερό. Αυτό το σταθερό πηλίκο είναι η χωρητικότητα:

$C = \frac{Q}{V}$

Η χωρητικότητα είναι «ταυτότητα» της διάταξης: εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία του πυκνωτή και το διηλεκτρικό, όχι από το πόσο τον φορτίσαμε — όπως η χωρητικότητα ενός μπουκαλιού δεν εξαρτάται από το πόσο νερό έχει μέσα.

Μονάδα της το Farad: $1 \ \text{F} = 1 \ \text{C/V}$ . Το Farad είναι τεράστια μονάδα, γι' αυτό στην πράξη δουλεύουμε με υποπολλαπλάσια: $1 \ \mu\text{F} = 10^{-6} \ \text{F}$ , $1 \ \text{nF} = 10^{-9} \ \text{F}$ , $1 \ \text{pF} = 10^{-12} \ \text{F}$ .

Ήξερες ότι;

Ο πρώτος πυκνωτής ήταν ένα γυάλινο βάζο! Η φιάλη του Leyden (1745–1746) ήταν βάζο ντυμένο μέσα και έξω με μεταλλικό φύλλο: τα δύο φύλλα ήταν οι οπλισμοί και το γυαλί ανάμεσά τους το διηλεκτρικό. Ο Benjamin Franklin μελέτησε τον ηλεκτρισμό με τέτοιες φιάλες και ονόμασε «μπαταρία» μια συστοιχία τους.

Μετακίνησε τον ρυθμιστή και δες πώς τα δύο μεγέθη μεγαλώνουν μαζί πάνω σε ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων: έτσι ακριβώς συνδέονται φορτίο και τάση στον πυκνωτή — η κλίση της ευθείας Q–V είναι η χωρητικότητα C, σταθερή όσο κι αν αλλάξεις την τάση.

Γρήγορος έλεγχος

Πυκνωτής φορτίζεται σε τάση $V$ και αποκτά φορτίο $Q$ . Αν τον συνδέσουμε σε πηγή διπλάσιας τάσης $2V$ , η χωρητικότητά του:

Παράδειγμα (φόρτιση σε δύο τάσεις): Πυκνωτής χωρητικότητας $C = 10 \ \mu\text{F}$ φορτίζεται πρώτα με τάση $20 \ \text{V}$ και μετά συνδέεται σε πηγή $50 \ \text{V}$ . Πόσο φορτίο αποκτά σε κάθε περίπτωση και πόσο επιπλέον φορτίο έστειλε η δεύτερη πηγή;

Λύση: $Q_1 = CV_1 = 10 \times 10^{-6} \cdot 20 = 2 \times 10^{-4} \ \text{C} = 200 \ \mu\text{C}$ .

$Q_2 = CV_2 = 10 \times 10^{-6} \cdot 50 = 5 \times 10^{-4} \ \text{C} = 500 \ \mu\text{C}$ .

Επιπλέον φορτίο: $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = 300 \ \mu\text{C}$ , που ισούται με $C \cdot \Delta V = 10 \ \mu\text{F} \cdot 30 \ \text{V}$ .

Η χωρητικότητα έμεινε $10 \ \mu\text{F}$ — στο διάγραμμα $Q\text{–}V$ και τα δύο σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία με κλίση $C$ . ✔

Γρήγορος έλεγχος

Πυκνωτής χωρητικότητας $2 \ \text{nF}$ συνδέεται σε τάση $5 \ \text{V}$ . Το φορτίο του είναι:

Ο επίπεδος πυκνωτής

Στον επίπεδο πυκνωτή οι οπλισμοί είναι δύο παράλληλες πλάκες εμβαδού $S$ σε απόσταση $\ell$ . Ποιοτικά, η χωρητικότητά του:

Μεγαλώνει όταν μεγαλώνει το εμβαδόν των οπλισμών — περισσότερος «χώρος» για να απλωθεί το φορτίο
Μεγαλώνει όταν μικραίνει η απόσταση των οπλισμών — τα ετερώνυμα φορτία έλκονται εντονότερα και «χωράει» περισσότερο φορτίο στην ίδια τάση
Μεγαλώνει όταν ανάμεσα στους οπλισμούς μπει διηλεκτρικό (π.χ. πλαστικό αντί για αέρα)

Γι' αυτό οι πραγματικοί πυκνωτές φτιάχνονται από μεγάλα φύλλα αλουμινίου με λεπτότατο μονωτικό ανάμεσά τους, τυλιγμένα σε ρολό — μεγάλο $S$ , μικροσκοπικό $\ell$ .

Ενέργεια φορτισμένου πυκνωτή

Για να φορτιστεί ο πυκνωτής, η πηγή παράγει έργο μεταφέροντας φορτίο από τον έναν οπλισμό στον άλλον, κόντρα στο πεδίο που χτίζεται. Αυτό το έργο αποθηκεύεται ως ενέργεια στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή:

$U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$

Το $\frac{1}{2}$ δεν είναι τυπογραφικό λάθος: καθώς ο πυκνωτής φορτίζεται, η τάση του ανεβαίνει σταδιακά από $0$ ως $V$ , οπότε το φορτίο μεταφέρεται με μέση τάση $\frac{V}{2}$ — άρα $U = Q \cdot \frac{V}{2}$ .

Ο πυκνωτής είναι «αποθήκη-αστραπή»: δεν χωράει πολλή ενέργεια όσο μια μπαταρία, αλλά μπορεί να την αποδώσει ακαριαία — γι' αυτό κρύβεται στο φλας της φωτογραφικής μηχανής και στους απινιδωτές.

Γρήγορος έλεγχος

Φορτισμένος επίπεδος πυκνωτής αποσυνδέεται από την πηγή και στη συνέχεια απομακρύνουμε τους οπλισμούς του. Ποιο μέγεθος μένει σταθερό;

$C = \frac{Q}{V}, \qquad 1 \ \text{F} = 1 \ \frac{\text{C}}{\text{V}}, \qquad U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$

Κόλπο μνήμης

Σκέψου τον πυκνωτή σαν δοχείο με νερό. Η χωρητικότητα $C$ είναι το εμβαδόν του πάτου, η τάση $V$ το ύψος του νερού και το φορτίο $Q$ ο όγκος του: $Q = CV$ . Φαρδύτερο δοχείο χωράει περισσότερο νερό στο ίδιο ύψος. Και το $\frac{1}{2}$ στην ενέργεια $U = \frac{1}{2}QV$ ; Όπως στο νερό, το «μέσο ύψος» του φορτίου που ανέβηκε είναι στη μέση.

Γρήγορος έλεγχος

Πυκνωτής χωρητικότητας $C = 2 \ \mu\text{F}$ φορτίζεται σε τάση $V = 100 \ \text{V}$ . Η ενέργεια που αποθηκεύει είναι:

Γρήγορος έλεγχος

Ο ίδιος πυκνωτής φορτίζεται μία φορά με τάση $V$ και μία με τάση $2V$ . Η ενέργεια που αποθηκεύει στη δεύτερη περίπτωση είναι:

Άσκηση: Πυκνωτής χωρητικότητας $C = 5 \ \mu\text{F}$ συνδέεται με πηγή τάσης $V = 12 \ \text{V}$ . Να βρεθούν: α) το φορτίο του πυκνωτή, β) η ενέργεια που αποθηκεύει.

Λύση: α) Από τον ορισμό της χωρητικότητας:

$Q = CV = 5 \times 10^{-6} \cdot 12 = 60 \times 10^{-6} \ \text{C} = 60 \ \mu\text{C}$

β) Ενέργεια:

$U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2} \cdot 60 \times 10^{-6} \cdot 12 = 360 \times 10^{-6} \ \text{J} = 0{,}36 \ \text{mJ}$

Έλεγχος με τον δεύτερο τύπο: $U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \times 10^{-6} \cdot 144 = 360 \ \mu\text{J}$ ✔

Μέθοδος: ασκήσεις πυκνωτή

Μετάτρεψε τη χωρητικότητα σε Farad: $\mu\text{F} \to 10^{-6}$ , $\text{nF} \to 10^{-9}$ , $\text{pF} \to 10^{-12}$ .
Αποφάσισε τι μένει σταθερό: συνδεδεμένος με την πηγή → σταθερή $V$ · αποσυνδεδεμένος → σταθερό $Q$ .
Αν αλλάζει η κατασκευή (εμβαδόν, απόσταση, διηλεκτρικό), κρίνε ποιοτικά αν η $C$ αυξάνεται ή μειώνεται.
Υπολόγισε το άγνωστο μέγεθος από $Q = CV$ .
Ενέργεια με τον τύπο που χρησιμοποιεί τα γνωστά: $\frac{1}{2}CV^2$ , $\frac{1}{2}QV$ ή $\frac{Q^2}{2C}$ .

Άσκηση τύπου διαγωνίσματος: Πυκνωτής χωρητικότητας $C = 4 \ \mu\text{F}$ φορτίζεται από πηγή τάσης $V = 100 \ \text{V}$ .

Δεδομένα: $C = 4 \times 10^{-6} \ \text{F}$ , $V = 100 \ \text{V}$ .

Ζητούμενα: α) το φορτίο και η ενέργεια του πυκνωτή, β) ο πυκνωτής αποσυνδέεται από την πηγή και, με κατάλληλο διηλεκτρικό, η χωρητικότητά του γίνεται $C' = 8 \ \mu\text{F}$ : να βρεθούν η νέα τάση και η νέα ενέργεια, γ) ποια θα ήταν τα αντίστοιχα αποτελέσματα αν η ίδια αλλαγή γινόταν με τον πυκνωτή συνδεδεμένο στην πηγή;

Λύση:

α) $Q = CV = 4 \times 10^{-6} \cdot 100 = 4 \times 10^{-4} \ \text{C}$ και $U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \times 10^{-6} \cdot 10^4 = 0{,}02 \ \text{J}$ .

β) Αποσυνδεδεμένος → σταθερό φορτίο $Q = 4 \times 10^{-4} \ \text{C}$ :

$V' = \frac{Q}{C'} = \frac{4 \times 10^{-4}}{8 \times 10^{-6}} = 50 \ \text{V}, \qquad U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{16 \times 10^{-8}}{16 \times 10^{-6}} = 0{,}01 \ \text{J}$

γ) Συνδεδεμένος → σταθερή τάση $V = 100 \ \text{V}$ :

$Q'' = C'V = 8 \times 10^{-4} \ \text{C}, \qquad U'' = \frac{1}{2}C'V^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \times 10^{-6} \cdot 10^4 = 0{,}04 \ \text{J}$

Εδώ η πηγή έστειλε επιπλέον φορτίο $4 \times 10^{-4} \ \text{C}$ στον πυκνωτή.

Απάντηση: α) $4 \times 10^{-4} \ \text{C}$ και $0{,}02 \ \text{J}$ β) $50 \ \text{V}$ και $0{,}01 \ \text{J}$ γ) $8 \times 10^{-4} \ \text{C}$ και $0{,}04 \ \text{J}$ — ίδια αλλαγή, αντίθετη μεταβολή της ενέργειας, ανάλογα με το τι μένει σταθερό.

Διάλεξε τον τύπο της ενέργειας με βάση ό,τι ΞΕΡΕΙΣ: $\frac{1}{2}CV^2$ όταν δίνεται η τάση, $\frac{Q^2}{2C}$ όταν δίνεται το φορτίο. Και πρόσεξε το κλασικό δίλημμα: αν ο φορτισμένος πυκνωτής μείνει συνδεδεμένος στην πηγή, σταθερή μένει η τάση $V$ · αν αποσυνδεθεί, σταθερό μένει το φορτίο $Q$ — από αυτή τη διάκριση ξεκινούν όλες οι ερωτήσεις με «αλλάζουμε κάτι στον πυκνωτή».

Πρόκληση

Επίπεδος πυκνωτής χωρητικότητας $C = 2 \ \mu\text{F}$ φορτίζεται σε τάση $V = 100 \ \text{V}$ και αποσυνδέεται από την πηγή. Με μονωτικά γάντια απομακρύνεις τους οπλισμούς, ώστε η απόστασή τους να διπλασιαστεί. Έτσι η χωρητικότητα υποδιπλασιάζεται.

α) Πόση γίνεται η τάση του πυκνωτή;

β) Πόση γίνεται η ενέργειά του;

γ) Η ενέργεια άλλαξε χωρίς καμία πηγή. Πώς εξηγείται;

Δοκίμασε πρώτα μόνος σου — μετά δες τη λύση

α) Αποσυνδεδεμένος → σταθερό φορτίο: $Q = CV = 2 \times 10^{-6} \cdot 100 = 2 \times 10^{-4} \ \text{C}$ . Με $C' = 1 \ \mu\text{F}$ :

$V' = \frac{Q}{C'} = \frac{2 \times 10^{-4}}{10^{-6}} = 200 \ \text{V}$

β) Πριν: $U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \times 10^{-6} \cdot 10^4 = 0{,}01 \ \text{J}$ . Μετά:

$U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{4 \times 10^{-8}}{2 \times 10^{-6}} = 0{,}02 \ \text{J}$

Η ενέργεια διπλασιάστηκε!

γ) Οι οπλισμοί έχουν ετερώνυμα φορτία και έλκονται. Για να τους απομακρύνεις, ασκείς δύναμη αντίθετη στην έλξη και προσφέρεις έργο $0{,}02 - 0{,}01 = 0{,}01 \ \text{J}$ . Αυτό το έργο αποθηκεύτηκε στο ηλεκτρικό πεδίο. Η ενέργεια διατηρείται ✔

Συνηθισμένα λάθη

Ξεχασμένο πρόθεμα: $4 \ \mu\text{F} = 4 \times 10^{-6} \ \text{F}$ — χωρίς μετατροπή το φορτίο βγαίνει εκατομμύρια φορές λάθος.
Ξεχασμένο $\frac{1}{2}$ στην ενέργεια: $U = \frac{1}{2}CV^2$ , όχι $CV^2$ .
«Η χωρητικότητα εξαρτάται από το φορτίο»: η $C$ εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία και το διηλεκτρικό· το $Q$ και η $V$ αλλάζουν αναλογικά.
Λάθος σταθερό μέγεθος: πριν από κάθε αλλαγή στον πυκνωτή ρώτα «είναι συνδεδεμένος με την πηγή;». Ναι → σταθερή $V$ , όχι → σταθερό $Q$ .

Σύνοψη — τι κρατάμε

Ο πυκνωτής έχει δύο οπλισμούς με φορτία $+Q$ και $-Q$ · «φορτίο του πυκνωτή» είναι το $Q$
Χωρητικότητα: $C = \frac{Q}{V}$ σε Farad — χαρακτηριστικό της κατασκευής
Επίπεδος πυκνωτής: η $C$ αυξάνεται με μεγαλύτερο εμβαδόν, μικρότερη απόσταση οπλισμών ή διηλεκτρικό
Ενέργεια: $U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}$
Συνδεδεμένος με πηγή → σταθερή $V$ · αποσυνδεδεμένος → σταθερό $Q$

Τι είναι ο πυκνωτής

Για να φορτιστεί, συνδέουμε τους οπλισμούς με τους πόλους μιας πηγής: ο ένας οπλισμός αποκτά φορτίο

+Q

και ο άλλος

-Q

. Το ολικό φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν — όταν λέμε «φορτίο του πυκνωτή» εννοούμε το φορτίο

Q

του θετικού οπλισμού. Ανάμεσα στους οπλισμούς δημιουργείται ηλεκτρικό πεδίο και διαφορά δυναμικού

V

ίση με την τάση της πηγής.

Χωρητικότητα

C = \frac{Q}{V}

Μονάδα της το Farad:

1 \ \text{F} = 1 \ \text{C/V}

. Το Farad είναι τεράστια μονάδα, γι' αυτό στην πράξη δουλεύουμε με υποπολλαπλάσια:

1 \ \mu\text{F} = 10^{-6} \ \text{F}

1 \ \text{nF} = 10^{-9} \ \text{F}

1 \ \text{pF} = 10^{-12} \ \text{F}